LOCC

Paradygmat LOCC: stronom nie wolno w spójny sposób wymieniać cząstek. Dozwolone są tylko operacje lokalne i komunikacja klasyczna

LOCC , czyli operacje lokalne i komunikacja klasyczna , to metoda w teorii informacji kwantowej , w której lokalna (produktowa) operacja jest wykonywana na części systemu, a wynik tej operacji jest klasycznie „komunikowany” innej części, gdzie zwykle inna lokalna operacja jest wykonywana na podstawie otrzymanych informacji.

Właściwości matematyczne

Formalna definicja zbioru operacji LOCC jest skomplikowana ze względu na fakt, że późniejsze operacje lokalne zależą generalnie od całej wcześniejszej klasycznej komunikacji oraz ze względu na nieograniczoną liczbę rund komunikacyjnych. Dla dowolnej liczby skończonej można zdefiniować ${LOCC} _ {r}}$$displaystyle \$ , zbiór operacji LOCC, które można osiągnąć za pomocą $1 {\ displaystyle r \ geq 1$ rundy komunikacji klasycznej. Zestaw staje się ściśle większy, ilekroć ${\ displaystyle r}$ zwiększa się i należy uważać, aby zdefiniować limit nieskończenie wielu rund. W szczególności zbiór LOCC nie jest topologicznie zamknięty, to znaczy istnieją operacje kwantowe, które mogą być dowolnie przybliżone przez LOCC, ale same nie są LOCC.

Jednookrągły LOCC $\ Displaystyle \$ jest instrumentem kwantowym $\} } , dla których$ { całkowicie dodatnie mapy (CPM) bez śladu są lokalne dla wszystkich wyników pomiarów, ${\ mathcal {E}} _ {$ { $}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j} ({\ cal {E}} _ {x} ^ {j})} i jest jedna$ witryna ${ \ Displaystyle j = K}$ tak, że tylko na mapie $Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} ^ {K$$\$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j \ nie = K} ({\ cal {T_ {j} ^ {x}}}) \ otimes {\ cal {E}} _{K}}$ nie zachowuje śladu. Oznacza to, że instrument może zostać zrealizowany przez stronę na miejscu, stosując (lokalny) instrument ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ mathcal {E}} _ {x}$$}$ i przekazywanie klasycznego wyniku wszystkim innym stronom, z których każda następnie wykonuje (uwarunkowane $x$$displaystyle x}$ ) zachowujące ślady (deterministyczne) lokalne operacje kwantowe ${\ displaystyle {\ cal {T}} _ {x} ^ {j}}$ .

Następnie ${$$operatorname {LOCC} _ {r-1}}$ 1 z -operacją ${\ displaystyle \ operatorname {LOCC} _ {1}}$ . Tutaj dozwolone jest, aby strona wykonująca dalsze operacje była uzależniona od wyniku poprzednich rund. Ponadto dopuszczamy również „gruboziarnistość”, czyli odrzucanie niektórych klasycznych informacji zakodowanych w wynikach pomiarów (wszystkich rund).

Suma wszystkich $LOCC$ oznaczona przez $.$ można przybliżyć lepiej i lepiej z większą liczbą rund LOCC. Jego zamknięcie $topologiczne$ wszystkie takie .

Można pokazać, że wszystkie te zbiory są różne:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {LOCC} _ {r} \ podzbiór \ nazwa operatora {LOCC} _ {r + 1} \ podzbiór \ nazwa operatora {LOCC} _ {\ mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC}}}_{\mathbb {N}}}$

Zbiór wszystkich operacji LOCC jest zawarty w $.$ wszystkich rozdzielnych operacji ${\ displaystyle \ operatorname {SEP}}$ zawiera wszystkie operacje, które można zapisać przy użyciu operatorów Krausa , które mają wszystkie formy iloczynu, tj.

