Siły statyczne i wymiana cząstek wirtualnych

Pola sił statycznych to pola, takie jak proste pola elektryczne , magnetyczne lub grawitacyjne , które istnieją bez wzbudzeń. Najbardziej powszechną metodą aproksymacji stosowaną przez fizyków do obliczeń rozpraszania można interpretować siły statyczne powstające w wyniku interakcji między dwoma ciałami, w których pośredniczą cząstki wirtualne , cząstki, które istnieją tylko przez krótki czas określony przez zasadę nieoznaczoności . Wirtualne cząstki, znane również jako nośniki siły , są bozony , z różnymi bozonami związanymi z każdą siłą.

Wirtualny opis cząstek sił statycznych jest w stanie zidentyfikować przestrzenną formę sił, taką jak zachowanie odwrotnych kwadratów w prawie powszechnego ciążenia Newtona i prawie Coulomba . Jest również w stanie przewidzieć, czy siły są przyciągające, czy odpychające dla podobnych ciał.

Formuła całki po trajektorii jest naturalnym językiem opisu nośników siły. W tym artykule do opisu nośników siły dla pól o spinie 0, 1 i 2 zastosowano formułę całkowania po trajektorii. Piony , fotony i grawitony należą do tych odpowiednich kategorii.

Wiarygodność wirtualnego obrazu cząstek ma swoje ograniczenia. Sformułowanie cząstek wirtualnych wywodzi się z metody znanej jako teoria perturbacji , która jest przybliżeniem zakładającym, że oddziaływania nie są zbyt silne i była przeznaczona do problemów rozpraszania, a nie stanów związanych, takich jak atomy. W przypadku silnej siły wiążącej kwarki w nukleony przy niskich energiach teoria zaburzeń nigdy nie dała wyników zgodnych z eksperymentami, dlatego ważność obrazu „cząstki pośredniczącej w działaniu” jest wątpliwa. Podobnie dla stanów związanych metoda zawodzi. W takich przypadkach interpretacja fizyczna musi zostać ponownie zbadana. Na przykład obliczenia struktury atomowej w fizyce atomowej lub struktury molekularnej w chemii kwantowej nie mogłyby być łatwo powtórzone, jeśli w ogóle, przy użyciu obrazu „cząstki pośredniczącej w działaniu”.

Użycie obrazu „cząstki pośredniczącej w działaniu siły” (FMPP) jest niepotrzebne w nierelatywistycznej mechanice kwantowej , a prawo Coulomba jest używane w fizyce atomowej i chemii kwantowej do obliczania zarówno stanów związanych, jak i rozpraszających. Nieperturbacyjną relatywistyczną teorię kwantową , w której zachowana jest niezmienniczość Lorentza, można osiągnąć, oceniając prawo Coulomba jako interakcję w 4 przestrzeni przy użyciu 3-przestrzennego wektora położenia elektronu odniesienia zgodnego z równaniem Diraca i trajektorii kwantowej drugiego elektronu, który zależy tylko od skalowanego czasu. Kwantowa trajektoria każdego elektronu w zespole jest wywnioskowana z prądu Diraca dla każdego elektronu poprzez ustawienie go równego polu prędkości pomnożonemu przez gęstość kwantową, obliczenie pola położenia na podstawie całki pola prędkości po czasie i ostatecznie obliczenie trajektorii kwantowej od wartości oczekiwanej pola pozycji. Trajektorie kwantowe są oczywiście zależne od spinu, a teorię można zweryfikować, sprawdzając to Zasada wykluczenia Pauliego jest przestrzegana dla zbioru fermionów .

Siły klasyczne

Siła wywierana przez jedną masę na drugą i siła wywierana przez jeden ładunek na drugą są uderzająco podobne. Oba spadają jako kwadrat odległości między ciałami. Oba są proporcjonalne do iloczynu właściwości ciał, masy w przypadku grawitacji i ładunku w przypadku elektrostatyki.

Mają też uderzającą różnicę. Dwie masy przyciągają się, a dwa jednakowe ładunki odpychają.

W obu przypadkach ciała wydają się oddziaływać na siebie na odległość. Koncepcja pola została wymyślona, ​​aby pośredniczyć w interakcji między ciałami, eliminując w ten sposób potrzebę działania na odległość . W sile grawitacji pośredniczy pole grawitacyjne , a w sile kulombowskiej pośredniczy pole elektromagnetyczne .

Siła grawitacji

Siła grawitacji wywierana przez inną masę na masę wynosi $m}$ { $displaystyle$

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - G {\ Frac {mM} {r ^ {2}}} \, {\ kapelusz {\ mathbf {r} }}=m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$

gdzie G jest stałą grawitacji , r jest $do$ między masami i jest wektorem jednostkowym od masy masy ${\$$} styl wyświetlania m}$ .

Siłę można również zapisać

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {g} \ lewo (\ mathbf {r} \ prawo)}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {g} \ lewo (\ mathbf {r} \ prawo)}$ jest polem grawitacyjnym opisanym równaniem pola

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {m},}$$

gdzie $punkcie$ masy w każdym przestrzeni.

