Stan rozdzielny

W mechanice kwantowej stany rozdzielne to stany kwantowe należące do przestrzeni złożonej, które można rozłożyć na poszczególne stany należące do oddzielnych podprzestrzeni . Mówimy, że stan jest splątany , jeśli nie jest rozdzielny. Ogólnie rzecz biorąc, ustalenie, czy stan jest separowalny, nie jest proste, a problem jest klasyfikowany jako NP-trudny .

Separowalność systemów dwudzielnych

Rozważmy pierwsze stany złożone o dwóch stopniach swobody, zwane stanami dwudzielnymi . Zgodnie z postulatem mechaniki kwantowej można je opisać jako wektory w przestrzeni iloczynu tensorów ${\ Displaystyle H_ {1} \ czasami H_ {2}}$ . $displaystyle H_ {1}} .$ dyskusji skupimy się na przypadku skończonych wymiarów przestrzeni Hilberta i ${\$

Czyste stany

Niech ${\ Displaystyle \ {| {a_ {i}} \ ranga \} _ {i = 1} ^ {n} \ podzbiór H_ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ {| {b_ {j}} \ rangle \} _ {j = 1} ^ {m} \ podzbiór H_ {2}} będą ortonormalnymi podstawami$ dla ${\ Displaystyle H_ {1}}$ i ${\ Displaystyle H_ {2}}$ odpowiednio. Podstawą dla ${\ Displaystyle H_ {1} \ czasami H_ {2}}$ jest wtedy ${\ Displaystyle \ {| {a_ {i}} \ rangle \ otimes | {b_ {j}} \ rangle \}}$ lub w bardziej zwartej notacji ${\ Displaystyle \ {| a_ {i} b_ {j} \ rangle \}}$ . Z samej definicji iloczynu tensorowego dowolny wektor normy 1, czyli czysty stan układu złożonego, można zapisać jako

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {i, j} c_ {i, j} (| a_ {i} \ rangle \ czasami | b_ {j} \ rangle) = \ suma _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

gdzie do $j}}$ jest stałą. Jeśli ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ można zapisać jako prosty tensor , to znaczy w postaci ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ czasami | \ psi _ {2} \ rangle}$ z ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ stan czysty w i -tej przestrzeni, mówi się, że jest stanem iloczynowym , aw szczególności separowalnym . Inaczej nazywa się to splątanym . Należy zauważyć, że chociaż pojęcia iloczynu i stanów separowalnych są zbieżne dla stanów czystych, to nie w bardziej ogólnym przypadku stanów mieszanych.

Czyste stany są splątane wtedy i tylko wtedy, gdy ich stany cząstkowe nie są czyste . Aby to zobaczyć, napisz rozkład Schmidta z ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ jak

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {k = 1} ^ {r_ {\ psi}}} {\ sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ sqrt {p_ {k}}}> 0}$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, ${\ Displaystyle r_ {\ psi}}$ to stopień Schmidta ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ i $_$ _ ${\ Displaystyle \ {| v_ {k} \ ranga \} _ {k = 1} ^ {r_ {\ psi}} \ podzbiór H_ {2}} to zbiory stanów ortonormalnych$ w ${\ Displaystyle H_ {1}}$ i ${\ Displaystyle H_ {2}}$ odpowiednio. Państwo ${\ Displaystyle |\ psi \ rangle}$ jest splątany wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle r_ {\ psi}> 1}$ . Jednocześnie stan częściowy ma postać

${\ Displaystyle \ rho _ {A} \ równoważnik \ nazwa operatora {Tr} _ {B} (| \ psi \ rangle \! \ langle \ psi |) = \ suma _ {k = 1} ^ {r_ {\ psi} }p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

Wynika z tego, że $---$ to znaczy jest projekcją o randze jednostkowej --- wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle r_ {\ psi} = 1 }$ , co odpowiada ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ jest rozdzielny.

