Kwantyzacja Landaua

W mechanice kwantowej kwantyzacja Landaua odnosi się do kwantyzacji orbit cyklotronowych naładowanych cząstek w jednolitym polu magnetycznym. W rezultacie naładowane cząstki mogą zajmować tylko orbity o dyskretnych, równoodległych wartościach energii, zwanych poziomami Landaua. Poziomy te są zdegenerowane , a liczba elektronów na poziom jest wprost proporcjonalna do siły przyłożonego pola magnetycznego. Jej nazwa pochodzi od radzieckiego fizyka Lwa Landaua .

Kwantyzacja Landaua jest bezpośrednio odpowiedzialna za podatność elektronową metali, znaną jako diamagnetyzm Landaua . W silnych polach magnetycznych kwantyzacja Landaua prowadzi do oscylacji właściwości elektronicznych materiałów w funkcji przyłożonego pola magnetycznego, znanych jako De Haasa – Van Alphena i Shubnikova – de Haasa .

Kwantyzacja Landaua jest kluczowym składnikiem wyjaśniającym całkowitoliczbowy kwantowy efekt Halla .

Pochodzenie

Schemat orbity cyklotronowej cząstki o prędkości v , która jest klasyczną trajektorią naładowanej cząstki w jednorodnym polu magnetycznym B . Kwantyzacja Landaua odnosi się do kwantowej cząstki naładowanej w jednorodnym polu magnetycznym.

Rozważmy układ nieoddziałujących ze sobą cząstek o ładunku q i spinie S ograniczonym do obszaru A = L _x L _y w płaszczyźnie xy . Zastosuj $_$ pole _ _ W jednostkach CGS hamiltonian tego układu (tutaj pominięto skutki spinu) wynosi

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {1} {2m}} \ lewo | {\ kapelusz {\ mathbf {p}}} -q {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} \ prawo |^{2}.}$$

Tutaj ${\ textstyle {\ hat {\ mathbf {p}}}}$ jest kanonicznym operatorem pędu , a jest potencjałem wektora elektromagnetycznego , który jest ${\ textstyle {\ hat {\ mathbf {A}}}}$ związane z polem magnetycznym wg

$${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {A}}}.}$$

Istnieje pewna dowolność cechowania w wyborze potencjału wektora dla danego pola magnetycznego. Hamiltonian jest niezmiennikiem cechowania , co oznacza, że ​​dodanie gradientu pola skalarnego do  zmienia ogólną fazę funkcji falowej o wielkość odpowiadającą polu skalarnemu. Ale na właściwości fizyczne nie ma wpływu konkretny wybór miernika.

W mierniku Landaua

Dla uproszczenia obliczeń wybierz miernik Landaua , czyli

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 \\ B {\ kapelusz {x}} \\ 0 \ koniec {pmatrix}}.}$$

gdzie B = | B. | a x̂ jest składową x operatora pozycji.

W tym mierniku hamiltonian jest

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {{\ kapelusz {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {1} {2m}} \ lewo ({ \kapelusz {p}}_{y}-qB{\kapelusz {x}}\right)^{2}+{\frac {{\kapelusz {p}}_{z}^{2}}{2m} }.}$$

Operator $hamiltonianem$ , ponieważ operator ŷ skrajni. Zatem operator $.$ zastąpić własną ħk _y Ponieważ nie pojawia się w hamiltonianie, a tylko pęd z pojawia się w energii kinetycznej, ten ruch wzdłuż kierunku z jest $ruchem$

Hamiltonian można również zapisać prościej, zauważając, że częstotliwość cyklotronu wynosi ω _c = qB / m , dając

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {{\ kapelusz {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ Frac {1} {2}} m \ omega _ {\rm {c}}^{2}\left({\kapelusz {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right) ^{2}+{\frac {{\kapelusz {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$

To jest dokładnie hamiltonian kwantowego oscylatora harmonicznego , z wyjątkiem minimalnego potencjału przesuniętego w przestrzeni współrzędnych o ₀ x = ħk _y / mω _c .

