MUZYKA (algorytm)

Wyszukiwanie kierunku radiowego za pomocą algorytmu MUSIC

MUSIC ( Multiple SIgnal Classification ) to algorytm używany do szacowania częstotliwości i wyszukiwania kierunku radiowego .

Historia

W wielu praktycznych problemach przetwarzania sygnałów celem jest oszacowanie na podstawie pomiarów zestawu stałych parametrów, od których zależą odbierane sygnały. Istnieje kilka podejść do takich problemów, w tym tak zwana metoda największej wiarygodności (ML) Capona (1969) i metoda maksymalnej entropii (ME) Burga. Metody te, choć często skuteczne i szeroko stosowane, mają pewne podstawowe ograniczenia (zwłaszcza błąd systematyczny i czułość w oszacowaniach parametrów), głównie dlatego, że wykorzystują nieprawidłowy model (np. raczej AR niż specjalny ARMA ) pomiarów.

Pisarenko (1973) był jednym z pierwszych, którzy wykorzystali strukturę modelu danych, robiąc to w kontekście estymacji parametrów złożonych sinusoid w szumie addytywnym przy użyciu metody kowariancji. Schmidt (1977), pracując w Northrop Grumman oraz niezależnie Bienvenu i Kopp (1979) jako pierwsi poprawnie wykorzystali model pomiarowy w przypadku matryc sensorowych o dowolnej postaci. W szczególności Schmidt osiągnął to, najpierw wyprowadzając kompletne rozwiązanie geometryczne przy braku szumu, a następnie sprytnie rozszerzając koncepcje geometryczne, aby uzyskać rozsądne przybliżone rozwiązanie w obecności szumu. Powstały algorytm został nazwany MUSIC (Multiple SIgnal Classification) i był szeroko badany.

W szczegółowej ocenie opartej na tysiącach symulacji Laboratorium Lincolna z Massachusetts Institute of Technology stwierdziło w 1998 r., że wśród obecnie akceptowanych algorytmów o wysokiej rozdzielczości, MUSIC był najbardziej obiecującym i wiodącym kandydatem do dalszych badań i rzeczywistej implementacji sprzętu. Jednakże, chociaż zalety wydajności MUSIC są znaczne, są one osiągane kosztem obliczeń (przeszukiwanie przestrzeni parametrów) i przechowywania (danych kalibracji macierzy).

Teoria

Metoda MUSIC zakłada, że ​​wektor sygnału składa się ze $wykładników$ , których częstotliwości są nieznane, w obecności białego szumu Gaussa, $x$$\ displaystyle \ mathbf {x}$${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ , zgodnie z modelem liniowym

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {s} + \ mathbf {n}.}$

ZA ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = [\ mathbf {a} (\ omega _ {1}), \ cdots \ mathbf {a$$wektorów$ macierz Vandermonde'a sterujących $\ Displaystyle \ mathbf {a} (\ omega) = [1, e ^ {j \ omega}, e ^ {j2 \ omega}, \ ldots, mi ^ {j (M-1) \ omega}] ^ {T}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {s} = [s_ {1}, \ ldots, s_ { p}]^{T}}$ to wektor amplitudy. Kluczowym założeniem jest to, że liczba źródeł ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p <M$ jest mniejsza niż liczba elementów w wektorze pomiarowym, tj. $}$ .

Macierz autokorelacji ${\ displaystyle M \ razy M}$ jest następnie dana przez ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {R} _ {s} \ mathbf {A} ^ {H} + \sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

gdzie jest $szumu$ , jest macierzą $\$${\ Displaystyle M \ razy M}$ i $Displaystyle \ mathbf {R} _ {s}}$ jest macierzą autokorelacji ${\ displaystyle p \ razy p}$${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ .

Macierz autokorelacji jest tradycyjnie szacowana przy użyciu przykładowej macierzy korelacji ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}}$

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {R}}} _ {x} = {\ Frac {1} {N}} \ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ { H}}$

gdzie ${\ Displaystyle N> M}$ to liczba obserwacji wektorów i ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = [\ mathbf {x} _ {1 },\mathbf {x} _{2},\ldots,\mathbf {x} _{N}]}$ . Biorąc pod $uwagę$ oszacowanie , MUZYKA szacuje częstotliwości sygnału lub macierzy autokorelacji przy użyciu przestrzeni własnej .

Ponieważ jest $macierzą$$\ {\ mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$ , wszystkie jej $wektory$ własne są do siebie prostopadłe. Jeśli wartości własne są posortowane w kolejności malejącej, wektory własne ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}$${\ Displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {p} \}}$$odpowiadające$ największym wartościom własnym ( . kierunkom największa zmienność) obejmują podprzestrzeń sygnału ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {S}}$ . Pozostałe $}$ odpowiadają wartości własnej równej i obejmują podprzestrzeń szumu $\ Displaystyle \ sigma ^ {2}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {N}}$ , który jest prostopadły do ​​podprzestrzeni sygnału, ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {S} \ perp {\ mathcal {U }}_{N}}$ .

$,$ że dla identyczna z rozkładem harmonicznym Ogólną ideą metody MUSIC jest wykorzystanie wszystkich wektorów własnych obejmujących podprzestrzeń szumu w celu poprawy wydajności estymatora Pisarenki.