Fizycznie oznacza to, że nie jest możliwe przypisanie określonego (czystego) stanu do podsystemów, które zamiast tego powinny być opisane jako zespoły statystyczne czystych stanów, czyli jako macierze gęstości . Czysty stan ${\ Displaystyle \ rho =|\ psi \ rangle \! \ langle \ psi |}$ jest więc splątane wtedy i tylko wtedy, gdy entropia von Neumanna stanu częściowego ${\ Displaystyle \ rho _ {A} \ equiv \ nazwa operatora {Tr} _ {B} (\ rho)}$ jest niezerowe.

Formalnie osadzenie iloczynu stanów w przestrzeni produktu jest określone przez osadzanie Segre . Oznacza to, że czysty stan kwantowo-mechaniczny jest rozdzielny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zgodny z obrazem osadzania Segre.

Powyższą dyskusję można rozszerzyć na przypadek, gdy przestrzeń stanów jest nieskończenie wymiarowa i praktycznie nic się nie zmieniło.

Stany mieszane

Rozważ przypadek stanu mieszanego. Stan mieszany układu złożonego jest opisany przez $Displaystyle$ gęstości działającą na $H_ {1} \ czasami H_ {2}}$ . p ${\ Displaystyle p_ {k} \ geq 0}$ , ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}$ i ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$ które są stanami mieszanymi odpowiednich podsystemów, takimi że

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ czasami \ rho _ {2} ^ {k }}$

Gdzie

${\ Displaystyle \; \ suma _ {k} p_ {k} = 1.}$

W przeciwnym razie $.$ jest stanem splątanym Możemy założyć bez utraty ogólności w powyższym wyrażeniu, że ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$ i ${\ Displaystyle \ {\ rho _ { 2}^{k}\}}$ wszystkie są projekcjami rangi 1, to znaczy reprezentują czyste zespoły odpowiednich podsystemów. Z definicji jasno wynika, że ​​rodzina stanów rozdzielnych jest zbiorem wypukłym .

Zauważ, że ponownie z definicji iloczynu tensorowego dowolna macierz gęstości, a właściwie dowolna macierz działająca na złożoną przestrzeń stanów, może być trywialnie zapisana w pożądanej postaci, jeśli odrzucimy wymaganie, że { ρ 1 $\ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$ i ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$ same są stanami i ${ \displaystyle\;\suma _{k}p_{k}=1.}$ Jeśli te wymagania są spełnione, możemy zinterpretować stan całkowity jako rozkład prawdopodobieństwa po nieskorelowanych stanach iloczynu .

Jeśli chodzi o kanały kwantowe , stan możliwy do oddzielenia można utworzyć z dowolnego innego stanu za pomocą działań lokalnych i klasycznej komunikacji, podczas gdy stan splątany nie.

Gdy przestrzenie stanów są nieskończenie wymiarowe, macierze gęstości są zastępowane dodatnimi operatorami klasy śladu ze śladem 1, a stan jest rozdzielny, jeśli można go przybliżyć w normie śladu stanami o powyższej postaci.

Jeśli istnieje tylko jeden niezerowy $ρ$ to stan można wyrazić w następujący sposób $\rho _{2},}$$\ textstyle \ rho = \ rho _ {1} \$ i jest nazywany po prostu rozdzielnym lub stanem produktu . Jedną z właściwości stanu produktu jest to, że pod względem entropii ,

${\ Displaystyle S (\ rho) = S (\ rho _ {1}) + S (\ rho _ {2}).}$

Rozszerzenie na sprawę wielostronną

Powyższa dyskusja łatwo uogólnia się na przypadek układu kwantowego składającego się z więcej niż dwóch podsystemów. Niech system ma n podsystemów i ma przestrzeń stanów ${\ Displaystyle H = H_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes H_ {n}}$ . Czysty stan ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in H}$ jest rozdzielne, jeśli przyjmuje postać

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes \ cdots \ otimes | \ psi _ {n} \ rangle.}$

Podobnie stan mieszany ρ działający na H jest rozdzielny, jeśli jest sumą wypukłą

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ cdots \ otimes \ rho _ {n} ^ {k}.}$

Lub, w przypadku nieskończenie wymiarowym, ρ jest rozdzielne, jeśli można je przybliżyć w normie śladu stanami o powyższej postaci.

