Notacja aktuarialna

Przykład symbolu aktuarialnego.
  1. Wielka litera ubezpieczenie płacące 1 za zdarzenie ubezpieczeniowe małe litery 1 rocznie w odpowiednim czasie.
  2. Bar oznacza ciągły – lub płatny w chwili śmierci; podwójna kropka oznacza płatność na początku roku; brak znaku oznacza płatność na koniec roku;
  3. dla osoby w wieku lata
  4. jeśli w _
  5. ( ).
  6. Brak ustalonego znaczenia oznacza drugi moment do obliczenia ale często implikuje podwójną siłę zainteresowania.

Notacja aktuarialna to skrócona metoda umożliwiająca aktuariuszom rejestrowanie formuł matematycznych dotyczących stóp procentowych i tablic trwania życia .

Tradycyjna notacja wykorzystuje system halo, w którym symbole są umieszczane jako indeks górny lub dolny przed lub po głównej literze. Przykładową notację z wykorzystaniem systemu halo można zobaczyć poniżej.

Przedstawiono różne propozycje przyjęcia systemu liniowego, w którym cała notacja znajdowałaby się w jednym wierszu bez użycia indeksów górnych i dolnych. Taka metoda byłaby przydatna w obliczeniach, w których reprezentacja układu halo może być niezwykle trudna. Jednak standardowy system liniowy jeszcze się nie pojawił.

Przykładowa notacja

Stopy procentowe

to efektywna roczna stopa procentowa , która jest „prawdziwą” stopą procentową w ciągu roku . Tak więc, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 12%, to .

(wymawiane „i górne ”) to nominalna procentowa wymienialna razy w roku i jest liczbowo równa razy efektywna stopa procentowa w ciągu roku . Na przykład nominalną stopą procentową wymienialną Jeśli efektywna roczna stopa procentowa wynosi 12%, to co Ponieważ , mamy stąd ja . „ )” pojawiające w symbolu nie jest wykładnikiem ” Reprezentuje jedynie liczbę konwersji odsetek lub okresów składania w ciągu roku. Składanie półroczne (lub przeliczanie odsetek co sześć miesięcy) jest często stosowane przy wycenie obligacji (patrz także papiery wartościowe o stałym dochodzie ) i podobnych instrumentów finansowych zobowiązań pieniężnych, podczas gdy hipoteki mieszkaniowe często przeliczają odsetki co miesiąc. Idąc ponownie za powyższym przykładem, gdzie , mamy od .

Efektywna i nominalna stopa procentowa nie są tożsame, ponieważ odsetki zapłacone we wcześniejszych okresach wyceny „zarabiają” na odsetkach w późniejszych okresach wyceny; to się nazywa procent składany . Oznacza to, że nominalne stopy procentowe odsetek kredytowych dla inwestora (alternatywnie naliczają lub obciążają odsetki dłużnika) częściej niż stopy efektywne. Rezultatem jest częstsze składanie dochodu odsetkowego dla inwestora (lub kosztów odsetkowych dla dłużnika), gdy stosowane są stopy nominalne.

Symbol reprezentuje obecną wartość 1 do zapłaty za rok od teraz:

Ten współczynnik wartości bieżącej lub czynnik dyskontowy służy do określenia kwoty pieniędzy, którą należy teraz zainwestować, aby mieć określoną ilość pieniędzy w przyszłości. Na przykład, jeśli potrzebujesz 1 w ciągu jednego roku, to kwota, którą powinieneś teraz zainwestować, wynosi: . Jeśli potrzebujesz 25 za 5 lat, kwota, którą powinieneś teraz zainwestować, wynosi: .

to roczna efektywna stopa dyskontowa :

Wartość można również obliczyć z następujących zależności: Stopa dyskontowa równa się kwocie odsetek zarobionych w ciągu jednego roku, podzielonej przez stan środków pieniężnych na koniec tego okresu. Natomiast efektywna roczna stopa procentowa jest obliczana poprzez podzielenie kwoty odsetek zarobionych w okresie jednego roku przez saldo pieniężne na początku roku. (dzisiaj) płatności 1, która ma zostać dokonana w przyszłości, to . Jest to analogiczne do wzoru na przyszłą (lub skumulowaną) wartość lat w przyszłości kwota 1 zainwestowana dzisiaj.

, nominalna stopa dyskontowa wymienialna w roku jest analogiczna do . Rabat jest przeliczany na .

, siła zainteresowania jest wartością graniczną nominalnej stopy procentowej, gdy rośnie bez ograniczeń:

W tym przypadku odsetki są wymienialne w sposób ciągły .

