SAMV (algorytm)

SAMV ( iteracyjna rzadka asymptotyczna minimalna wariancja ) to bezparametrowy algorytm superrozdzielczości dla liniowego problemu odwrotnego w estymacji spektralnej , estymacji kierunku przybycia (DOA) i rekonstrukcji tomograficznej z zastosowaniami w przetwarzaniu sygnałów , obrazowaniu medycznym i teledetekcji . Nazwa została wymyślona w 2013 roku, aby podkreślić jej podstawę na kryterium asymptotycznie minimalnej wariancji (AMV). Jest to potężne narzędzie do odzyskiwania zarówno charakterystyki amplitudowej, jak i częstotliwościowej wielu wysoce skorelowanych źródeł w trudnych warunkach (np. ograniczona liczba migawek i niski stosunek sygnału do szumu ). Zastosowania obejmują radar z syntetyczną aperturą , tomografię komputerową i obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego (MRI) .

Definicja

Sformułowanie algorytmu SAMV jest podane jako problem odwrotny w kontekście estymacji DOA. Załóżmy, że $sygnały$$układ$ liniowy (ULA) odbiera wąskopasmowe emitowane ze źródeł zlokalizowanych w miejscach $Displaystyle \ mathbf {\ theta } =\{\theta _{a},\ldots,\theta _{K}\}}$ \ odpowiednio. Czujniki w ULA gromadzą ${\ displaystyle N}$ migawki w określonym czasie. $Wymiarowe$ migawek _

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (n) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (n) + \ mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = [\ mathbf {a} (\ theta _ {1}), \ ldots, \ mathbf {a} (\theta _{K})]}$ to macierz sterująca , ${\ Displaystyle {\ bf {x}} (n) = [{\ bf {x}} _ {1} (n), \ ldots, {\ bf {x}} _ {K} (n)] ^ { T}}$ zawiera przebiegi źródłowe, a ${\ displaystyle {\ bf {e}} (n)}$ to składnik szumu. Załóżmy, że ${\ Displaystyle \ mathbf {E} \ lewo ({\ bf {e}} (n) {\ bf {e} }}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$ δ $\ bar {n}}}}$ jest deltą Diraca i jest równe 1 tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle n = {\ bar {n }}}$ i 0 w przeciwnym razie. Załóżmy również, że są niezależne i $mi ($$}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} \ lewo ({\ bf {x}} (n) {\ bf {x}} ^ {H} ({\ bar { n}}) \ prawej) = {\ bf {P}} \ delta _ {n, {\ bar {n}}}} , gdzie P = Diag$ ⁡ $\ bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots,p_{K}})}$ . niech ${\ displaystyle {\ bf {p}}}$$\ Displaystyle {\ bf {p}} = [p_ {1}, \ ldots, p_ {K} ,\sigma ]^{T}}$ { .

Macierz kowariancji , która zawiera wszystkie informacje o y ${\ Displaystyle {\ bf {y}} (n)} to$ p $Displaystyle {\ boldsymbol {\ bf {p}}}}$

${\ Displaystyle {\ bf {R}} = {\ bf {A}} {\ bf {P}} {\ bf {A}} ^ {H} + \ sigma {\ bf {I}}.}$

$macierz$ macierzy kowariancji gdzie ${\ Displaystyle {\ bf {Y}} = [{\ bf {y}} (1), \ ldots, {\ bf {y}}(N)]}$ . Po zastosowaniu operatora wektoryzacji do macierzy ${\ displaystyle {\ bf {R}}}$$})}$${\ Displaystyle {\ bf {r}} ({\ boldsymbol {\ bf {p}}}) = \ operatorname {vec} ({\ bf {R$ } jest liniowo powiązany z nieznanym parametrem jako ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bf {p}}}}$

${\ Displaystyle {\ bf {r}} ({\ pogrubiony symbol {\ bf {p}}}) = \ nazwa operatora {vec} ({\ bf {R}} )={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle {\ bf {S}} = [{\ bf {S}} _ {1}, {\ bar {\ bf {a}}} _ { K + 1}]}$ , $\ Displaystyle {\ bf {S}} _ {1} = [{\ bar {\ bf {a}}} _ { 1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_ {K}]}$ , ${\ Displaystyle {\ bar {\ bf {a}}} _ {k} = {\ bf {a}} _ {k} ^ {*} \ otimes {\ bf {a}} _ {k}}$ , ${\ Displaystyle k = 1, \ ldots, K.}$ i niech za $({\ bf {I}})}$$\ Displaystyle {\ bar {\ bf {a}}} _ {K + 1$$} = \ operatorname {vec$ gdzie jest produktem Kroneckera.

Algorytm SAMV

Aby oszacować parametr na podstawie statystyki , opracowujemy serię iteracyjnych podejść SAMV opartych na $}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bf {p}$ na asymptotycznie minimalnym kryterium wariancji. Z macierzy kowariancji ${\ displaystyle \ operatorname {Cov} _ {\ boldsymbol {p}} ^ {\ operatorname {Alg}}}$ dowolnego spójnego estymatora ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} }$ na podstawie statystyki drugiego rzędu ${\ Displaystyle {\ bf {r}} _ {N}}$ jest ograniczony przez rzeczywistą symetryczną dodatnio określoną macierz