Siła Coulomba

Elektrostatyczna siła kulombowska działająca na ładunek wywierana przez ładunek wynosi ( jednostki SI ) ${\$$q$ }

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ Frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ Frac {qQ} {r ^ { 2}}}\mathbf {\kapelusz {r}} ,}$$

gdzie jest przenikalnością $próżniową$ , $jest$ separacją $.$ jednostką _ wektor $\ displaystyle q}$ kierunku od ładunku do ładunku ${$ .

Siłę Coulomba można również zapisać w kategoriach pola elektrostatycznego :

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} \ lewo (\ mathbf {r} \ prawo)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ Frac {\ rho _ {q}} {\ varepsilon _ {0}}};}$$

jest gęstością ładunku w każdym punkcie przestrzeni. ${\ Displaystyle \ rho _ {q}}$

Wymiana cząstek wirtualnych

W teorii zaburzeń siły są generowane przez wymianę cząstek wirtualnych . Mechanikę wymiany cząstek wirtualnych najlepiej opisuje mechaniki kwantowej oparte na całce po trajektorii . Istnieją jednak spostrzeżenia, które można uzyskać bez wchodzenia w maszynerię całek po trajektorii, na przykład dlaczego klasyczne siły grawitacyjne i elektrostatyczne spadają jako odwrotność kwadratu odległości między ciałami.

Całkowe formułowanie wymiany cząstek wirtualnych

Wirtualna cząstka jest tworzona przez zakłócenie stanu próżni , a cząstka wirtualna jest niszczona, gdy zostaje wchłonięta z powrotem do stanu próżni przez inne zaburzenie. Wyobraża się, że zakłócenia są spowodowane przez ciała, które oddziałują z polem wirtualnej cząstki.

Amplituda prawdopodobieństwa

Używając jednostek naturalnych , amplituda prawdopodobieństwa powstania, propagacji i zniszczenia cząstki wirtualnej jest podana w sformułowaniu całki po ścieżce przez ${\ Displaystyle \ hbar = c = 1}$

$${\ Displaystyle Z \ równoważnik \ langle 0 | \ exp \ lewo (-i {\ kapelusz {H}} T \ prawo) | 0 \ rangle = \ exp \ lewo (-iET \ prawo) = \ int D \ varphi \ ;\exp \left(i{\mathcal {S}}[\varphi ]\right)\;=\exp \left(iW\right)}$$

gdzie $jest$ operatorem , to czas, który upłynął, ${$$E$$} to zmiana$ energii spowodowana zaburzeniem, $\displaystyle W=-ET}$ to zmiana działania spowodowana zaburzeniem, to pole wirtualnej cząstki, całka jest po wszystkich ścieżkach, a klasyczne działanie jest określone przez φ $\ displaystyle \ varphi}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi ] = \ int \ operatorname {d} ^ {4} x \; {{\ mathcal { L}}[\varphi (x)]\,}}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)]}$ jest gęstością Lagrange'a .

Tutaj metryka czasoprzestrzenna jest podana przez

$${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ początek {pmatrix} 1&0&0&0 \\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\koniec {pmatrix}}.}$$

Całkę po trajektorii często można przekształcić w postać

$${\ Displaystyle Z = \ int \ exp \ lewo [i \ int d ^ {4} x \ lewo ({{ \frac {1}{2}}\varphi {\hat {O}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$$

gdzie $jest$$_$ z $czasoprzestrzeni$ i _ _ _ Pierwszy człon w argumencie reprezentuje swobodną cząstkę, a drugi człon reprezentuje zaburzenie pola ze źródła zewnętrznego, takiego jak ładunek lub masa.

Całkę można zapisać (patrz Całki wspólne w kwantowej teorii pola § Całki z operatorami różniczkowymi w argumencie )

$${\ Displaystyle Z \ propto \ exp \ lewo (iW \ lewo (J \ prawo) \ prawo)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle W \ lewo (J \ prawej) = - {\ Frac {1} {2 }}\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J\left(x\right)D\left(xy\right)J\left(y\right)}$$

jest zmianą działania spowodowaną zakłóceniami, a propagator jest rozwiązaniem ${\ Displaystyle D \ lewo (xy \ prawo)}$

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {O}} D \ lewo (xy \ prawo) = \ delta ^ {4} \ lewo (xy \ prawo).}$$

Energia interakcji

Zakładamy, że istnieją dwa zaburzenia punktowe reprezentujące dwa ciała oraz że zaburzenia te są nieruchome i stałe w czasie. Zakłócenia można zapisać

$${\ Displaystyle J (x) = \ lewo (J_ {1} + J_ {2}, 0,0, 0 \ prawej)}$$

$${\ Displaystyle J_ {1} = a_ {1} \ delta ^ {3} \ lewo ({\ vec {x}} - {\ vec {x$$

$${\ Displaystyle J_ {2} = a_ {2} \ delta ^ {3} \ lewo ({\ vec {x}} - {\ vec {x$$

gdzie funkcje delta są w przestrzeni, zakłócenia znajdują się w ${\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {1}}$ i ${\ Displaystyle {\ vec {x}} _ {2}}$$_$$są$ współczynniki i .