Ogólny związek między i następujący : ,

Ich wartość liczbową można porównać w następujący sposób:

Tablice życia

Tablica życia (lub tablica umieralności) to konstrukcja matematyczna, która pokazuje liczbę osób żyjących (na podstawie założeń użytych do zbudowania tabeli) w danym wieku. Oprócz liczby pozostałych żyć w każdym wieku, tabela śmiertelności zazwyczaj dostarcza różnych prawdopodobieństw związanych z rozwojem tych wartości.

to liczba osób żyjących w stosunku do pierwotnej kohorty w wieku . Wraz ze wzrostem wieku maleje liczba osób żyjących.

jest punktem wyjścia dla : liczby osób żyjących w wieku 0. Jest to znane jako tabeli . Niektóre tabele śmiertelności rozpoczynają się w wieku większym niż 0, w którym to przypadku podstawą jest liczba osób uważanych za żywe w najmłodszym wieku w tabeli.

to wiek graniczny w tabelach śmiertelności. wynosi zero dla wszystkich .

to liczba osób, które umierają między wiekiem wiekiem . można obliczyć za pomocą wzoru

0
... ... ...
... ... ...
0 0

to prawdopodobieństwo śmierci w wieku od do wieku .

to prawdopodobieństwo, że wiek życia dożyje wieku .

Ponieważ jedynymi możliwymi alternatywami z jednego wieku ( następnego ( ) są życie i śmierć, związek między tymi dwoma prawdopodobieństwami jest następujący:

Symbole te można również rozszerzyć na wiele lat, wstawiając liczbę lat w lewym dolnym rogu podstawowego symbolu.

pokazuje liczbę osób, które umierają między wiekiem a wiekiem .

to prawdopodobieństwo śmierci w wieku od do wieku .

{ \ .

Inną statystyką, którą można uzyskać z tabeli trwania życia, jest oczekiwana długość życia .

to skrócone oczekiwanie życia dla osoby żyjącej w wieku . Jest to oczekiwana liczba pełnych lat życia pozostałych do końca życia (możesz myśleć o tym jako o przewidywanej liczbie urodzin, które dana osoba będzie obchodzić).

Tabela życia ogólnie pokazuje liczbę osób żyjących w wieku całkowitym. Jeśli potrzebujemy informacji dotyczących ułamka roku, musimy przyjąć założenia dotyczące tabeli, jeśli nie jest to już sugerowane przez matematyczny wzór leżący u podstaw tabeli. Powszechnym założeniem jest równomierny rozkład zgonów (UDD) w każdym roku życia. Przy tym założeniu interpolacją i l Displaystyle . tj

Renty

Ilustracja strumieni płatności reprezentowana przez notację aktuarialną dla rent.

Podstawowym symbolem obecnej wartości renty jest za . Następnie można dodać następującą notację:

  • Notacja w prawym górnym rogu wskazuje częstotliwość płatności (tj. liczbę płatności renty, które będą dokonywane w ciągu każdego roku). Brak takiego zapisu oznacza, że ​​płatności dokonywane są corocznie.
  • Oznaczenie w prawym dolnym rogu wskazuje wiek osoby, w której rozpoczyna się renta oraz okres, za który wypłacana jest renta.
  • Notacja bezpośrednio nad symbolem podstawowym wskazuje, kiedy dokonywane są płatności. Dwie kropki oznaczają rentę, której płatności są dokonywane na początku każdego roku („renta należna”); pozioma linia nad symbolem oznacza rentę płatną w sposób ciągły („renta ciągła”); żaden znak nad symbolem podstawowym nie wskazuje renty, której wypłaty są dokonywane na koniec każdego roku („renta natychmiastowa”).

Jeżeli płatności, które mają być dokonane w ramach renty dożywotniej, są niezależne od jakichkolwiek wydarzeń życiowych, jest to znane jako renta -pewna . W przeciwnym razie, w szczególności jeśli wypłaty kończą się wraz ze beneficjenta , nazywa się to rentą dożywotnią .

(czytaj a-angle-n w i ) reprezentuje obecną wartość renty natychmiastowej, która jest serią płatności jednostkowych na koniec każdego rok przez (innymi słowy: wartość na jeden okres przed pierwszą z płatności ). Wartość ta jest uzyskiwana z:

( w mianowniku pasuje do „i” od razu)

reprezentuje obecną wartość należnej renty, która jest serią płatności jednostkowych na początku każdego roku przez lat (innymi słowy: wartość w momencie pierwszej z n płatności). Wartość ta jest uzyskiwana z:

( w mianowniku pasuje do „d” w odpowiednim czasie)

to wartość w momencie ostatniej płatności, wartość jeden okres później.

Jeśli symbol zostanie dodany w prawym górnym rogu, reprezentuje obecną wartość renty, której płatności następują co rok okres ( n {\ , a każda płatność to jedna jednostki.

,

jest wartością graniczną gdy bez ograniczeń. Podstawowa renta jest znana jako renta ciągła .

Obecne wartości tych rent można porównać w następujący sposób:

Aby zrozumieć zależności pokazane powyżej, należy wziąć pod uwagę, że przepływy pieniężne płacone w późniejszym czasie mają mniejszą wartość bieżącą niż przepływy pieniężne o tej samej łącznej kwocie, które są płacone wcześniej.