Aby znaleźć energie, zauważ, że translacja potencjału oscylatora harmonicznego nie wpływa na energie. Energie tego systemu są zatem identyczne z energiami standardowego kwantowego oscylatora harmonicznego ,

$${\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo (n + {\ Frac {1} {2}} \ prawej) + {\ Frac {p_ {z} ^ {2} }{2m}},\quad n\geq 0~.}$$

Energia nie zależy od liczby kwantowej k _y , więc będzie skończona liczba degeneracji (jeśli cząstka zostanie umieszczona w nieograniczonej przestrzeni, ta degeneracja będzie odpowiadać ciągłej sekwencji p $\ displaystyle p_ {y} }$ ). Wartość $z$ nieograniczona w kierunku z i dyskretna, jeśli cząstka jest ograniczona również w kierunku Każdy zestaw funkcji falowych o tej samej wartości n nazywany jest poziomem Landaua .

₀ W przypadku funkcji falowych pamiętaj, $z$ . Następnie funkcja falowa rozkłada się na iloczyn stanów własnych pędu w y i stanów własnych oscylatora harmonicznego ${\ Displaystyle |\ phi _ {n} \ rangle}$ przesunięty o wartość x w kierunku x :

$${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = e ^ {i (k_ {y} y +k_{z}z)}\phi_{n}(x-x_{0})}$$

gdzie ${\ Displaystyle k_ {z} = p_ {z} / \ hbar}$ . W sumie stan elektronu jest scharakteryzowany przez liczby kwantowe n , k _y i k _z .

W mierniku symetrycznym

Wyprowadzenie traktowało x i y jako asymetryczne. Jednak przez symetrię układu nie ma wielkości fizycznej, która wyróżniałaby te współrzędne. Ten sam wynik można by uzyskać przy odpowiedniej zamianie x i y .

Bardziej odpowiednim wyborem miernika jest miernik symetryczny, który odnosi się do wyboru

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {A}}} = {\ Frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {r}}} = {\ frac {1} {2}}{\begin{pmatrix}-by\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

Pod względem bezwymiarowych długości i energii hamiltonian można wyrazić jako

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {1} {2} }\left[\left(-i{\frac {\częściowy}}{\częściowy x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac { \częściowy }{\częściowy y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Prawidłowe jednostki można przywrócić, wprowadzając czynniki ${\ displaystyle q, \ hbar, \ mathbf {B}}$ i ${\ displaystyle m}$ .

Weź pod uwagę operatorów

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {a}} & = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {x} {2}} + { \frac {\częściowy }{\częściowy x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\częściowy}}{\częściowy y}}\right)\right] \\{\kapelusz {a}}^{\sztylet}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]\\ {\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\częściowy}}{\częściowy x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]\\{\kapelusz {b}} ^{\sztylet}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\częściowy}}{\częściowy x} }\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\częściowy }{\częściowy y}}\right)\right]\end{wyrównane}}}$$

Operatory te przestrzegają pewnych relacji komutacji

$${\ Displaystyle [{\ kapelusz {a}}, {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}] = [{\ kapelusz {b}},{\kapelusz {b}}^{\sztylet}]=1.}$$

W odniesieniu do powyższych operatorów hamiltonian można zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo ({\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet }{\ kapelusz {a}} + {\ frac {1}{2}} \ prawo),}$$

gdzie przywróciliśmy jednostki.

Indeks poziomu Landau $jest$ wartością własną operatora ${\ Displaystyle {\ kapelusz {N}} = {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\$ .

Zastosowanie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}}$ zwiększa ${\ Displaystyle m_ {z}}$ o jedną jednostkę, zachowując ${\ Displaystyle n}$ , podczas gdy ${\ sztylet}}$${ \ displaystyle$$^$$aplikacja$ jednocześnie zwiększa zmniejsza jedną jednostkę. Analogia do kwantowego oscylatora harmonicznego dostarcza rozwiązań

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} | n, m_ {z} \ rangle = E_ {n} | n, m_ {z} \ rangle,}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ lewo (n + {\ Frac {1} {2}} \ prawej)}$$

I

$${\ Displaystyle | n, m_ {z} \ rangle = {\ Frac {({\ kapelusz {b}} ^ {\ sztylet}) ^ {m_ {z} + n}} {\ sqrt {(m_ {z} +n)!}}}{\frac {({\kapelusz {a}}^{\sztylet})^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

Można sprawdzić, czy powyższe stany odpowiadają wyborowi funkcji falowych proporcjonalnych do

$${\ Displaystyle \ psi _ {n, m_ {z}} (x, y) = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy W}} - {\ Frac {\ bar {w}} {4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$

gdzie ${\ displaystyle w = x-iy}$ .

