Sprawiedliwy podział jednego jednorodnego zasobu

Sprawiedliwy podział pojedynczego jednorodnego zasobu jest jednym z najprostszych ustawień w problemach sprawiedliwego podziału . Istnieje jeden zasób, który należy podzielić między kilka osób. Wyzwanie polega na tym, że każda osoba czerpie inną użyteczność z każdej ilości zasobu. W związku z tym istnieje kilka sprzecznych zasad dotyczących decydowania o sposobie podziału zasobów. Podstawowy konflikt toczy się między wydajnością a równością. Efektywność jest reprezentowana przez regułę utylitarystyczną , która maksymalizuje sumę użyteczności; równość jest reprezentowana przez egalitaryzmu , która maksymalizuje minimalną użyteczność.

Ustawienie

W pewnym społeczeństwie istnieją:

${\ displaystyle t}$ jednostki jakiegoś podzielnego zasobu.
${\ displaystyle n}$ agenci z różnymi „narzędziami”.
Użyteczność agenta $displaystyle$ reprezentowana przez funkcję $u_ {i}}$ ; kiedy agent $\ Displaystyle u_ {$ jednostki $($ , wyprowadza z nich użyteczność u $y_ {i})}$ .

To ustawienie może mieć różne interpretacje. Na przykład:

Zasobem jest drewno, agenci to budowniczowie, a funkcje użytkowe reprezentują ich siłę produkcyjną - ${\ Displaystyle u_ {i} (y_ {i})}$ to liczba budynków, które agent ${\ displaystyle i}$ może budować przy $użyciu$ .
Zasobem jest lek, agentami są pacjenci, a funkcje użyteczności reprezentują ich szansę na wyzdrowienie - ${\ Displaystyle u_ {i} (y_ {i})}$ to prawdopodobieństwo agenta ${\ displaystyle i}$ wyzdrowieć, $leku$ .

$,$ : musi znaleźć wektor że ${\ Displaystyle y_ {1} + \ cdots + y_ {n} = t}$

Zasady alokacji

Bez zazdrości

Zasada braku zazdrości mówi, że zasób powinien być przydzielony w taki sposób, aby żaden agent nie zazdrościł innemu agentowi. W przypadku pojedynczego jednorodnego zasobu zawsze wybiera alokację, która daje każdemu agentowi taką samą ilość zasobu, niezależnie od ich funkcji użyteczności:

{\ Displaystyle \ forall i: y_ {i} = t / n}

Utylitarny

Reguła utylitaryzmu mówi , że suma użyteczności powinna być maksymalizowana. Dlatego alokacja utylitarna to:

{\ Displaystyle y = \ arg \ max _ {y} \ suma _ {i} u_ {i} (y_ {i})}

Egalitarny

Zasada egalitaryzmu mówi , że użyteczności wszystkich agentów powinny być równe. Dlatego chcielibyśmy wybrać alokację, która spełnia:

{\ Displaystyle \ forall ja, j: u_ {i} (y_ {i}) = u_ {j} (y_ {j})}

Jednak taka alokacja może nie istnieć, ponieważ zakresy funkcji użyteczności mogą się nie pokrywać (patrz przykład poniżej). Aby zapewnić istnienie rozwiązania, zezwalamy na różne poziomy użyteczności, ale wymagamy, aby agenci z poziomami użyteczności powyżej minimum nie otrzymywali żadnych zasobów:

{\ Displaystyle y_ {i}> 0 \ implikuje u_ {i} (y_ {i}) = \ min _ {j} u_ {j }(y_{j})}

Równoważnie, egalitarna alokacja maksymalizuje minimalną użyteczność:

{\ Displaystyle y = \ arg \ max _ {y} \ min _ {i} u_ {i} (y_ {i})}

Reguły utylitarne i egalitarne mogą prowadzić do tej samej alokacji lub do różnych alokacji, w zależności od funkcji użyteczności. Poniżej zilustrowano kilka przykładów.

Przykłady

Wspólna użyteczność i nierówne wyposażenie

$.$ $,$ $że wszyscy agenci$ tę samą funkcję użytkową, agent ma inne początkowe wyposażenie Tak więc użyteczność każdego agenta jest określona wzorem: ${\ displaystyle i}$

{\ Displaystyle u_ {i} (y_ {i}) = u (x_ {i} + y_ {i})}

Jeśli $wklęsłą$ funkcją , reprezentującą malejące zyski , to alokacje utylitarne i egalitarne są takie same - próbując wyrównać wyposażenie agentów . Na przykład, jeśli jest 3 agentów z początkowym wyposażeniem, $\$ $t=8}$ wynosi zalecają alokacja ${\ Displaystyle y = 5,3,0}$ , ponieważ zarówno dąży do równych użyteczności (w jak największym stopniu), jak i maksymalizuje sumę użyteczności.

W przeciwieństwie do tego, jeśli $y=0,0,9}$ $}$ wypukłą reprezentującą rosnące zwroty daje teraz całe wyposażenie najbogatszemu agentowi: ${\ displaystyle u$ . Ma to sens, na przykład, gdy zasobem jest rzadki lek: społecznie najlepsze może być podawanie wszystkich leków pacjentowi, który ma największe szanse na wyleczenie.

Stałe wskaźniki użyteczności

$że$ istnieje wspólna funkcja użyteczności $ale$ każdy agent ma inny współczynnik produktywność tego agenta. Tak więc użyteczność każdego agenta jest określona wzorem: ${\ displaystyle i}$

{\ Displaystyle u_ {i} (y_ {i}) = a_ {i} \ cdot u (y_ {i})}

Tutaj podejścia utylitarne i egalitarne są diametralnie przeciwne.

Egalitarna alokacja daje więcej zasobów mniej produktywnym podmiotom, aby je zrekompensować i pozwolić im osiągnąć wysoki poziom użyteczności:
$> a_ {j} \ implikuje y_{j}>y_{i}}$
Alokacja utylitarna daje więcej zasobów bardziej produktywnym agentom, ponieważ będą oni lepiej wykorzystywać zasoby:
${\ Displaystyle a_ {i}> a_ {j} \ implikuje y_ {i}> y_{j}}$

Właściwości reguł alokacji

Monotoniczność zasobów : rządy wolne od zawiści i rządy egalitarne są zawsze monotoniczne pod względem zasobów. Zasada utylitaryzmu jest monotoniczna względem zasobów, gdy wszystkie funkcje użyteczności są funkcjami wklęsłymi , reprezentującymi malejące zyski ; ale gdy niektóre funkcje użyteczności są funkcjami wypukłymi , reprezentującymi rosnące zwroty , reguła utylitarna może nie być monotoniczna pod względem zasobów.

Zobacz też