Rezerwy aktuarialne

W ubezpieczeniach rezerwa aktuarialna to rezerwa przeznaczona na przyszłe zobowiązania ubezpieczeniowe. Zasadniczo jest równa aktuarialnej wartości bieżącej przyszłych przepływów pieniężnych związanych ze zdarzeniem warunkowym. W kontekście ubezpieczeniowym rezerwa aktuarialna to wartość bieżąca przyszłych przepływów pieniężnych polisy ubezpieczeniowej, a całkowita odpowiedzialność ubezpieczyciela jest sumą rezerw aktuarialnych dla każdej indywidualnej polisy. Ubezpieczyciele podlegający regulacjom są zobowiązani do kompensowania aktywów, aby spłacić to przyszłe zobowiązanie.

Zmienna losowa strat

Zmienna losowa strat jest punktem wyjścia przy ustalaniu dowolnego rodzaju kalkulacji rezerwy aktuarialnej. Zdefiniuj $przyszłym$ zmienną losową osoby w wieku x Następnie, dla świadczenia z tytułu śmierci w wysokości jednego dolara i składki $,$ $P} )}$ $straty$ , zapisać w notacji aktuarialnej funkcję

{\ Displaystyle L = v ^ {K (x) + 1} -P {\ ddot {a}} _ {{\ overline {K (x) + 1}}|}}

Z tego widać, że obecna wartość straty firmy ubezpieczeniowej teraz, jeśli osoba umrze za t lat, jest równa obecnej wartości świadczenia z tytułu śmierci pomniejszonej o obecną wartość składek.

Opisana powyżej zmienna losowa strat określa jedynie przedmiotową stratę. Dla K ( x ) > t zmienną losową strat w czasie t można zdefiniować jako:

{\ Displaystyle {} _ {t} L = v ^ {K (x) + 1-t} -P {\ ddot {a}} _ {\ overline {K (x) + 1-t |}}}

Rezerwy składek na poziomie netto

Rezerwy składek na poziomie netto, zwane także rezerwami świadczeń, obejmują tylko dwa przepływy pieniężne i są wykorzystywane do niektórych celów sprawozdawczych US GAAP . Premia wyceny w rezerwie NLP jest premią taką, że wartość rezerwy w czasie zero jest równa zeru. Rezerwę składki na poziomie netto wyznacza się, przyjmując oczekiwaną wartość zmiennej losowej straty określonej powyżej. Można je formułować prospektywnie lub retrospektywnie. Kwotę rezerw perspektywicznych w danym momencie oblicza się odejmując aktuarialną wartość bieżącą przyszłych składek z tytułu wyceny od aktuarialnej wartości bieżącej przyszłych świadczeń ubezpieczeniowych. Rezerwacja retrospektywna odejmuje skumulowaną wartość świadczeń od skumulowanej wartości premii z tytułu wyceny w danym momencie. Obie metody dają identyczne wyniki (zakładając, że podstawy są takie same dla obliczeń prospektywnych i retrospektywnych).

Jako przykład rozważmy pełną polisę ubezpieczeniową na życie o wartości jednego dolara, wystawioną w dniu (x) z rocznymi składkami płaconymi na początku roku i świadczeniem z tytułu śmierci wypłacanym na koniec roku. W notacji aktuarialnej rezerwa na świadczenia oznaczana jest jako V . Naszym celem jest znalezienie wartości rezerwy składki na poziomie netto w czasie t. Najpierw definiujemy zmienną losową straty w czasie zero dla tej zasady. Stąd

{\ Displaystyle L = v ^ {K (x) + 1} -P {\ ddot {a}} _ {\ overline {K (x) + 1 |}}}

Następnie przyjmując wartości oczekiwane mamy:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [L] = \ nazwa operatora {E} [v ^ {K (x) + 1} -P {\ ddot {a}} _ {\ overline {K (x) + 1 |}}]}

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [L] = \ nazwa operatora {E} [v ^ {K (x) + 1}] -P \ nazwa operatora {E} [{\ ddot {a}} _ {\ overline {K (x) + 1 |}}]}