${\ Displaystyle {\ cal {E}} (\ rho) = \ suma _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{ l}\kropki \czasami K_{N})^{\sztylet},}$

z ${\ Displaystyle \ suma _ {l} K_ {1} ^ {l} \ czasami K_ {2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\sztylet }=1 }$ . Nie wszystkie operacje w ${\ displaystyle \ operatorname {SEP}}$ to LOCC,

${\ Displaystyle {\ overline {\ nazwa operatora {LOCC}}} _ {\ mathbb {N}} \ podzbiór \ nazwa operatora {SEP},}$

tj. istnieją przykłady, których nie można zaimplementować lokalnie, nawet przy nieskończonej liczbie rund komunikacji.

LOCC to „swobodne operacje” w zasobowych teoriach splątania : splątania nie można wytworzyć ze stanów rozdzielnych za pomocą LOCC, a jeśli strony lokalne oprócz możliwości wykonywania wszystkich operacji LOCC są również wyposażone w pewne stany splątane, mogą realizować więcej operacji niż w przypadku samego LOCC.

Przykłady

Operacje LOCC są przydatne do przygotowywania stanów , rozróżniania stanów i transformacji splątania .

Przygotowanie państwowe

Alicja i Bob otrzymują układ dwukwantowy w stanie iloczynu ${\ Displaystyle | 00 \ rangle =| 0 \ rangle _ {A} \ czasami | 0 \ rangle _ {B}}$ . Ich zadaniem jest wytworzenie stanu separowalnego ${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {2}} | 00 \ rangle \ langle 00 | + {\ Frac {1} {2}} | 11 \ rangle \ langle 11 |}$ . Przy samych operacjach lokalnych nie można tego osiągnąć, ponieważ nie mogą one wytworzyć (klasycznych) korelacji obecnych w ${\ displaystyle \ rho}$ . Ale z $jedną$ rundą komunikacji) można przygotować: Alicja rzuca bezstronną monetą (która pokazuje orzeł lub reszkę z 50% prawdopodobieństwem) i odwraca swój kubit (do | $\ styl wyświetlania |1\rangle _{A}}$ ) jeśli moneta pokazuje „reszki”, w przeciwnym razie pozostaje bez zmian. Następnie wysyła wynik rzutu monetą (informacja klasyczna) do Boba, który również odwraca swój kubit, jeśli otrzyma wiadomość „reszka”. Wynikowy stan to ${\ displaystyle \ rho}$ . Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie możliwe do rozdzielenia stany (i tylko te) można przygotować ze stanów produktowych z samymi operacjami LOCC.

Dyskryminacja państwowa

Biorąc pod uwagę dwa stany kwantowe $w$ dwu- lub wieloczęściowej przestrzeni Hilberta $\ Displaystyle {\ cal {H}} = {\ cal {H}} _ { A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}} , zadaniem jest określenie, który z dwóch ($ lub więcej) możliwych stanów ${\ Displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$ tak jest. Jako prosty przykład rozważmy dwa stany Bella

${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2} }}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\ Displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo (| 0 \ rangle _ {A} \ czasami | 1 \ rangle _ {B }+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

Załóżmy, że system dwóch kubitów jest rozdzielony, gdzie pierwszy kubit jest dany Alicji, a drugi Bobowi. Bez komunikacji Alicja i Bob nie mogą rozróżnić tych dwóch stanów, ponieważ dla wszystkich pomiarów lokalnych wszystkie statystyki pomiarów są dokładnie takie same (oba stany mają tę samą macierz zredukowanej gęstości). Np. załóżmy, że Alicja mierzy pierwszy kubit i otrzymuje wynik 0. Ponieważ ten wynik jest równie prawdopodobny (z prawdopodobieństwem 50%) w każdym z dwóch przypadków, nie uzyskuje żadnych informacji o tym, którą parę Bell otrzymała i to samo dotyczy Boba, jeśli wykonuje jakikolwiek pomiar. Ale teraz pozwól Alicji wysłać swój wynik do Boba przez kanał klasyczny. Teraz Bob może porównać swój wynik z jej wynikiem i jeśli są takie same, może stwierdzić, że dana para była ${\ Displaystyle |\ psi _ {1} \ rangle}$ , ponieważ tylko to pozwala na wspólny wynik pomiaru ${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {A} \ czasami | 0 \ rangle _ {B}}$ . Dzięki LOCC i dwóm pomiarom te dwa stany można doskonale rozróżnić. Należy zauważyć, że w przypadku pomiarów globalnych ( nielokalnych lub splątanych ) pojedynczy pomiar (na wspólnej przestrzeni Hilberta ) wystarczy do rozróżnienia tych dwóch (wzajemnie ortogonalnych ) stanów.