Kryterium rozdzielności

Problem decydowania, czy stan jest separowalny, jest czasami nazywany problemem separowalności w kwantowej teorii informacji . Uważa się, że jest to trudny problem. wykazano, że jest NP-trudny . i ogólnie uważa się, że tak jest. Pewne uznanie dla tej trudności można uzyskać, jeśli spróbuje się rozwiązać problem, stosując podejście bezpośredniej brutalnej siły dla ustalonego wymiaru. Widzimy, że problem szybko staje się trudny do rozwiązania, nawet w przypadku małych wymiarów. Potrzebne są zatem bardziej wyrafinowane preparaty. Problem separowalności jest przedmiotem aktualnych badań.

Kryterium rozdzielności jest warunkiem koniecznym, który państwo musi spełnić, aby było rozdzielne. W przypadkach niskowymiarowych ( 2 X 2 i 2 X 3 ) kryterium Peresa-Horodeckiego jest właściwie warunkiem koniecznym i wystarczającym separowalności. Inne kryteria separowalności obejmują (między innymi) kryterium rozstępu , kryterium redukcji oraz kryteria oparte na stosunkach niepewności. Zobacz ref. do przeglądu kryteriów separowalności w systemach zmiennych dyskretnych.

W systemach zmiennych ciągłych obowiązuje również kryterium Peresa-Horodeckiego . W szczególności Simon sformułował określoną wersję kryterium Peresa-Horodeckiego w odniesieniu do momentów drugiego rzędu operatorów kanonicznych i wykazał, że jest ono konieczne i wystarczające dla $Gaussa$ ( Patrz pozornie inne, ale zasadniczo równoważne podejście). Później okazało się, że stan Simona jest również konieczny i wystarczający dla ${\ Displaystyle 1 \ oplus n}$$-mode stany Gaussa, ale nie$ już wystarczające dla stanów Gaussa Warunek Simona można uogólnić, biorąc pod uwagę momenty operatorów kanonicznych wyższego rzędu lub stosując miary entropiczne.

Charakteryzacja za pomocą geometrii algebraicznej

Mechanikę kwantową można wzorować na rzutowej przestrzeni Hilberta , a iloczynem kategorycznym dwóch takich przestrzeni jest osadzanie Segre'a . W przypadku dwudzielnym stan kwantowy jest rozdzielny wtedy i tylko wtedy, gdy leży w obrazie osadzania Segre. Jon Magne Leinaas , Jan Myrheim i Eirik Ovrum w swoim artykule „Geometrical aspekty splątania” opisują problem i badają geometrię stanów rozdzielnych jako podzbiór ogólnych macierzy stanów. Ten podzbiór ma pewne przecięcie z podzbiorem stanów posiadających Kryterium Peresa-Horodeckiego . W tym artykule Leinaas i in. podać również podejście numeryczne do testowania rozdzielności w ogólnym przypadku.

Testowanie separowalności

Testowanie rozdzielności w ogólnym przypadku jest problemem NP-trudnym . Leinaas i in. sformułował iteracyjny, probabilistyczny algorytm testowania, czy dany stan jest separowalny. Gdy algorytm się powiedzie, daje wyraźną, losową reprezentację danego stanu jako stanu rozdzielnego. W przeciwnym razie podaje odległość danego stanu od najbliższego możliwego do oddzielenia stanu.

Zobacz też

• Świadek splątania

Linki zewnętrzne

• Aplikacja internetowa „StateSeparator”.