W szczególności najniższy poziom Landaua $mnożących$ Gaussa, ${\ Displaystyle \ psi (x, y) = f (w) e ^ {- | w | ^ {2}/4}}$ .

Degeneracja poziomów Landaua

W mierniku Landaua

Efekty poziomów Landaua można zaobserwować tylko wtedy, gdy średnia energia cieplna kT jest mniejsza niż separacja poziomów energii, kT ≪ ħω _c , co oznacza niskie temperatury i silne pola magnetyczne.

Każdy poziom Landaua jest zdegenerowany ze względu na drugą liczbę kwantową k _y , która może przyjmować wartości

$${\ Displaystyle k_ {y} = {\ Frac {2 \ pi N} {L_ {y}}},}$$

gdzie N jest liczbą całkowitą. Dozwolone wartości N są dodatkowo ograniczone przez warunek, że środek siły oscylatora, x ₀ , musi fizycznie leżeć w układzie, ₀ 0 ≤ x < L _x . Daje to następujący zakres dla N ,

$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik N <{\ Frac {m \ omega _ {\ rm {c}} L_ {x} L_ {y}} {2 \ pi \ hbar}}.}$$

Dla cząstek o ładunku q = Ze górną granicę N można po prostu zapisać jako stosunek strumieni ,

$${\ Displaystyle {\ Frac {ZBL_ {x} L_ {y}} {(h / e)}} = Z {\ Frac {\ Phi}} \Fi _{0}}},}$$

gdzie ₀ Φ = h / e to kwant podstawowego strumienia magnetycznego , a Φ = BA to strumień przechodzący przez układ (o polu A = L _x L _y ).

Zatem dla cząstek o spinie S maksymalna liczba D cząstek na poziom Landaua wynosi

$${\ Displaystyle D = Z (2S + 1) {\ Frac {\ Phi} {\ Phi _ {0}}} ~}$$

co dla elektronów (gdzie Z = 1 i S = 1/2 ) daje D = 2Φ/Φ ₀ , dwa dostępne stany dla każdego kwantu strumienia, który penetruje układ.

Powyższe daje jedynie ogólne wyobrażenie o skutkach geometrii o skończonych rozmiarach. Ściśle mówiąc, użycie standardowego rozwiązania oscylatora harmonicznego jest ważne tylko dla systemów nieograniczonych w kierunku x (nieskończone paski). Jeśli rozmiar L _x jest skończony, warunki brzegowe w tym kierunku powodują powstanie niestandardowych warunków kwantyzacji pola magnetycznego, obejmujących (w zasadzie) oba rozwiązania równania Hermite'a. Wypełnianie tych poziomów wieloma elektronami jest nadal aktywnym obszarem badań.

Ogólnie poziomy Landaua obserwuje się w układach elektronicznych. Wraz ze wzrostem pola magnetycznego coraz więcej elektronów może zmieścić się na danym poziomie Landaua. Zajęcie najwyższego poziomu Landau waha się od całkowicie pełnego do całkowicie pustego, co prowadzi do oscylacji różnych właściwości elektronicznych (patrz efekt De Haasa – Van Alphena i efekt Shubnikova – de Haasa ).

Jeśli uwzględniono rozszczepienie Zeemana , każdy poziom Landaua dzieli się na parę, jedną dla elektronów ze spinem, a drugą dla elektronów ze spinem. Wtedy zajęcie każdego spinowego poziomu Landaua jest po prostu stosunkiem strumieni D = Φ/Φ ₀ . Rozszczepienie Zeemana ma znaczący wpływ na poziomy Landaua, ponieważ ich skale energii są takie same, 2 μ _B B = ħω _c . Jednak energia Fermiego i energia stanu podstawowego pozostają mniej więcej takie same w systemie z wieloma wypełnionymi poziomami, ponieważ pary podzielonych poziomów energii znoszą się nawzajem po zsumowaniu.

Co więcej, powyższe wyprowadzenie w cechowaniu Landaua zakładało, że elektron jest ograniczony w kierunku z , co jest odpowiednią sytuacją eksperymentalną — na przykład w dwuwymiarowych gazach elektronowych. Założenie to nie jest jednak istotne dla wyników. Jeśli elektrony mogą swobodnie poruszać się wzdłuż z , funkcja falowa uzyskuje dodatkowy składnik multiplikatywny exp( ik _z z ) ; energia odpowiadająca temu ruchowi swobodnemu, ( ħ k _z ) ² /(2 m ) , dodaje się do omawianego E. Termin ten następnie wypełnia separację energii różnych poziomów Landaua, zacierając efekt kwantyzacji. Niemniej jednak ruch w x - y , prostopadłej do pola magnetycznego, jest nadal skwantowany.