Jeśli pominiemy interakcje własne zaburzeń, wówczas W stanie się

$${\ Displaystyle W \ lewo (J \ prawo) = - \ iint d ^ {4} x \; d ^ {4} y \; J_ {1} \ lewo (x \ prawo) {\ Frac {1} {2 }}\lewo[D\lewo(xy\prawo)+D\lewo(yx\prawo)\prawo]J_{2}\lewo(y\prawo),}$$

które można napisać

$${\ Displaystyle W \ lewo (J \ prawo) = - Ta_ {1} a_ {2} \ int {\ Frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \; \; D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {x}}_{1} -{\vec {x}}_{2}\prawo)\prawo).}$$

Tutaj jest transformatą Fouriera ${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo)}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo [D \ lewo (xy \ prawo) + D \ lewo (yx \ prawo) \ prawo].}$$

Wreszcie zmiana energii spowodowana zaburzeniami statycznymi próżni wynosi

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {W} {T}} = a_ {1} a_ {2} \ int {\ Frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {x}} _{1}-{\vec {x}}_{2}\prawo)\prawo).}$$

Jeśli ta wielkość jest ujemna, siła jest przyciągająca. Jeśli jest dodatnia, siła jest odpychająca.

Przykładami statycznych, nieruchomych, oddziałujących prądów są potencjał Yukawy , potencjał kulombowski w próżni oraz potencjał kulombowski w prostej plazmie lub gazie elektronowym .

Wyrażenie na energię oddziaływania można uogólnić na sytuację, w której cząstki punktowe poruszają się, ale ruch ten jest powolny w porównaniu z prędkością światła. Przykładami są interakcje Darwina w próżni iw plazmie .

Wreszcie, wyrażenie na energię interakcji można uogólnić na sytuacje, w których zakłócenia nie są cząstkami punktowymi, ale prawdopodobnie ładunkami liniowymi, rurami ładunków lub wirami prądowymi. Przykłady obejmują: dwa ładunki liniowe osadzone w plazmie lub gazie elektronowym , potencjał Coulomba między dwiema pętlami prądowymi osadzonymi w polu magnetycznym oraz oddziaływanie magnetyczne między pętlami prądowymi w prostej plazmie lub gazie elektronowym . Jak widać na poniższym przykładzie oddziaływania kulombowskiego między rurkami z ładunkiem, te bardziej skomplikowane geometrie mogą prowadzić do tak egzotycznych zjawisk, jak ułamkowe liczby kwantowe .

Wybrane przykłady

Potencjał Yukawy: Siła między dwoma nukleonami w jądrze atomowym

Rozważ gęstość Lagrange'a o spinie -0

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo (\ częściowe \ varphi \ prawo) ^ {2} -m ^ {2 }\varphi ^{2}\right].}$$

Równanie ruchu dla tego Lagrange'a to równanie Kleina-Gordona

$${\ Displaystyle \ częściowe ^ {2} \ varphi + m ^ {2} \ varphi = 0.}$$

Jeśli dodamy zakłócenie, amplituda prawdopodobieństwa staje się

$${\ Displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ lewo \ {i \ int d ^ {4} x \; \ lewo [{\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ lewo (\ częściowe \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)+J\varphi \right]\right\}.}$$

Jeśli całkujemy przez części i pomijamy warunki brzegowe w nieskończoności, amplituda prawdopodobieństwa staje się

$${\ Displaystyle Z = \ int D \ varphi \; \ exp \ lewo \ {i \ int d ^ {4} x \; \ lewo [- {\ Frac {1} {2}} \ varphi \ lewo (\ częściowe ^{2}+m^{2}\right)\varphi +J\varphi \right]\right\}.}$$

Przy amplitudzie w tej postaci widać, że rozwiązaniem jest propagator

$${\ Displaystyle - \ lewo (\ częściowe ^ {2} + m ^ {2} \ prawo) D \ lewo (xy \ prawo) = \ delta ^ {4} \ lewo (xy \ prawo).}$$

Z tego widać, że

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {\ Frac {1} {{\ vec {k}} ^ {2} + m ^ { 2}}}.}$$

Energia spowodowana zaburzeniami statycznymi staje się (patrz Całki wspólne w kwantowej teorii pola § Potencjał Yukawy: potencjał Coulomba z masą )

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} \ exp \ lewo (-mr \Prawidłowy)}$$

z

$${\ Displaystyle r ^ {2} = \ lewo ({\ vec {x}} _ {1} - {\ vec {x}} _ {2} \ prawo )^{2}}$$

który jest atrakcyjny i ma zasięg

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {m}}.}$$

Yukawa zaproponował, że to pole opisuje siłę między dwoma nukleonami w jądrze atomowym. Pozwoliło mu to przewidzieć zarówno zasięg, jak i masę cząstki, znanej obecnie jako pion , związanej z tym polem.

Elektrostatyka

Potencjał kulombowski w próżni

Rozważmy spin -1 Proca Lagrange'a z zaburzeniem

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi (x)] = - {\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\ mu }+A_{\mu }J^{\mu }}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ częściowe _ {\ mu} A_ {\ nu} - \ częściowe _ {\ nu} A_ {\ mu} ,}$$

ładunek jest zachowany

$${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0,}$$

i wybieramy miernik Lorenza

$${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0.}$$

Ponadto zakładamy, że w zakłóceniu występuje tylko składnik podobny $do$ czasu W języku potocznym oznacza to, że w punktach zakłócenia występuje ładunek, ale nie ma prądu elektrycznego.

