Stan Wernera

Stan Wernera to dwuwymiarowa $która$$gęstości$ { kwantowych , jest dla wszystkich operatorów unitarnych postaci $\ styl wyświetlania U\czasami U}$ . Oznacza to, że jest to dwuczęściowy stan kwantowy , który spełnia ${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {AB} = (U \ czasami U) \ rho _ {AB} (U ^ {\ sztylet} \ czasami U ^ {\ sztylet })}$

dla wszystkich operatorów unitarnych U działających na d -wymiarowej przestrzeni Hilberta. Stany te zostały po raz pierwszy opracowane przez Reinharda F. Wernera w 1989 roku.

Ogólna definicja

Każdy stan Wernera $o$ na ${ \ displaystyle p \ in [0,1]}$ wadze [ będący głównym parametrem definiującym stan, oprócz wymiaru : ${\ displaystyle d \ geq 2}$ :

${\ Displaystyle W_ {AB} ^ {(p ,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d- 1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

Gdzie

${\ Displaystyle P_ {AB} ^ {\ tekst {sym}} = {\ Frac {1} {2}} (I_ {AB} + F_ {AB}),}$

${\ Displaystyle P_ {AB} ^ {\ tekst {as}} = {\ Frac {1} {2}} ( I_{AB}-F_{AB}),}$

są projektory i

${\ Displaystyle F_ {AB} = \ suma _ {ij} | i \ rangle \ langle j | _ {A} \ czasami | j \ rangle \ langle i | _ {B}}$

jest operatorem permutacji lub odwracania, który zamienia dwa podsystemy A i B .

Stany Wernera są rozdzielne dla p ≥ 1 / 2 i splątane dla p < 1 / 2 . Wszystkie splątane stany Wernera naruszają kryterium separowalności PPT , ale dla d ≥ 3 żaden stan Wernera nie spełnia kryterium słabszej redukcji . Stany Wernera można parametryzować na różne sposoby. Jednym ze sposobów ich pisania jest

${\ Displaystyle \ rho _ {AB} = {\ Frac {1} {d ^ {2} -d \ alfa}} ( I_{AB}-\alfa F_{AB}),}$

gdzie nowy parametr α waha się między -1 a 1 i odnosi się do p as

${\ Displaystyle \ alfa = ((1-2 p) d + 1) / (1-2 p + re).}$

Przykład z dwoma kubitami

Dwukubitowe stany Wernera, odpowiadające powyższemu, można zapisać jawnie w postaci macierzy jako ${\ displaystyle d = 2}$

$${\ Displaystyle W_ {AB} ^ {(p, 2)} = {\ Frac {p} {6}} {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 1 i 0 \\ 0 i 1 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 2 \ koniec {pmatrix}} + { \frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac { p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{ 6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.}$$

Równoważnie można je zapisać jako wypukłą kombinację stanu całkowicie mieszanego z (rzutem na) stan Bella:

$${\ Displaystyle W_ {AB} ^ {(p, 2)} = \ lambda {\ Frac {I} {4}} + (1- \ lambda) | \ Psi ^ {-} \ rangle \! \ langle \ Psi ^{-}|,\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda \ w [0,4/3]}$ jest związane z ${\ Displaystyle p}$ przez ${\ Displaystyle \ lambda = 4p/3}$ .

kanały Wernera-Holevo

kanał kwantowy Wernera-Holevo ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ lewo (p, d \ prawej)}}$ z parametrami ${\ Displaystyle p \ in \ lewo [0,1 \ prawej]}$ i liczba całkowita ${\ Displaystyle d \ geq 2}$ jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ lewo ( p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{ A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

gdzie kanały kwantowe ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ text {sym}}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {W} }_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$ są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ tekst {sym}} (X_ {A}) = {\ Frac {1} {d + 1}} \ lewo [\ nazwa operatora { Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

$\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ text {as}} (X_ {A}) = {\ Frac {1} {d-1}} \ lewo [\ nazwa operatora {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

a $.$ częściową mapę transpozycji systemie A Zauważ, że stan Choi kanału Wernera-Holevo jest stanem Wernera: ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {p, d}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {A \ rightarrow B} ^ {\ lewo (p, d \ prawej)} (\ Phi _ {RA}) = p {\ Frac {2} {d \ lewo ( d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_ {RB}^{\text{jako}},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Phi _ {RA} = {\ Frac {1} {d}} \ suma _ {i, j} | i \ rangle \ langle j | _ {R} \ czasami | i \ rangle \ langle j |_{A}}$ .

Wieloczęściowe stany Wernera

Stany Wernera można uogólnić na przypadek wieloczęściowy. N - partyjny stan Wernera to stan, który jest niezmienny dla ${\ displaystyle U \ otimes U \ otimes ... \ otimes U}$ dla dowolnego jednolitego U w pojedynczym podsystemie. Stan Wernera nie jest już opisywany przez pojedynczy parametr, ale przez N ! − 1 parametrów i jest liniową kombinacją N ! różne permutacje w systemach N.