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cov} _ {\ boldsymbol {p}} ^ {\ nazwa operatora {Alg}} \ geq [{\ bf {S }}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ bf {S}} _ {d} = {\ rm {d}} {\ bf {r}} ({\ boldsymbol {p}}) /{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$ . Ponadto ta dolna granica jest osiągana przez macierz kowariancji rozkładu asymptotycznego uzyskanej przez minimalizację, ${\ Displaystyle {\ hat {\ bf {p}}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ pogrubiony symbol {p}}} = \ arg \ min _ {\ pogrubiony symbol {p}} f ({\ pogrubiony symbol {p}}), }$

gdzie ${\ Displaystyle f ({\ boldsymbol {p}}) = [{\ bf {r}} _ {N} - {\ bf {r}} ({\ boldsymbol {p}})] ^ {H} {\ bf {C}}_ {r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

Dlatego oszacowanie $.$ uzyskać iteracyjnie

{ ${\ Displaystyle \ {{\ kapelusz {p}} _ {k} \} _ {k = 1} ^ {K}}$ σ $\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}}}$ , które minimalizują, można obliczyć w następujący sposób ${\ Displaystyle f ({\ boldsymbol {p}})}$ Załóżmy ${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} _ {k} ^ {(i)}}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {\ sigma}} ^ {(i)}}$ zostały przybliżone do pewnego stopnia w $iteracji$ , można je udoskonalić w ${\ displaystyle (i+1)}$ iteracja o,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} _ {k} ^ {(i + 1)} = {\ Frac {{\ bf {a} }_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{( i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}} {\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\kapelusz {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a} }_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K }$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} ^ {(i + 1)} = \ lewo (\ nazwa operatora {Tr} ({\ bf {R}} ^ {- 2 ^ {(i)}}} {\ bf {R}}_{N})+{\kapelusz {\sigma}}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})- \operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{ (I)}})}},}$

$gdzie$ oszacowanie w $styl wyświetlania {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\kapelusz {\ sigma }} ^ {(i)} {\ bf {I}}}$ podane przez $\$${$ z ${\ Displaystyle {\ bf {P}} ^ {(i)} = \ nazwa operatora {Diag} ({\ kapelusz {p}} _ {1} ^ { (i)},\ldots,{\kapelusz {p}}_{K}^{(i)})}$ .

Poza dokładnością skanowania siatki

Rozdzielczość większości skompresowanych technik lokalizacji źródła opartych na wykrywaniu jest ograniczona przez dokładność siatki kierunkowej, która obejmuje przestrzeń parametrów lokalizacji. W modelu odzyskiwania rzadkiego sygnału rzadkość sygnału prawdy zależy od odległości między sąsiednimi elementami w przepełnionym słowniku $\$$bf { A}}}$ , stąd trudność w wyborze optymalnego słownika przepełnionego powstaje. Złożoność obliczeniowa jest wprost proporcjonalna do dokładności siatki kierunkowej, bardzo gęsta siatka nie jest praktyczna obliczeniowo. zaproponowano bezsiatkowy SAMV-SML ( iteracyjna rzadka asymptotyczna minimalna wariancja - największe prawdopodobieństwo stochastyczne ), które udoskonalają oszacowania lokalizacji ${\ displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta}}}=(\theta_{1},\ldots,\theta _{K})^{T}}$ przez iteracyjne minimalizowanie stochastycznej funkcji maksymalnego kosztu wiarygodności w odniesieniu do pojedynczego parametru skalarnego ${\ displaystyle \ theta _ {k}}$ .

Zastosowanie do obrazowania zakres-Doppler

SISO z trzema celami 5 dB i sześcioma celami 25 dB. (a) prawda podstawowa, (b) filtr dopasowany (MF), (c) algorytm IAA, (d) algorytm SAMV-0. Wszystkie poziomy mocy podano w dB. Obie metody MF i IAA mają ograniczoną rozdzielczość względem osi Dopplera. SAMV-0 oferuje doskonałą rozdzielczość zarówno pod względem zasięgu, jak i dopplera.

Typowe zastosowanie algorytmu SAMV w zadaniu SISO radar / sonar range-Doppler . Ten problem obrazowania jest aplikacją pojedynczej migawki i zawiera algorytmy kompatybilne z estymacją pojedynczej migawki, tj. dopasowany filtr (MF, podobny do periodogramu lub projekcji wstecznej , który jest często skutecznie implementowany jako szybka transformata Fouriera (FFT)), IAA oraz wariant algorytmu SAMV (SAMV-0). Warunki symulacji są identyczne jak: ZA ${\ displaystyle 30}$ impuls wykorzystywany jest kod P3 z kompresją impulsu wielofazowego i łącznie symulowanych jest dziewięć ruchomych celów. Ze wszystkich ruchomych celów trzy mają $moc$$dB$ , a pozostałe sześć ma moc dB. Zakłada się $,$ że odbierane sygnały są zanieczyszczone jednolitym białym szumem Gaussa o mocy dB.

Wynik detekcji dopasowanego filtra jest obciążony poważnymi efektami rozmycia i wycieku zarówno w domenie Dopplera, jak i zakresu, stąd niemożliwe jest rozróżnienie $celów 5$ . Wręcz przeciwnie, algorytm IAA oferuje ulepszone wyniki obrazowania z obserwowalnymi oszacowaniami zasięgu docelowego i częstotliwościami Dopplera. $Podejście$ SAMV-0 zapewnia bardzo rzadki wynik i całkowicie eliminuje efekty rozmazywania, ale pomija słabe dB.

Implementacja open source

typu open source w MATLAB można pobrać tutaj .

Zobacz też

• Przetwarzanie tablicowe
• Dopasowany filtr
• Periodogram
• Filtrowana projekcja wsteczna (transformacja Radona)
• Klasyfikacja wielosygnałowa (MUSIC), popularna metoda parametrycznej superrozdzielczości
• Radar impulsowo-dopplerowski
• Obrazowanie w super rozdzielczości
• Skompresowane wykrywanie
• Problem odwrotny
• Rekonstrukcja tomograficzna