{\ Displaystyle {} _ {0} \! V_ {x} = A_ {x} -P \ cdot {\ ddot {topór}}

Ustawienie rezerwy na zero i rozwiązanie dla P daje:

{\ Displaystyle P = {\ Frac {A_ {x}} {{\ ddot {a}} _ {x}}}}

W przypadku polisy na całe życie, jak zdefiniowano powyżej, składka jest oznaczona jako $notacji$ aktuarialnej Rezerwa NLP w czasie t jest oczekiwaną wartością zmiennej losowej straty w czasie t przy danych K ( x ) > t

{\ Displaystyle {} _ {t} L = v ^ {K (x) + 1-t} -P_ {x} {\ ddot {a}} _ {\ overline {K (x) + 1-t | }}}

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [{} _ {t} L \ mid K (x)> t] = \ nazwa operatora {E} [v ^ {K (x) + 1 -t}\mid K(x)>t]-P_{x}\nazwa_operatora {E} [{\ddot {a}}_{\overline {K(x)+1-t|}}\mid K( x)> t]}

{\ Displaystyle {} _ {t} \! V_ {x} = A_ {x + t} -P_ {x} \cdot {\ddot {a}}_{x+t}}

gdzie ${\ Displaystyle {} P_ {x} = {\ Frac {A_ {x}} {{\ ddot {a}} _ {x}}}}$

Zmodyfikowane rezerwy

Zmodyfikowane rezerwy opierają się na składkach, które nie są wyrównane według czasu trwania. Prawie wszystkie zmodyfikowane rezerwy mają na celu zgromadzenie niższych rezerw we wczesnych latach polisowych niż w przypadku metody premii na poziomie netto. Ma to pozwolić emitentowi na uzyskanie większej marży na pokrycie zwykle bardzo wysokich w tych latach wydatków. W tym celu rezerwy zmodyfikowane zakładają niższą składkę w pierwszym roku lub dwóch niż składka na poziomie netto, a później składki są wyższe. Metoda wyceny rezerw komisarza, stosowana w Stanach Zjednoczonych do rezerw ustawowych , pozwala na wykorzystanie rezerw zmodyfikowanych.

Metoda pełnego terminu wstępnego

Pełna rezerwa terminowa obliczana jest poprzez traktowanie pierwszego roku ubezpieczenia jako ubezpieczenia jednorocznego. Rezerwy na pozostałą część ubezpieczenia są obliczane tak, jakby dotyczyły tego samego ubezpieczenia minus pierwszy rok. Ta metoda zwykle zmniejsza rezerwy w pierwszym roku na tyle, aby umożliwić opłacenie wydatków w pierwszym roku w przypadku planów o niskich składkach, ale nie planów o wysokich składkach, takich jak ograniczone wynagrodzenie przez całe życie.

Obliczanie rezerw aktuarialnych

Proces kalkulacji często obejmuje szereg założeń, w szczególności w odniesieniu do przyszłych roszczeń i potencjalnego zysku z inwestycji. Zasadniczo obliczenia obejmują obliczenie oczekiwanych roszczeń dla każdego przyszłego okresu. Te oczekiwane przyszłe wypływy pieniężne są następnie dyskontowane w celu odzwierciedlenia odsetek do daty oczekiwanego przepływu pieniężnego.

Na przykład, jeśli spodziewamy się zapłacić 300 000 USD w roku 1, 200 000 USD w roku 2 i 150 000 USD w roku 3 i jesteśmy w stanie zainwestować rezerwy, aby zarobić 8% rocznie, odpowiednie składki na rezerwy aktuarialne wynoszą:

Rok 1: 300 000 USD × (1,08) ⁻¹ = 277 777,78 USD
Rok 2: 200 000 USD × (1,08) ⁻² = 171 467,76 USD
Rok 3: 150 000 $ × (1,08) ^-3 = 119 074,84 $.

Jeśli zsumujemy zdyskontowane oczekiwane roszczenia ze wszystkich lat, w których szkoda może wystąpić, zakończymy obliczanie rezerw aktuarialnych. W powyższym przykładzie, gdyby nie było oczekiwanych przyszłych roszczeń po 3 roku, nasze obliczenia dałyby rezerwy aktuarialne w wysokości 568 320,38 USD.

Zobacz też