Rozgałęziony kolektor

W matematyce rozgałęziona rozmaitość jest uogólnieniem rozmaitości różniczkowalnej , która może mieć osobliwości bardzo ograniczonego typu i dopuszcza dobrze zdefiniowaną przestrzeń styczną w każdym punkcie. Rozgałęziona n -rozmaitość jest pokryta n -wymiarowymi „wykresami współrzędnych”, z których każdy obejmuje jedną lub kilka „rozgałęzień” homeomorficznie rzutowanych na ten sam różniczkowalny ⁿ - dysk w Rn . Rozmaitości rozgałęzione po raz pierwszy pojawiły się w teorii układów dynamicznych w połączeniu z jednowymiarowymi atraktorami hiperbolicznymi skonstruowanymi przez Smale'a i zostały sformalizowane przez RF Williamsa w serii artykułów na temat rozszerzających się atraktorów. Szczególne przypadki małych wymiarów są znane jako tory kolejowe ( n = 1) i rozgałęzione powierzchnie ( n = 2) i odgrywają znaczącą rolę w geometrii trójrozmaitości po Thurston .

Definicja

Niech K będzie przestrzenią metryzowalną wraz z:

1. zbiór { U i _} domkniętych podzbiorów K ;
2. _dla każdego U _i skończony zbiór { Dij } zamkniętych podzbiorów Ui _;
3. dla każdego i odwzorowanie π _i : U _i → D _i ⁿ na zamknięty n -dysk klasy C ^k w R ⁿ .

Dane te muszą spełniać następujące wymagania:

1. ∪ _jot re _jaj = U ja _i ∪ _ja Int U _ja = K ;
2. ograniczenie π _i do D _ij jest homeomorfizmem na jego obraz π _i ( D _ij ), który jest zamkniętym dyskiem C ^k n względem granicy D _i ⁿ ;
3. istnieje kocykl dyfeomorfizmów { α _lm } klasy C ^k ( k ≥ 1) taki, że π _l = α _lm · π _m , gdy jest zdefiniowany. Dziedziną α _lm jest π _m ( U _l ∩ U _m ).

Wtedy przestrzeń K jest rozgałęzioną n -rozmaitością klasy C ^k .

Standardową maszynerię topologii różniczkowej można dostosować do przypadku rozgałęzionych rozmaitości. Prowadzi to do zdefiniowania przestrzeni stycznej Tp K do rozgałęzionej n -rozmaitości K w danym punkcie p , który jest n -wymiarową rzeczywistą przestrzenią _wektorową ; naturalne pojęcie C ^k różniczkowalnej mapy f : K → L między rozgałęzionymi rozmaitościami, jej różniczka df : T p _K → T f _{( p ) L} , zarodek f w p , przestrzenie dżetowe i inne powiązane pojęcia.

Przykłady

Zewnętrznie rozgałęzione n -rozmaitości są n -wymiarowymi kompleksami osadzonymi w pewnej przestrzeni euklidesowej, tak że każdy punkt ma dobrze zdefiniowaną n -wymiarową przestrzeń styczną.

• Graf skończony , którego krawędzie są płynnie osadzonymi łukami w powierzchni , tak że wszystkie krawędzie przychodzące do danego wierzchołka v mają tę samą styczną w punkcie v , to rozgałęziona jednorozmaitość lub tor kolejowy (istnieje kilka wariantów pojęcia tor kolejowy — tutaj nie ma ograniczeń co do wartościowości wierzchołków). Jako konkretny przykład rozważmy „ósemkę” utworzoną przez dwa zewnętrznie styczne okręgi w płaszczyźnie.
• Podwójny kompleks w R ³ składający się z kilku liści, które mogą stycznie łączyć się w pary wzdłuż pewnych podwójnych krzywych lub łączyć się w potrójne w izolowanych punktach osobliwych, gdzie te podwójne krzywe przecinają się poprzecznie, jest rozgałęzioną dwurozmaitością lub rozgałęzioną powierzchnią . Rozważmy na przykład przestrzeń K uzyskaną z 3 kopii płaszczyzny euklidesowej, oznaczonych T (góra), M (środek) i B (dół), identyfikując półpłaszczyzny y ≤ 0 w T i M oraz półpłaszczyzny x ≤ 0 w M i B . Można sobie wyobrazić M jako płaską płaszczyznę współrzędnych z=0 w R ³ , T liść zawijający się w górę od M wzdłuż osi x w prawo (dodatni kierunek y ) i B inny liść zawijający się w dół od M wzdłuż osi y z przodu (dodatni kierunek x ). Osie współrzędnych w M to podwójne krzywe K , które przecinają się poprzecznie w unikalnym punkcie potrójnym (0,0).

• Robert F. Williams, Rozszerzanie atraktorów , Publ. Matematyka IHES, t. 43 (1974), s. 169–203