Istnieją stany kwantowe, których nie można rozróżnić za pomocą operacji LOCC.

Transformacje splątania

Chociaż LOCC nie może generować stanów splątanych ze stanów produktów, można ich użyć do przekształcenia stanów splątanych w inne stany splątane. Ograniczenie do LOCC poważnie ogranicza możliwe transformacje.

Konwersja splątania

Nielsen wyprowadził ogólny warunek, aby określić, czy jeden czysty stan dwuczęściowego układu kwantowego można przekształcić w inny przy użyciu tylko LOCC. Pełne szczegóły można znaleźć w artykule, do którego odwołuje się wcześniej, wyniki są naszkicowane tutaj.

Rozważ dwie cząstki w przestrzeni Hilberta o wymiarze $cząstek$ stanami ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$ z rozkładami Schmidta

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {i} {\ sqrt {\ omega _ {i}}} | i_ {A} \ rangle \ czasami | i_ {B} \ rangle}$

${\ Displaystyle |\ phi \ rangle = \ suma _ {i} {\ sqrt {\ omega _ {i} '}} | i_ {A} '\ rangle \ otimes | i_ {B}' \ rangle}$

Te $znane$ współczynniki Schmidta . Jeśli są uporządkowane od największego do $($ to ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ można przekształcić tylko w ${\ Displaystyle |\ phi \ rangle}$ przy użyciu tylko operacji lokalnych wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich w zakresie ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik k \ równoważnik d}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ omega _ {i} \ równoważnik \ suma _ {i = 1} ^ {k }\omega _{i}'}$

W bardziej zwięzłej notacji:

${\ Displaystyle |\ psi \ rangle \ strzałka w prawo |\ phi \ rangle \ quad {\ tekst {iff}} \ quad \ omega \ prec \ omega '}$

Jest to warunek bardziej restrykcyjny niż to, że lokalne operacje nie mogą zwiększać środków związanych z splątaniem . Jest całkiem możliwe, że ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ i $splątania$ , ale przekształcenie jednego w drugie nie jest możliwe, a nawet ta konwersja w dowolnym kierunku jest niemożliwa, ponieważ żaden zestaw współczynników Schmidta nie jest drugiego . Dla dużych $jeśli$ wszystkie współczynniki Schmidta są niezerowe, to prawdopodobieństwo, że jeden zestaw współczynników ma przewagę nad drugim, staje się nieistotne. Dlatego dla dużego $.$ zamiany dowolnego dowolnego stanu na inny przez LOCC staje się znikome

Opisane dotychczas operacje są deterministyczne, tzn. kończą się powodzeniem ze 100%. Jeśli ktoś jest usatysfakcjonowany probabilistycznymi , przy użyciu LOCC możliwych jest znacznie więcej transformacji. Operacje te nazywane są stochastycznym LOCC (SLOCC). W szczególności w przypadku stanów wieloczęściowych badana jest wymienialność w ramach SLOCC, aby uzyskać jakościowy wgląd we właściwości splątania zaangażowanych stanów.

Wyjście poza LOCC: konwersja katalityczna

Jeśli stany splątane są dostępne jako zasób, to razem z LOCC pozwalają na znacznie większą klasę transformacji. Dzieje się tak nawet wtedy, gdy te stany zasobów nie są zużywane w procesie (jak ma to miejsce na przykład w teleportacji kwantowej ). Tak więc przemiany nazywane są katalizą splątania . W tej procedurze konwersja stanu początkowego do stanu końcowego, która jest niemożliwa w przypadku LOCC, jest możliwa dzięki przyjęciu iloczynu tensorowego stanu początkowego ze „stanem katalizatora” ${\ Displaystyle | c \ rangle}$ i wymaganie, aby ten stan był nadal dostępny pod koniec procesu konwersji. To znaczy, stan katalizatora pozostaje niezmieniony przez konwersję i może być następnie usunięty, pozostawiając tylko pożądany stan końcowy. Rozważ stany,