W mierniku symetrycznym

$ma$ zdegenerowane orbitale oznaczone liczbami kwantowymi symetrycznym. Degeneracja na jednostkę powierzchni jest taka sama na każdym poziomie Landau.

Składowa z momentu pędu wynosi

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z} = -i \ hbar {\ Frac {\ częściowy }{\częściowy \theta }}=-\hbar ({\kapelusz {b}}^{\sztylet}}{\kapelusz {b}}-{\kapelusz {a}}^{\sztylet }{\kapelusz { A}})}$$

Wykorzystując właściwość ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {L}} _ {z}] = 0}$ wybraliśmy funkcje własne, które diagonalizują ${\ Displaystyle { \ kapelusz {H}}}$ i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z}}$ , wartość własna ${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {z}}$ jest oznaczona przez ${\ Displaystyle -m_ {z} \ hbar}$ , gdzie jest jasne, że ${\ Displaystyle m_ {z} \ geq -n}$ na poziomie Landau ${\ displaystyle n} .$ Jednak może być dowolnie duży, co jest konieczne do uzyskania nieskończonej degeneracji (lub skończonej degeneracji na jednostkę powierzchni) wykazywanej przez system.

Przypadek relatywistyczny

Zobacz też: Sprawa Diraca

Poziomy Landaua w grafenie . Nośniki ładunku w grafenie zachowują się jak relatywistyczne bezmasowe cząstki Diraca .

Elektron zgodnie z równaniem Diraca w stałym polu magnetycznym można rozwiązać analitycznie. Energie są podane przez

$${\ Displaystyle E _ {\ rm {rel}} = \ pm {\ sqrt {(mc ^ {2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

gdzie c jest prędkością światła, znak zależy od składowej cząstka-antycząstka, a ν jest nieujemną liczbą całkowitą. Ze względu na spin wszystkie poziomy są zdegenerowane, z wyjątkiem stanu podstawowego w ν = 0 .

Bezmasową obudowę 2D można symulować w materiałach jednowarstwowych, takich jak grafen w pobliżu stożków Diraca , gdzie energie własne są podane przez

$${\ Displaystyle E _ {\ rm {grafen}} = \ pm {\ sqrt {2 \ nu \ hbar eBv_ {\ rm {F}} ^{2}}}}$$

gdzie prędkość światła należy zastąpić prędkością Fermiego v _F materiału, a znak minus odpowiada dziurom elektronowym .

Podatność magnetyczna gazu Fermiego

Gaz Fermiego (zespół nieoddziałujących ze sobą fermionów ) stanowi część podstawy zrozumienia właściwości termodynamicznych metali. W 1930 Landau wyprowadził oszacowanie podatności magnetycznej gazu Fermiego, znanej jako podatność Landaua , która jest stała dla małych pól magnetycznych. Landau zauważył również, że podatność oscyluje z dużą częstotliwością dla dużych pól magnetycznych, to zjawisko fizyczne znane jest jako efekt De Haasa-Van Alphena .

Dwuwymiarowa krata

Zobacz też: motyl Hofstadtera

Widmo energii ciasnego wiązania naładowanych cząstek w dwuwymiarowej nieskończonej siatce jest znane jako samopodobne i fraktalne , jak wykazano na przykładzie motyla Hofstadtera . Dla całkowitego stosunku kwantu strumienia magnetycznego do strumienia magnetycznego przechodzącego przez komórkę sieciową odzyskuje się poziomy Landaua dla dużych liczb całkowitych.

Całkowity kwantowy efekt Halla

Główny artykuł: Efekt Quantum Hall

Zobacz też

• Efekt Barkhausena
• Funkcja falowa Laughlina
• Siły statyczne i wymiana cząstek wirtualnych

Dalsza lektura

•   Landau, LD; i Lifschitz, EM; (1977). Mechanika kwantowa: teoria nierelatywistyczna. Kurs Fizyki Teoretycznej . Tom. 3 (wyd. 3, Londyn: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .