Aktuarialna wartość bieżąca

Aktuarialna wartość bieżąca ( APV ) to oczekiwana wartość bieżącej wartości strumienia warunkowych przepływów pieniężnych (tj. serii płatności, które mogą zostać dokonane lub nie). Aktuarialna wartość bieżąca jest zwykle obliczana dla wypłaty świadczenia lub serii płatności związanych z ubezpieczeniami na życie i rentami dożywotnimi . Prawdopodobieństwo przyszłej płatności opiera się na założeniach dotyczących przyszłej śmiertelności danej osoby, którą zwykle szacuje się za pomocą tabeli trwania życia.

Ubezpieczenie na życie

Ubezpieczenie na całe życie wypłaca z góry ustalone świadczenie albo w chwili śmierci ubezpieczonego, albo wkrótce po jego śmierci. Symbol (x) jest używany do oznaczenia „życia w wieku x ”, gdzie x jest nielosowym parametrem, o którym zakłada się, że jest większy od zera. Aktuarialna wartość bieżąca jednej jednostki pełnego ubezpieczenia na życie wystawionego na (x) jest oznaczona symbolem lub $\ , {$ $overline {A}} _ {x}}$ w notacji aktuarialnej . Niech G>0 („wiek w chwili śmierci”) będzie zmienną losową , która modeluje wiek, w którym dana osoba, taka jak (x) , umrze. I niech T (zmienna losowa przyszłego życia) będzie czasem, jaki upłynął między wiekiem- x a wiekiem (x) w momencie wypłaty świadczenia (mimo że (x) najprawdopodobniej nie żyje w tym czasie). Ponieważ T jest funkcją G i x, napiszemy T=T(G,x) . Wreszcie, niech Z będzie zmienną losową o wartości bieżącej całego świadczenia z ubezpieczenia na życie w wysokości 1 płatnego w czasie T . Następnie:

{\ Displaystyle \, Z = v ^ {T} = (1 + i) ^ {- T} = e ^ {- \ delta T}}

gdzie i jest efektywną roczną stopą procentową, a δ jest ekwiwalentną siłą oprocentowania .

$wartość$ bieżącą świadczenia, musimy obliczyć tej zmiennej losowej Z Załóżmy, że świadczenie z tytułu śmierci jest wypłacane na koniec roku śmierci. Wtedy T(G, x) := pułap (G - x) to liczba „całych lat” (zaokrąglonych w górę) przeżytych przez (x) powyżej wieku x , tak że aktuarialna wartość bieżąca jednej jednostki ubezpieczenia jest wyrażona wzorem :

{\ Displaystyle {\begin{wyrównane}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty}v^{t}Pr[T =t]=\suma _{t=0}^{\infty}v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\suma _{t=0}^ {\infty }v^{t+1}Pr[t<Gx\równoważnik t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\infty}v^{t+1 }\left({\frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}\right)\left({\frac {Pr[x+t<G\leq x+t+1 ]}{Pr[G>x+t]}}\right)\\&=\suma _{t=0}^{\infty}v^{t+1}{}_{t}p_{x} \cdot q_{x+t}\end{wyrównane}}}

gdzie $t} p_ {x}}$ ${$ jest prawdopodobieństwem, że (x) wieku x + a jest prawdopodobieństwo, że (x+t) umrze w ciągu jednego roku.

Jeżeli świadczenie jest płatne w chwili śmierci, to T(G,x): = G - x , a aktuarialna wartość bieżąca jednej jednostki pełnego ubezpieczenia na życie obliczana jest jako

{\ Displaystyle \, {\ overline {A}} _ { x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{\infty}v^{t}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\ infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,}

gdzie $Displaystyle \, _ {t} p_ {$ funkcją gęstości prawdopodobieństwa T t $}} jest prawdopodobieństwem$ x przeżycia wieku życia ${\ displaystyle x}$ do wieku ${\ Displaystyle x + t}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {x + t}}$ oznacza siłę śmiertelności w czasie dla życia w wieku ${\ Displaystyle x + t$ ${\ displaystyle x}$ .

Aktuarialną wartość bieżącą jednej jednostki n -letniej polisy ubezpieczeniowej płatnej w chwili śmierci można znaleźć w podobny sposób, całkując od 0 do n .

Aktuarialną wartość bieżącą n-letniego świadczenia z ubezpieczenia na życie i dożycie wynoszącego 1, płatnego po n latach, jeśli żyje, można znaleźć jako

{\ Displaystyle \, _ {n} E_ {x} = Pr [G> x + n] v ^ {n} = \ ,_{n}p_{x}v^{n}}

W praktyce dostępne informacje o zmiennej losowej G (i z kolei T ) można czerpać z tablic trwania życia, które podają liczby w poszczególnych latach. Na przykład trzyletnie ubezpieczenie na życie w wysokości 100 000 USD płatne na koniec roku śmierci ma aktuarialną wartość bieżącą

_ {{\ stackrel {1} ​​{x}}: {{\ overline {3}} |}}=100 000\suma _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}

