Sekwencja bez sumy

W matematyce ciąg bez sumy to rosnący ciąg dodatnich liczb całkowitych ,

${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots,}$

tak, że żaden termin nie $może$ jako suma dowolnego podzbioru poprzednich elementów ciągu.

Różni się to od zbioru bez sumy , w którym należy unikać tylko par sum, ale gdzie sumy te mogą pochodzić z całego zbioru, a nie tylko z poprzednich wyrazów.

Przykład

Siły dwojga ,

1, 2, 4, 8, 16, ...

tworzą sekwencję bez sumy: każdy wyraz w sekwencji jest o jeden większy niż suma wszystkich poprzednich wyrazów, a zatem nie może być przedstawiony jako suma poprzednich wyrazów.

Sumy odwrotności

Mówimy, że zbiór liczb całkowitych jest mały , jeśli suma jego odwrotności jest zbieżna do wartości skończonej. Na przykład, zgodnie z twierdzeniem o liczbach pierwszych , liczby pierwsze nie są małe. Paul Erdős ( 1962 ) udowodnił , że każdy ciąg bez sumy jest mały i zapytał, jak duża może być suma odwrotności. Na przykład suma odwrotności potęg dwójki ( szereg geometryczny ) wynosi dwa.

Jeśli $oznacza$ maksymalną sumę odwrotności ciągu bez sumy, to z późniejszych badań wiadomo, że $R <2,8570}$ .

Gęstość

Z faktu, że ciągi bez sumy są małe, wynika, że ​​mają zerową gęstość Schnirelmanna ; to znaczy, jeśli $jest$$zdefiniowany$ jako liczba elementów sekwencji, które ${ \displaystyle A(x)=o(x)}$ to . Erdős (1962) wykazał, że dla każdego ciągu bez sumy istnieje nieograniczony ciąg liczb ${\ Displaystyle x_ {i}}$ dla którego ${\ Displaystyle A (x_ {i}) = O (x ^ {\ varphi -1})}$ gdzie ${ \ displaystyle \ varphi }$ to złoty podział i przedstawił sekwencję bez sumy, dla której dla wszystkich wartości ${\ displaystyle x$ } ${\ Displaystyle A (x) = \ Omega (x ^ {2/7})}$ , następnie ulepszony do ${\ Displaystyle A (x) = \ Omega (x ^ { 1/3})}$ przez Deshouillers, Erdős i Melfi w 1999 i ZA $\ Displaystyle A (x) = \ Omega (x ^ {1/2- \ varepsilon })}$ przez Luczaka i Schoena w 2000 r., którzy również udowodnili, że wykładnika 1/2 nie da się już poprawić.

Notatki

•   Abbott, HL (1987), "O sekwencjach bez sumy", Acta Arithmetica , 48 (1): 93–96, doi : 10,4064/aa-48-1-93-96 , MR 0893466 .
•   Chen . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 012-4540-6 , S2CID 124005748 .
•   Deshouillers, Jean-Marc ; Erdős, Pál ; Melfi, Giuseppe (1999), „Na pytanie o sekwencje bez sumy”, Discrete Mathematics , 200 (1–3): 49–54, doi : 10.1016 / s0012-365x (98) 00322-7 , MR 1692278 .
•   Erdős, Pál (1962), „Számelméleti megjegyzések, III. Néhány additív számelméleti problémáról” [Kilka uwag na temat teorii liczb, III] (PDF) , Matematikai Lapok (w języku węgierskim), 13 : 28–38, MR 0144871 .
•   Levine, Eugeniusz; O'Sullivan, Joseph (1977), „Górne oszacowanie odwrotności sumy sekwencji bez sumy”, Acta Arithmetica , 34 (1): 9–24, doi : 10,4064 / aa-34-1-9-24 , MR 0466016 .
•   Łuczak Tomasz; Schoen, Tomasz (2000), „O maksymalnej gęstości zbiorów bez sumy”, Acta Arithmetica , 95 (3): 225–229, doi : 10.4064/aa-95-3-225-229 , MR 1793162 .
•   Yang, Shi Chun (2009), „Uwaga o odwrotnej sumie sekwencji bez sumy”, Journal of Mathematical Research and Exposition , 29 (4): 753–755, MR 2549677 .
• Yang, Shi Chun (2015), „Górna granica odwrotności Erdösa sumy sekwencji bez sumy”, Scientia Sinica Mathematica , 45 (3): 213–232, doi : 10.1360 / N012014-00121 .