Splajn pudełkowy

W matematycznych dziedzinach analizy numerycznej i teorii aproksymacji krzywe skrzynkowe są częściowo wielomianowymi funkcjami kilku zmiennych. Splajny pudełkowe są uważane za wielowymiarowe uogólnienie splajnów bazowych (B-splajny) i są generalnie używane do aproksymacji/interpolacji wielowymiarowej. Geometrycznie splajn pudełkowy to cień (prześwietlenie rentgenowskie) hipersześcianu rzutowany w dół na przestrzeń o niższych wymiarach. Splajny skrzynkowe i splajny proste są dobrze zbadanymi specjalnymi przypadkami splajnów wielościennych, które są zdefiniowane jako cienie ogólnych politopów .

Definicja

Splajn pudełkowy to funkcja wielowymiarowa $R$ dla zbioru wektorów ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb$ zwykle zebrane w macierz ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Xi}: = \ lewo [\ xi _ {1} \ kropki \ xi _ {N} \ prawo].}$

Gdy liczba wektorów jest taka sama jak wymiar dziedziny (tj. $funkcją$ wówczas splajn pudełkowy jest po prostu (znormalizowaną) równoległościanu utworzonego przez wektory w ${ \ Displaystyle \ mathbf {\ Xi}}$ :

${\ Displaystyle M _ {\ mathbf {\ Xi}} (\ mathbf {x}): = {\ Frac {1} {\ mid {\ det {\ Xi}} \ mid}} \ chi _ {\ mathbf {\ Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x } =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ dla pewnego }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{ inaczej}}.\end{przypadki}}}$

Dodanie nowego kierunku $\$ lub ogólnie, gdy pudełka jest definiowany rekurencyjnie: $}$$}$

${\ Displaystyle M _ {\ mathbf {\ Xi} \ kubek \ xi} (\ mathbf {x}) = \ int _ {0} ^ {1} M _ {\ mathbf {\ Xi}} (\ mathbf {x} - t\xi )\,{\rm {d}}t.}$

Przykłady dwuwymiarowych splajnów pudełkowych odpowiadających wektorom 1, 2, 3 i 4 w 2-D.

Krzywa pudełkowa $być$ jako cień funkcji wskaźnikowej hipersześcianu jednostkowego w rzutowaniu ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}} w$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$ do $są$ widoku wektory rzutem geometrycznym standardowej podstawy w $\ displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ (czyli krawędzie hipersześcianu) na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Biorąc pod uwagę rozkłady temperowane, splajn pudełkowy powiązany z wektorem o jednym kierunku jest uogólnioną funkcją podobną do Diraca obsługiwaną na ${\ displaystyle t \ xi}$ dla ${\ displaystyle 0 \ równoważnik t <1}$ . Następnie ogólny splajn pudełkowy jest definiowany jako splot rozkładów powiązanych z jednowektorowymi splajnami pudełkowymi:

${\ Displaystyle M _ {\ mathbf {\ Xi}} = M _ {\ xi _ {1}} \ ast M _ {\ xi _ {2}} \ ast \ kropki \ ast M_ {\ xi _ {N}}.}$

Nieruchomości

• Niech $} ^ {d}}$ minimalną liczbą kierunków, których usunięcie z ${$ \ displaystyle \ $R$ . $_ {\ mathbf {\ Xi}} \ w C ^ {\ kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})}$ splajn pudełkowy ma stopnie ciągłości: $Displaystyle$ .
• Kiedy (i wektory w span $\$${\ Displaystyle$$mathbb {R} ^ {d}})$ splajn pudełkowy jest kompaktowo obsługiwaną jest zonotopem w $utworzonym$ przez sumę Minkowskiego wektorów kierunkowych ${\ Displaystyle \ xi \ in \ mathbf {\ Xi$ .
• Ponieważ zonotopy są centralnie symetryczne, podpora splajnu pudełkowego jest symetryczna względem jego środka: ${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {\ Xi}: = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {n = 1} ^ {N} \ xi _ {n}.}$
• Transformata Fouriera splajnu pudełkowego w $jest$ dana przez

${\ Displaystyle {\ kapelusz {M}} _ {\ Xi} (\ omega) = \ exp (-j \ mathbf {c} _ {\ Xi} \ cdot \ omega) \ prod _ {n = 1} ^ { N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega).}$

Aplikacje

W zastosowaniach stosuje się liniowe kombinacje przesunięć jednego lub więcej splajnów skrzynkowych na siatce. Takie splajny są bardziej wydajne niż liniowe kombinacje splajnów simplex, ponieważ można je dopracować i, z definicji, są niezmienne z przesunięciem. Stanowią zatem punkt wyjścia dla wielu powierzchniowych konstrukcji podziałowych .

Splajny skrzynkowe były przydatne w charakteryzowaniu układów hiperpłaszczyzn. Splajny pudełkowe mogą być również używane do obliczania objętości polytopów.

W kontekście wielowymiarowego przetwarzania sygnału krzywe skrzynkowe mogą zapewniać jądra interpolacji wielowymiarowej (filtry rekonstrukcyjne) dostosowane do niekartezjańskich sieci próbkowania oraz sieci krystalograficzne (sieci korzeniowe), które zawierają wiele teoretycznie optymalnych sieci próbkowania. Ogólnie rzecz biorąc, optymalne upakowanie sfer i siatki pokrywające kule są przydatne do próbkowania funkcji wielowymiarowych w wymiarach 2-D, 3-D i wyższych. W ustawieniu 2-D trójkierunkowy splajn prostokątny jest używany do interpolacji obrazów próbkowanych sześciokątnie. W ustawieniu 3-D czterokierunkowe i sześciokierunkowe splajny skrzynkowe są używane do interpolacji danych próbkowanych odpowiednio na (optymalnych) sieciach sześciennych centrowanych na ciele i centrowanych na twarzy . Siedmiokierunkowy splajn skrzynkowy został użyty do modelowania powierzchni i może być używany do interpolacji danych na sieci kartezjańskiej, jak również na sieci sześciennej wyśrodkowanej na ciele . Uogólnienie cztero- i sześciokierunkowych splajnów skrzynkowych do wyższych wymiarów można wykorzystać do budowy splajnów na sieciach głównych . Splajny skrzynkowe są kluczowymi składnikami splajnów sześciokątnych i splajnów Woronoja, których jednak nie można udoskonalić.

Splajny skrzynkowe znalazły zastosowanie w filtrowaniu wielowymiarowym, w szczególności w szybkim filtrowaniu dwustronnym i algorytmach środków nielokalnych. Ponadto splajny skrzynkowe są wykorzystywane do projektowania wydajnych filtrów w wariantach przestrzennych (tj. niesplotowych).

Splajny pudełkowe są użytecznymi funkcjami bazowymi do reprezentacji obrazu w kontekście problemów rekonstrukcji tomograficznej, ponieważ przestrzenie splajnów generowane przez przestrzenie splajnów pudełkowych są zamknięte pod wpływem transformacji rentgenowskiej i radona . W tej aplikacji, podczas gdy sygnał jest reprezentowany w przestrzeniach niezmiennych z przesunięciem, projekcje są uzyskiwane w formie zamkniętej przez niejednorodne translacje splajnów pudełkowych.

W kontekście przetwarzania obrazu wykazano, że ramki splajnu pudełkowego są skuteczne w wykrywaniu krawędzi.