Załóżmy na przykład, że istnieje 90% szans na przeżycie danego roku przez osobnika (tj. T ma rozkład geometryczny z parametrem p = 0,9 i zbiorem {1, 2, 3, ...} dla jego wsparcia). Następnie

{\ Displaystyle Pr [T (G, x) = 1] = 0,1, \ quad Pr [T (G, x) = 2] = 0,9 (0,1) = 0,09, \ quad Pr [T ( G,x)=3]=0,9^{2}(0,1)=0,081,}

a przy stopie procentowej 6% aktuarialna wartość bieżąca jednej jednostki trzyletniego ubezpieczenia wynosi

A _ {{\ stackrel {1} ​​{x}}: {{\ overline {3}} |}}=0,1(1,06)^{-1}+0,09(1,06)^{-2}+0,081(1,06)^{-3}=0,24244846,}

więc aktuarialna wartość bieżąca ubezpieczenia na 100 000 USD wynosi 24 244,85 USD.

W praktyce świadczenie może być wypłacane na koniec okresu krótszego niż rok, co wymaga korekty formuły.

Renta dożywotnia

Aktuarialną wartość bieżącą renty dożywotniej w wysokości 1 rocznie wypłacanej w sposób ciągły można znaleźć na dwa sposoby:

Technika płatności zbiorczej (biorąc wartość oczekiwaną z całkowitej wartości bieżącej ):

Jest to podobne do metody polisy na życie. Tym razem zmienna losowa Y jest zmienną losową całkowitej wartości bieżącej renty w wysokości 1 rocznie, wydawanej na całe życie w wieku x , wypłacanej w sposób ciągły, dopóki dana osoba żyje, i jest dana wzorem:

{\ Displaystyle Y = {\ overline {a}} _ {\ overline {T (x) |}} = {\ Frac {1-(1+i)^{-T}}{\delta}}={\frac {1-v^{T}(x)}{\delta}},}

gdzie T=T(x) jest zmienną losową w przyszłym życiu dla osoby w wieku x . Oczekiwana wartość Y to:

{\ Displaystyle \, {\ overline {a}} _ {x} = \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ overline {a}} _ {\ overline {t|}} f_ {T} (t )\,dt=\int _{0}^{\infty}{\overline {a}}_{\overline {t|}}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t} \,dt.}

Bieżąca technika płatności (biorąc całkowitą obecną wartość funkcji czasu reprezentującej oczekiwane wartości płatności):

{\ Displaystyle \, {\ overline {a}} _ {x} = \ int _ { 0}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int _{0}^{\infty}v^{t}\,_{t}p_ {x}\,dt}

gdzie F ( t ) jest skumulowaną funkcją dystrybucji zmiennej losowej T .

Równoważność wynika również z całkowania przez części.

W praktyce renty dożywotnie nie są wypłacane w sposób ciągły. Jeżeli płatności są dokonywane na koniec każdego okresu, aktuarialna wartość bieżąca jest podawana przez

{\ Displaystyle a_ {x} = \ suma _ {t = 1} ^ {\ infty} v ^ {t} [1-F_ {T} (t)] = \ suma _ {t = 1} ^ {\ infty }v^{t}\,_{t}p_{x}.}

Utrzymując całkowitą płatność w ciągu roku na poziomie 1, im dłuższy okres, tym mniejsza wartość bieżąca wynika z dwóch efektów:

Płatności są dokonywane średnio o pół okresu później niż w przypadku ciągłym.
Nie ma proporcjonalnej zapłaty za czas w okresie śmierci, czyli „utraty” zapłaty średnio za pół okresu.

I odwrotnie, w przypadku umów kosztujących taką samą kwotę ryczałtową i mających taką samą wewnętrzną stopę zwrotu , im dłuższy okres między płatnościami, tym większa łączna płatność w ciągu roku.

Ubezpieczenie na życie jako funkcja renty dożywotniej

APV ubezpieczenia na całe życie można wyliczyć z APV renty na całe życie - należnej w następujący sposób:

{\ Displaystyle \, A_ {x} = 1-iv {\ ddot {a}} _ {x}}

Jest to również powszechnie zapisywane jako:

{\ Displaystyle \, A_ {x} = 1-d {\ ddot {a}} _ {x}}

W przypadku ciągłym,

{\ Displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x} = 1- \ delta {\ overline {a}} _ {x}.}

W przypadku gdy renta i ubezpieczenie na życie nie stanowią całego życia, należy zastąpić ubezpieczenie n-letnim ubezpieczeniem na dożycie (które można wyrazić jako sumę n-letniego ubezpieczenia na okres i n-letniego czystego dożycia), oraz renta z należną n-letnią rentą.

Zobacz też

Matematyka aktuarialna (wydanie drugie), 1997, Bowers, NL, Gerber, HU, Hickman, JC, Jones, DA i Nesbitt, CJ, rozdział 4-5
Models for Quantifying Risk (wydanie czwarte), 2011, Robin J. Cunningham, Thomas N. Herzog, Richard L. London, rozdział 7-8