  • dolny który reprezentuje stopę procentową, można zastąpić przez często jest pomijany jeśli stopa procentowa jest wyraźnie znana z kontekstu
  • W przypadku korzystania z tych symboli stopa procentowa niekoniecznie jest stała przez cały okres obowiązywania rent. Jednak w przypadku zmiany kursu powyższe formuły przestaną obowiązywać; można opracować określone formuły dla określonych ruchów kursu.

Renty dożywotnie

Renta dożywotnia to renta, której płatności są uzależnione od kontynuacji życia osoby dożywotniej. Wiek dożywotnika jest ważnym czynnikiem przy obliczaniu aktuarialnej wartości bieżącej renty dożywotniej.

  • Wiek dożywotnika jest umieszczony w prawym dolnym rogu symbolu, bez oznaczenia „kąta”.

Na przykład:

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie płatną na koniec każdego roku aż do śmierci osoby, która obecnie ma 65 lat

oznacza rentę w wysokości 1 jednostki rocznie płatną przez 10 lat z płatnościami dokonywanymi na koniec każdego roku

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie przez 10 lat lub do śmierci, jeśli wcześniej, osobie w wieku 65 lat

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie do wcześniejszej śmierci członka lub współmałżonka osobie, która obecnie ma 65 lat, a współmałżonek ma 64 lata

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie aż do późniejszej śmierci członka lub śmierci współmałżonka osobie, która obecnie ma 65 lat, a współmałżonek ma 64 lata.

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie płatną 12 razy w roku (1/12 jednostki miesięcznie) aż do śmierci osoby, która obecnie ma 65 lat

wskazuje rentę w wysokości 1 jednostki rocznie płatną na początku każdego roku aż do śmierci osoby, która obecnie ma 65 lat

lub ogólnie:

, gdzie to wiek dożywotnika, to liczba lat płatności (lub do śmierci, jeśli wcześniej), płatności rocznie, a stopa procentowa

Dla uproszczenia notacja jest ograniczona i nie pokazuje na przykład, czy renta jest wypłacana mężczyźnie czy kobiecie (fakt, który zwykle określa się na podstawie kontekstu, w tym tego, czy tablica trwania życia jest oparta na mężczyźnie czy kobiecie) śmiertelność kobiet).

Aktuarialna wartość bieżąca płatności warunkowych na życie może być traktowana jako matematyczna wartość oczekiwana zmiennej losowej wartości bieżącej lub obliczana za pomocą bieżącego formularza płatności.

Ubezpieczenie na życie

Podstawowym symbolem ubezpieczenia na życie jest . Następnie można dodać następującą notację:

  • Notacja w prawym górnym rogu wskazuje termin wypłaty świadczenia z tytułu śmierci. Brak oznaczenia oznacza, że ​​wypłaty dokonywane są na koniec roku śmierci. Cyfra w nawiasie (na przykład 4 dla kwartalnego; 2 dla półrocznego; 365 dziennie).
  • Notacja w prawym dolnym rogu wskazuje wiek osoby, w której rozpoczyna się ubezpieczenie na życie.
  • Oznaczenie bezpośrednio nad symbolem podstawowym wskazuje „rodzaj” ubezpieczenia na życie, płatne na koniec okresu lub natychmiast. Pozioma linia oznacza ubezpieczenie na życie płatne natychmiast, natomiast brak znaku nad symbolem oznacza, że ​​płatność ma nastąpić na koniec wskazanego okresu.

Na przykład:

wskazuje świadczenie z ubezpieczenia na życie w wysokości 1 płatne na koniec roku śmierci.

wskazuje świadczenie z ubezpieczenia na życie w wysokości 1 płatne na koniec miesiąca śmierci.

z ubezpieczenia na życie w wysokości 1 płatne w (matematycznym) momencie śmierci.

Premia

Podstawowym symbolem premii jest lub . ogólnie odnosi się do składek netto rocznie, składek specjalnych, jako składek wyjątkowych

Siła śmiertelności

Wśród aktuariuszy siła śmiertelności odnosi się do tego, co ekonomiści i inni naukowcy społeczni nazywają stopą ryzyka i jest interpretowana jako chwilowa stopa umieralności w pewnym wieku mierzona w ujęciu rocznym.

W tabeli trwania życia bierzemy pod uwagę prawdopodobieństwo śmierci osoby między wiekiem ( x ) a wiekiem x + 1; to prawdopodobieństwo nazywa się q x . W przypadku ciągłym możemy również rozważyć warunkowe prawdopodobieństwo , że osoba, która osiągnęła wiek ( x ) umrze między wiekiem ( x ) a wiekiem ( x + Δ x ) jako:

gdzie F X ( x ) jest skumulowaną funkcją dystrybucji ciągłej zmiennej losowej wieku w chwili śmierci , X. Skoro Δ x dąży do zera, to prawdopodobieństwo również w przypadku ciągłym. Przybliżona siła śmiertelności to prawdopodobieństwo podzielone przez Δ x . Jeśli pozwolimy, aby Δ x dążyło do zera, otrzymamy funkcję siły śmiertelności , oznaczoną jako μ ( x ):

Zobacz też

Linki zewnętrzne