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = {\ sqrt {0,4}} | 00 \ rangle + {\ sqrt {0,4}} | 11 \ rangle + {\ sqrt {0,1}} | 22 \ rangle + {\ sqrt {0.1}}|33\szereg }$

${\ Displaystyle | \ phi \ rangle = {\ sqrt {0,5}} | 00 \ rangle + {\ sqrt {0,25}} | 11 \ rangle + {\ sqrt {0,25}} | 22 \ rangle}$

${\ Displaystyle | c \ rangle = {\ sqrt {0,6}} \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0,4}} \ mid \ downarrow \ strzałka w dół \rangle }$

Stany te są zapisane w postaci rozkładu Schmidta iw porządku malejącym. Porównujemy sumę współczynników ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$

${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$	${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$
0	0,4	0,5
1	0,8	0,75
2	0,9	1.0
3	1.0	1.0

$} \ omega _ {i}> \ suma _ {i = 0} ^ {k} \ omega '_ {i}}$ k , kolor zielony jest umieszczany, jeśli ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {k} \omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ , a biały kolor pozostaje, jeśli ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {k} \ omega _ {i} = \ suma _ {i = 0} ^ {k} \ omega ' _{i}}$ . Po zbudowaniu tabeli można łatwo stwierdzić, czy ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ i ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ są wymienialne, patrząc na kolor w kierunku ${\ displaystyle k}$ . ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ można przekonwertować na ${\ Displaystyle |\ phi \ rangle}$ przez LOCC, jeśli wszystkie kolory są zielone lub białe, a ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$ można przekonwertować na ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ przez LOCC, jeśli wszystkie kolory są czerwone lub białe. Gdy tabela przedstawia zarówno kolor czerwony, jak i zielony, stany nie są wymienialne.

Teraz rozważymy stany produktu ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | \ psi \ rangle | c \ rangle & = {\ sqrt {0,24}} | 00 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0,24}} | 11 \ rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \ \&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}} |22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | \ phi \ rangle | c \ rangle & = {\ sqrt {0,30}} | 00 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + {\ sqrt {0,20}} | 00 \ rangle \mid \strzałka w dół \strzałka w dół \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \ \&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

Podobnie tworzymy tabelę:

${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$	${\ Displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$
0	0,24	0,30
1	0,48	0,50
2	0,64	0,65
3	0,80	0,80
4	0,86	0,90
5	0,92	1.00
6	0,96	1.00
7	1.00	1.00

kolory w $białe$ , dlatego zgodnie z twierdzeniem Nielsena ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle | c \ rangle}$ można przekonwertować na ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle | c \ rangle}$ przez LOCC. Stan katalizatora ${\ displaystyle | c \ rangle}$ _ jest usuwany po konwersji. Wreszcie znajdujemy $_$ przez

Jeśli dozwolone są korelacje między układem a katalizatorem, przemiany katalityczne między dwuczęściowymi czystymi stanami są charakteryzowane za pomocą entropii splątania . Bardziej szczegółowo, czysty stan ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ można przekształcić w inny czysty stan ${\ Displaystyle |\ phi \ rangle}$ przez katalityczny LOCC wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle S (\ psi ^ {A}) \ geq S (\ phi ^ {A})}$ ,

gdzie jest entropią von Neumanna $i$ ψ $displaystyle \ psi ^$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$$}$ i są zredukowanymi stanami i ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle}$ odpowiednio. Ogólnie rzecz biorąc, konwersja nie jest dokładna, ale można ją przeprowadzić z dowolną dokładnością. Ilość korelacji między układem a katalizatorem może być również dowolnie mała.

Zobacz też

• Teleportacja kwantowa

Dalsza lektura

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
•   Nielsen MA (1999). „Warunki dla klasy przekształceń splątania”. fizyka Wielebny Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : kwant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103/physrevlett.83.436 . S2CID 17928003 .