Ponieważ każdy wektor sygnału $Displaystyle$ który znajduje się w podprzestrzeni sygnału, musi być prostopadły do $\ mathbf {e} \ in {\ mathcal {U}} _ {S}}$ podprzestrzeń szumu, musi być tak, że ${\ Displaystyle \ mathbf {e} \ perp {\ mathcal {U}} _ {N}} mi$$\ Displaystyle \ mathbf {e} \ perp \ mathbf {v} _{i}}$ dla wszystkich wektorów własnych ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {i} \} _ {i = p + 1} ^ {M}},$ która obejmuje podprzestrzeń szumu. $\ displaystyle \ mathbf {e}$ stopnia ortogonalności mi $Displaystyle \ mathbf {e}}$ w odniesieniu do wszystkich mi , algorytm MUSIC definiuje normę kwadratową

${\ Displaystyle d ^ {2} = \|\ mathbf {U} _ {N} ^ {H} \ mathbf {e} \|^ {2} = \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {U } _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\suma _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

gdzie macierz ${\ Displaystyle \ mathbf {U} _ {N} = [\ mathbf {v} _ {p + 1}, \ ldots, \ mathbf {v } _ {M}]}$ jest macierzą wektorów własnych obejmujących podprzestrzeń szumu ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {N}}$ . mi $U}} _ {S}}$ , to ${\ Displaystyle d ^ {2} = 0}$ jak wynika z warunku ortogonalności. Odwrotność kwadratu wyrażenia normy tworzy ostre piki przy częstotliwościach sygnału. Funkcja oszacowania częstotliwości dla MUZYKI (lub pseudowidma) to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {P}} _ {MU} (e ^ {j \ omega}) = {\ Frac {1} {\ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {U} _ {N }\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^ {H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

gdzie są wektorami własnymi szumu i ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i e ^ {j \ omega} i e ^ {j2 \ omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

jest kandydującym wektorem sterującym. Lokalizacje $składowych$ dają oszacowania częstotliwości dla sygnału ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ omega}} = \ arg \ max _ {\ omega} \; {\ kapelusz {P}} _ {MU} (e ^ {j \ omega}).}$

MUZYKA jest uogólnieniem metody Pisarenki i sprowadza się do metody Pisarenki, gdy ${\ displaystyle M = p + 1}$ . W metodzie Pisarenki do utworzenia mianownika funkcji estymacji częstotliwości używany jest tylko jeden wektor własny; a wektor własny jest interpretowany jako zbiór autoregresji współczynniki, których zera można znaleźć analitycznie lub za pomocą algorytmów znajdowania pierwiastków wielomianowych. W przeciwieństwie do tego MUSIC zakłada, że ​​kilka takich funkcji zostało dodanych razem, więc zera mogą nie występować. Zamiast tego istnieją lokalne minima, które można zlokalizować, przeszukując obliczeniowo funkcję estymacji pików.

Wymiar przestrzeni sygnału

Podstawowa obserwacja, na której opiera się MUZYKA i inne metody dekompozycji podprzestrzeni, dotyczy rangi macierzy autokorelacji , która jest powiązana z liczbą źródeł sygnału $}$$mathbf {R} _ {x}$ \ następuje.

Jeśli źródła są złożone, to $wymiar$ podprzestrzeni sygnału wynosi . $} _ {S$$}$ . Jeśli źródła są rzeczywiste, to $}$ wymiar podprzestrzeni sygnału wynosi $2p$ , tj. każda rzeczywista sinusoida jest generowana przez dwa wektory

Ten fundamentalny wynik, choć często pomijany w książkach do analizy widmowej, jest powodem, dla którego sygnał wejściowy można rozłożyć na wektory własne ${\ Displaystyle$ sygnału obejmujące ${\ mathcal {U}} _ {S}}$ ( ${\ Displaystyle 2p}$ dla sygnałów o wartościach rzeczywistych) i wektorów własnych podprzestrzeni szumu obejmujących ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {N}}$ . Opiera się na teorii osadzania sygnału i może być również wyjaśnione topologiczną teorią rozmaitości .

Porównanie z innymi metodami

MUSIC przewyższa proste metody, takie jak zbieranie pików widm DFT w obecności szumu, gdy liczba składowych jest znana z góry, ponieważ wykorzystuje wiedzę o tej liczbie do ignorowania szumu w raporcie końcowym.

W przeciwieństwie do DFT jest w stanie oszacować częstotliwości z dokładnością większą niż jedna próbka, ponieważ jego funkcję estymacji można ocenić dla dowolnej częstotliwości, nie tylko dla przedziałów DFT. Jest to forma superrozdzielczości .

Jej główną wadą jest to, że wymaga wcześniejszej znajomości liczby elementów, więc oryginalna metoda nie może być stosowana w bardziej ogólnych przypadkach. Istnieją metody szacowania liczby składników źródłowych wyłącznie na podstawie właściwości statystycznych macierzy autokorelacji. Patrz np. Ponadto, MUZYKA zakłada, że ​​współistniejące źródła są nieskorelowane, co ogranicza jej praktyczne zastosowania.

Najnowsze iteracyjne metody półparametryczne oferują solidną superrozdzielczość pomimo wysoce skorelowanych źródeł, np. SAMV

Inne aplikacje

Zmodyfikowana wersja MUSIC, oznaczona jako Time-Reversal MUSIC (TR-MUSIC), została ostatnio zastosowana do obliczeniowego obrazowania z odwróceniem czasu. Zaimplementowano również algorytm MUSIC do szybkiego wykrywania częstotliwości DTMF ( Dual-tone multi-frequency signaling ) w postaci biblioteki C - libmusic.

Zobacz też

• Oszacowanie gęstości widmowej
• Periodogram
• Dopasowany filtr
• metoda Welcha
• metoda Bartletta
• SAMV (algorytm)
• Znalezienie kierunku radiowego
• Algorytm wykrywania wysokości tonu
• Mikroskopia wysokiej rozdzielczości

Dalsza lektura

• Szacowanie i śledzenie częstotliwości, Quinn i Hannan, Cambridge University Press 2001.