Jeśli zastosujemy tę samą procedurę, co zrobiliśmy z potencjałem Yukawy, znajdziemy to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & - {\ Frac {1} {4}} \ int d ^ {4} xF _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - {\ frac {1 }{4}}\int d^{4}x\left(\częściowe _{\mu }A_{\nu }-\częściowe _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\częściowe ^ {\mu }A^{\nu }-\częściowe ^{\nu }A^{\mu }\right)\\={}&{\frac {1}{2}}\int d^{4} x\;A_{\nu }\left(\częściowe ^{2}A^{\nu }-\częściowe ^{\nu }\częściowe _{\mu }A^{\mu }\right)={\ frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A^{\mu }\left(\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}\right)A^{\nu },\end{wyrównane}}}$$

co implikuje

$${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ alfa} \ lewo (\ częściowe ^ {2} +m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(xy\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(xy\right) }$$

I

$${\ Displaystyle D _ {\ mu \ nu} \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; \ eta _ {\ mu \ nu} {\ Frac {1} {- k^{2}+m^{2}}}.}$$

To daje

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {\ Frac {1} {{{ \vec {k}}^{2}+m^{2}}}}$$

dla czasoprzestrzennego propagatora i

$${\ Displaystyle E = + {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} \ exp \ lewo (-mr \Prawidłowy)}$$

który ma przeciwny znak do przypadku Yukawy.

W granicy zerowej masy fotonu Lagrange'a redukuje się do Lagrange'a dla elektromagnetyzmu

$${\ Displaystyle E = {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}}.}$$

Dlatego energia redukuje się do energii potencjalnej siły Coulomba, a $proporcjonalne$$do$ elektrycznego . W przeciwieństwie do przypadku Yukawy, ciała, podobnie jak ciała, w tym przypadku elektrostatycznym odpychają się.

Potencjał kulombowski w prostej plazmie lub gazie elektronowym

Fale plazmowe

Relacja dyspersyjna dla fal plazmowych to

$${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ gamma \ lewo (\ omega \ po prawej) {\ Frac {T_ {e}} {m}}} {\ vec {k} }^{2}.}$$

gdzie jest częstotliwością kątową fali, ${\ displaystyle \ omega}$

$${\ Displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {\ Frac {4 \ pi ne ^ {2}} {m}}}$$

to częstotliwość plazmy , $}$ wielkość ładunku elektronu , ${$ masa elektronu , to temperatura elektronu ( stała Boltzmanna równa jeden ) mi $e$ γ $po prawej)}$ jest czynnikiem, który zmienia się z częstotliwością od jednego do trzech. Przy wysokich $częstotliwościach$ rzędu częstotliwości plazmy, kompresja płynu elektronowego jest adiabatycznym wynosi trzy $. Efekty$ kompresja jest procesem izotermicznym jest jeden opóźnienia zostały pominięte przy uzyskiwaniu zależności dyspersji fali plazmowej.

Dla niskich częstotliwości relacja dyspersji staje się

$${\ Displaystyle {\ vec {k}} ^ {2} + {\ vec {k}} _ {D} ^ {2} = 0}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle k_ {D} ^ {2} = {\ Frac {4 \ pi ne ^ {2}} {T_ {e}}}}$$

jest liczbą Debye'a, która jest odwrotnością długości Debye'a . Sugeruje to, że propagatorem jest

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {\ Frac {1} {{\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^{2}}}.}$$

W rzeczywistości, jeśli efekty opóźnienia nie są zaniedbane, to relacja dyspersji jest

$${\ Displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + k_ {D} ^ { 2}-{\frac {m}{T_{e}}}k_{0}^{2}=0,}$$

co rzeczywiście daje zgadywany propagator. Ten propagator jest taki sam jak masywny propagator kulombowski o masie równej odwrotności długości Debye'a. Energia interakcji wynosi zatem

$${\ Displaystyle E = {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} \ exp \ lewo (-k_ {D} r \ prawo).}$$

Potencjał Coulomba jest sprawdzany na skalach długości o długości Debye'a.

plazmony

W kwantowym gazie elektronowym fale plazmowe są znane jako plazmony . Badanie przesiewowe Debye'a zostaje zastąpione badaniem przesiewowym Thomasa-Fermiego w celu uzyskania plonu

$${\ Displaystyle E = {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} \ exp \ lewo (-k_ { s}r\prawo)}$$

gdzie jest odwrotność długości ekranowania Thomasa – Fermiego

$${\ Displaystyle k_ {s} ^ {2} = {\ Frac {6 \ pi ne ^ {2}} {\ varepsilon _ {F}}}}$$

i jest energią ${\textstyle \ varepsilon _ {F} = {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ lewo ({3 \ pi ^ {2} n} \ prawo) ^ {2/3}.}$$_$

To wyrażenie można wyprowadzić z potencjału chemicznego gazu elektronowego iz równania Poissona . Potencjał chemiczny gazu elektronowego bliskiego równowadze jest stały i określony wzorem

$${\ Displaystyle \ mu = -e \ varphi + \ varepsilon _ {F}}$$

gdzie jest potencjałem elektrycznym. φ $\ displaystyle \ varphi}$ Linearyzacja energii Fermiego do pierwszego rzędu w fluktuacji gęstości i połączenie z równaniem Poissona daje długość ekranowania. Nośnikiem siły jest kwantowa wersja fali plazmowej .

Dwa ładunki liniowe osadzone w plazmie lub gazie elektronowym

Rozważamy linię ładunku z osią w kierunku z osadzoną w gazie elektronowym

$${\ Displaystyle J_ {1} \ lewo (x \ prawo) = {\ Frac {a_ {1}} {L_ {B}}} {\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$

gdzie $jest$ odległością w xy $od$ linii ładunku, jest materiału w kierunku z Indeks górny 2 wskazuje, że funkcja delta Diraca jest dwuwymiarowa. Propagatorem jest

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; {\ Frac {1} {{\vec {k}}^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$

gdzie $,$ albo odwrotną długością ekranowania Debye'a-Hückela długością ekranowania Thomasa-Fermiego .

Energia interakcji wynosi

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {a_ {1} \, a_ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawo) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{ 1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$

gdzie $i$$_$ i _ _ _ $_ {12}}$ to odległość między dwiema opłatami liniowymi. Otrzymując energię oddziaływania, wykorzystaliśmy całek (patrz Całki wspólne w kwantowej teorii pola § Całkowanie propagatora cylindrycznego z masą )

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi}} {\ Frac {d \ varphi}} {2 \ pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$

I

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {k \, dk} {k ^ {2} + m ^ {2}}} {\ mathcal {J}} _ {0} (kr )=K_{0}(pan).}$$

${\ Displaystyle k_ {Ds} r_ {12} \ ll 1$ } mamy

$${\ Displaystyle K_ {0} \ lewo (k_ {Ds} r_ {12} \ prawo) \ strzałka w prawo - \ ln \ lewo ({\ Frac {k_ {Ds} r_ {12}} {2}} \ prawo) + 0,5772.}$$

Potencjał kulombowski między dwiema pętlami prądowymi osadzonymi w polu magnetycznym

Energia oddziaływania dla wirów

Rozważamy gęstość ładunku w rurze o osi wzdłuż pola magnetycznego zatopionego w gazie elektronowym

$${\ Displaystyle J_ {1} \ lewo (x \ prawo) = {\ Frac {a_ {1}} {L_ { b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$

gdzie $jest$ odległością od środka prowadzącego $szerokością materiału$ jest kierunku pola magnetycznego

$${\ Displaystyle r_ {B1} = {\ Frac {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1}} {a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$

gdzie częstotliwość cyklotronu wynosi ( jednostki Gaussa )

$${\ Displaystyle \ omega _ {c} = {\ Frac {a_ {1} B} {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} c}}}$$

I

$${\ Displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ Frac {2 \ hbar \ omega _ {c}} {m_ {1}}}}}$$

to prędkość cząstki wokół pola magnetycznego, a B to wielkość pola magnetycznego. Wzór na prędkość pochodzi z ustawienia klasycznej energii kinetycznej równej odległości między poziomami Landaua w kwantowej obróbce naładowanej cząstki w polu magnetycznym.

W tej geometrii można zapisać energię interakcji

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {a_ {1} \, a_ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawo) \ int _ {0} ^ {\ infty} {k \ ;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right) {\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

gdzie $}$ środkami pętli prądu i jest o 12 $Displaystyle r_ {12}$ pierwszy rodzaj. W uzyskaniu energii oddziaływania wykorzystaliśmy całkę

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Frac {d \ varphi} {2 \ pi}} \ exp \ lewo (ip \ cos (\ varphi) \ prawo) = {\ mathcal {J }}_{0}(p).}$$

Pole elektryczne wywołane zaburzeniem gęstości

Potencjał chemiczny bliski równowadze jest określony wzorem

$${\ Displaystyle \ mu = -e \ varphi + N \ hbar \ omega _ {c} = N_ {0} \ hbar \ omega _ {c}}$$

gdzie $\ Displaystyle -e \ varphi}$$N}$ jest energią potencjalną elektronu w potencjale elektrycznym i i $Displaystyle$ to liczba cząstek w gazie elektronowym w odpowiednio przy braku iw obecności potencjału elektrostatycznego.

Fluktuacja gęstości jest wtedy

$${\ Displaystyle \ delta n = {\ Frac {e \ varphi}} {\ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}}$$

gdzie $jest$ obszarem materiału w płaszczyźnie prostopadłej do pola

Równanie Poissona daje wyniki

$${\ Displaystyle \ lewo (k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} \ prawej) \ varphi = 0}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle k_ {B} ^ {2} = {\ Frac {4 \ pi e ^ {2}} {\ hbar \ omega _ {c} A_ {M} L_ {B}}}.}$$

Propagator jest wtedy

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} = {\ Frac { 1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$

a energia interakcji staje się

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {a_ {1} \, a_ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawo) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal { J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2 }}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty}{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_ {B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac { r_{12}}{r_{B}}}\prawo)}$$

gdzie w drugiej równości ( jednostki Gaussa ) zakładamy, że wiry miały taką samą energię i ładunek elektronu.

Analogicznie do plazmonów , nośnikiem siły jest kwantowa wersja oscylacji górnej hybrydy , która jest podłużną falą plazmową rozchodzącą się prostopadle do pola magnetycznego.

Prądy z momentem pędu

Prądy funkcji delta

Rysunek 1. Energia oddziaływania w funkcji r dla stanów momentu pędu o wartości jeden. Krzywe są identyczne z tymi dla dowolnych wartości ${\ displaystyle l = l'}$ . Długości są w jednostkach $\ textstyle$ a energia jest w jednostkach mi $\ frac {e ^ {2}} {L_ {B}}}}$ . Tutaj ${\ displaystyle r = r_ {12}}$ . Należy zauważyć, że istnieją minima lokalne dla dużych wartości ${\ displaystyle k_ {B}}$ .

Rysunek 2. Energia interakcji w funkcji r dla stanów momentu pędu o wartości jeden i pięć.

Rysunek 3. Energia interakcji vs. r dla różnych wartości theta. Najniższa energia jest dla lub $}$${\ Frac {\ pi}}$ {4} . Najwyższa wykreślona energia jest dla ${\ textstyle \ theta = 0,90 {\ Frac {\ pi} {4}}}$ . Długości są w jednostkach ${\ displaystyle r_ {ll'}}$ .

Rysunek 4. Energie stanu podstawowego dla parzystych i nieparzystych wartości momentu pędu. Energia jest wykreślona na osi pionowej, a r na osi poziomej. Gdy całkowity moment pędu jest równy, minimum energii występuje, gdy ${\ Displaystyle l = l'}$ lub ${\ textstyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\frac {1}{2}}}$ . Gdy całkowity moment pędu jest nieparzysty, nie ma wartości całkowitych momentów pędu, które mieściłyby się w minimum energii. Dlatego po obu stronach minimum znajdują się dwa stany. Ponieważ ${\ Displaystyle l \ neq l '}$ , całkowita energia jest wyższa niż w przypadku, gdy dla danej wartości ${\ Displaystyle l = l'}$${\ Displaystyle l ^ {*} }$ .

W przeciwieństwie do prądów klasycznych, kwantowe pętle prądowe mogą mieć różne wartości promienia Larmora dla danej energii. Poziomy Landaua , stany energetyczne naładowanej cząstki w obecności pola magnetycznego, są wielokrotnie zdegenerowane . Pętle prądowe odpowiadają momentu pędu naładowanej cząstki, które mogą mieć tę samą energię. W szczególności gęstość ładunku osiąga wartość szczytową wokół promienia

$${\ Displaystyle r_ {l} = {\ sqrt {l}} \; r_ {B} \; \; \; l = 0,1,2, \ kropki }$$

gdzie $pędu$ liczbą kwantową momentu . Kiedy odzyskujemy klasyczną sytuację, w której elektron krąży wokół $pola$ promieniu . Jeśli prądy o dwóch momentach pędu $załóżmy$$delta$ gęstości ładunku są funkcjami ${\ displaystyle r_ {l}}$ , to energia interakcji wynosi

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {2e ^ {2}} {L_ {B}}} \ prawo) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {k \; dk \;} {k^{2}+k_{B}^{2}r_{l}^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {\frac {l'}{l}}}\;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{ \frac {r_{12}}{r_{l}}}\prawo).}$$

Energia interakcji dla $}$ podana na rysunku 1 dla różnych wartości $displaystyle k_ {B} r_ {l$ . Energię dla dwóch różnych wartości podano na rysunku 2.

kwazicząstki

Dla dużych wartości momentu pędu energia może mieć lokalne minima w odległościach innych niż zero i nieskończoność. Można numerycznie zweryfikować, że minima występują o godz

$${\ displaystyle r_ {12} = r_ {ll'} = {\ sqrt {l + l'}} \; r_ {B}.}$$

$jak$ że para cząstek, które są związane $i$ , kwazicząstka z momentem

Jeśli przeskalujemy długości jako , wówczas energia interakcji staje się ${\ displaystyle r_ {ll'}}$

$${\ Displaystyle E = {\ Frac {2e ^ {2}} {L_ {B}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {k \, dk} {k ^ {2} + k_ {B}^{2}r_{ll'}^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\cos \theta \,k\right)\;{\mathcal { J}}_{0}(\sin \theta \,k)\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{ll'}} }\Prawidłowy)}}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {\ Frac {l} {l'}}}.}$$

Wartość $}$$,$${\ textstyle \ tan \ theta = {\ sqrt {{l}/{l'}}}}$ której energia jest minimalna od stosunku . Jednak wartość energii przy minimum zależy od stosunku. Najniższe minimum energetyczne występuje, gdy

$${\ Displaystyle {\ Frac {l} {l'}} = 1.}$$

Gdy stosunek ten jest różny od 1, to minimum energetyczne jest wyższe (Rysunek 3). Dlatego dla parzystych wartości całkowitego pędu najniższa energia występuje, gdy (Rysunek 4)

$${\ displaystyle l = l' = 1}$$

Lub

$${\ Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\ Frac {1} {2}}}$$

gdzie całkowity moment pędu jest zapisany jako

$${\ displaystyle l ^ {*} = l + l '.}$$

Gdy całkowity moment pędu jest nieparzysty, minima nie mogą wystąpić dla ${\ displaystyle l = l'.}$ Najniższe stany energetyczne dla nieparzystego całkowitego momentu pędu występują, gdy

$${\ Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = \; {\ Frac {l ^ {*} \ pm 1} {2l ^ {*} }}}$$

Lub

$${\ Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\ Frac {1} {3}}, {\ Frac {2 }{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$

I

$$\ Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\ Frac {2} {3}}, {\ Frac {3 }{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

które pojawiają się również jako serie dla współczynnika wypełnienia w ułamkowym kwantowym efekcie Halla .

Gęstość ładunku rozłożona w funkcji falowej

Gęstość ładunku nie jest w rzeczywistości skoncentrowana w funkcji delta. Ładunek rozkłada się w funkcji falowej. W takim przypadku gęstość elektronów wynosi

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ pi r_ {B} ^ {2} L_ {B}}} {\ Frac {1} {n!}} \ lewo ({\ Frac {r} {r} {B }}}\right)^{2l}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{B}^{2}}}\right).}$$

Energia interakcji staje się

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {2e ^ {2}} {L_ {B}}} \ prawej) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {k \ ;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}\;M{\left(l+1,1,-{\frac {k^ {2}}{4}}\right)}\;M{\left(l'+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}}$$

gdzie jest $lub$ funkcją hipergeometryczną funkcją Kummera . W celu uzyskania energii interakcji wykorzystaliśmy całkę (patrz Wspólne całki w kwantowej teorii pola § Całkowanie po funkcji fali magnetycznej )

$${\ Displaystyle {\ Frac {2} {n!}} \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \; r ^ {2n + 1} \ exp \ lewo (-r ^ {2} \ prawo) J_ {0}(kr)=M\left(n+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right).}$$

$minimum, zależy tylko od$ w funkcji delta, wartość, w której energia jest lokalnym momentu pędu, a nie od momentów pędu poszczególnych prądów. Ponadto, podobnie jak w przypadku ładunków w funkcji delta, minimalna energia wzrasta, gdy stosunek momentu pędu zmienia się od jedności. Dlatego seria

$$Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\ Frac {1} {3}}, {\ Frac {2 }{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$

I

$$\ Displaystyle {\ Frac {l} {l ^ {*}}} = {\ Frac {2} {3}}, {\ Frac {3 }{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

pojawiają się również w przypadku ładunków rozłożonych przez funkcję falową.

Funkcja falowa Laughlina jest ansatzem dla funkcji falowej kwazicząstki. Jeśli wartość oczekiwana energii interakcji zostanie przejęta przez funkcję falową Laughlina , to szeregi te również zostaną zachowane.

Magnetostatyka

Interakcja Darwina w próżni

Naładowana poruszająca się cząstka może generować pole magnetyczne, które wpływa na ruch innej naładowanej cząstki. Statyczna wersja tego efektu nazywana jest interakcją Darwina . Aby to obliczyć, rozważ prądy elektryczne w przestrzeni generowane przez poruszający się ładunek

$${\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} {\ lewo ({\ vec {x}} \ prawo )}=a_{1}{\vec {v}}_{1}\delta ^{3}{\left({\vec {x}}-{\vec {x}}_{1}\right) }}$$

z porównywalnym wyrażeniem dla ${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {2}}$ .

Transformata Fouriera tego prądu to

$${\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} {\ lewo ({\ vec {k}} \ prawej)} = a_ {1} {\ vec {v}} _ {1} \ exp \ lewo ( i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}_{1}\right).}$$

Prąd można rozłożyć na część poprzeczną i podłużną (patrz rozkład Helmholtza ).

$${\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} {\ lewo ({\ vec {k}} \ prawej)} = a_ {1} \ lewo [1- {\ kapelusz {k}} {\ kapelusz { k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{1}\exp \left(i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}_{1}\right)+a_ {1}\left[{\kapelusz {k}}{\kapelusz {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{1}\exp \left(i{\vec {k}}\ cdot {\vec {x}}_{1}\right).}$$

Kapelusz oznacza wektor jednostkowy . Ostatni wyraz znika, ponieważ

$${\ Displaystyle {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {J}} = - k_ {0} J ^ {0} \ rightarrow 0,}$$

co wynika z zachowania ładunku. Tutaj $,$ ponieważ rozważamy siły statyczne.

Z prądem w tej postaci można zapisać energię oddziaływania

$${\ Displaystyle E = a_ {1} a_ {2} \ int {\ Frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \; \; D \ lewo (k \ prawo) \mid _{k_{0}=0}\;{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1-{\kapelusz {k}}{\kapelusz {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left(x_{1}-x_{2}\right)\right).}$$

Równanie propagatora dla Proca Lagrange'a to

$${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ alfa} \ lewo (\ częściowe ^ {2} + m ^ {2} \ prawo) D ^ {\ alfa \ nu} \ lewo (xy \ prawo) = \ delta _ { \mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(xy\right).}$$

Kosmicznym rozwiązaniem jest

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {\ Frac {1 }{{\vec {k}}^{2}+m^{2}}},}$$

co daje

$${\ Displaystyle E = - a_ {1} a_ {2} \ int {\ Frac {d ^ {3} k} {(2 \ pi) ^ {3}}} \; \; {\ Frac {{\ vec {v}}_{1}\cdot \left[1-{\kapelusz {k}}{\kapelusz {k}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}}{{\vec {k}}^{2}+m^{2}}}\;\exp \left(i{\vec {k}}\cdot \left(x_{1}-x_{2}\right)\right )}$$

co daje (patrz Całki wspólne w kwantowej teorii pola § Potencjał poprzeczny z masą )

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} e ^ {-mr} \ lewo \ {{\ Frac { 2}{\left(mr\right)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)-{\frac {2}{mr}}\right\}{\vec {v} }_{1}\cdot \left[1+{\kapelusz {r}}{\kapelusz {r}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}}$$

co zmniejsza się do

$$\ Displaystyle E = - {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {a_ { 1}a_{2}}{4\pi r}}{\vec {v}}_{1}\cdot \left[1+{\kapelusz {r}}{\kapelusz {r}}\prawo]\ cdot {\vec {v}}_{2}}$$

w granicach małego m . Energia interakcji jest ujemną wartością Lagrange'a interakcji. Dla dwóch podobnych cząstek poruszających się w tym samym kierunku oddziaływanie jest przyciągające, co jest przeciwieństwem oddziaływania kulombowskiego.

Oddziaływanie Darwina w osoczu

W plazmie zależność dyspersji dla fali elektromagnetycznej wynosi ( ${\ Displaystyle c = 1}$ )

$${\ Displaystyle k_ {0} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2},}$$

co implikuje

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {\ Frac {1} {{\ vec {k}} ^ {2} + \ omega _ {p}^{2}}}.}$$

Tutaj $_$ częstotliwość plazmy _ Energia interakcji wynosi zatem

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {1} {2}}} {\ Frac {a_ {1} a_ {2}} {4 \ pi r}} {\ vec {v}} _ {1} \ cdot \ left[1+{\kapelusz {r}}{\kapelusz {r}}\right]\cdot {\vec {v}}_{2}\;e^{-\omega _{p}r}\left \{{\frac {2}{\left(\omega _{p}r\right)^{2}}}\left(e^{\omega _{p}r}-1\right)-{\ frac {2}{\omega _{p}r}}\prawo\}.}$$

Oddziaływanie magnetyczne między pętlami prądowymi w prostej plazmie lub gazie elektronowym

Energia interakcji

Rozważ rurkę z prądem obracającą się w polu magnetycznym osadzoną w prostej plazmie lub gazie elektronowym. Prąd, który leży w płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego, jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle {\ vec {J}} _ {1} ({ \vec {x}})=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1} \right)}\left({\kapelusz {b}}\razy {\kapelusz {r}}\prawo)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle r_ {B1} = {\ Frac {{\ sqrt {4 \ pi}} m_ {1} v_ {1}} {a_ {1} B} }}$$

i $.$ jednostkowym w kierunku pola magnetycznego Tutaj $.$ wymiar materiału w kierunku pola Prąd poprzeczny, prostopadły do ​​wektora falowego , napędza falę poprzeczną .

Energia interakcji jest

$${\ Displaystyle E = \ lewo ({\ Frac {a_ {1} \, a_ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawo) v_ {1} \, v_ {2} \, \ int _{0}^{\infty}{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{ 1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\ lewo(kr_{12}\prawo)}}$$

gdzie $}$ środkami pętli prądu i jest o 12 $Displaystyle r_ {12}$ pierwszy rodzaj. W uzyskaniu energii interakcji wykorzystaliśmy całek

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi}} {\ Frac {d \ varphi}} {2 \ pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$

I

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Frac {d \ varphi} {2 \ pi}} \ cos \ lewo (\ varphi \ prawo) \ exp \ lewo (ip \ cos \ lewo ( \varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

Zobacz Całki wspólne w kwantowej teorii pola § Całkowanie kątowe we współrzędnych cylindrycznych .

Prąd w plazmie ograniczony do płaszczyzny prostopadłej do pola magnetycznego generuje niezwykłą falę . Fala ta generuje prądy Halla , które oddziałują i modyfikują pole elektromagnetyczne. Relacja dyspersyjna dla fal nadzwyczajnych to

$${\ Displaystyle -k_ {0} ^ {2} + {\ vec {k}} ^ {2} + \omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H} ^{2}}}=0,}$$

co daje propagatorowi

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ środek _ {k_ {0} = k_ {B} = 0} \ ;=\;-\left({\frac {1}{{\vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle k_ {X} \ równoważnik {\ Frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega _ {H}}}}$$

w analogii z propagatorem Darwina. Tutaj górna częstotliwość hybrydowa jest podana przez

$${\ Displaystyle \ omega _ {H} ^ {2} = \ omega _ {p} ^ {2} + \ omega _ {c} ^ {2},}$$

częstotliwość cyklotronu wyraża się wzorem ( jednostki Gaussa )

$${\ Displaystyle \ omega _ {c} = {\ Frac {eB} {mc}}}$$

i częstotliwość plazmy ( jednostki Gaussa )

$${\ Displaystyle \ omega _ {p} ^ {2} = {\ Frac {4 \ pi ne ^ {2}} {m}}.}$$

Tutaj n to gęstość elektronów, e to wielkość ładunku elektronu, a m to masa elektronu.

Energia interakcji staje się, dla podobnych prądów,

$${\ Displaystyle E = - \ lewo ({\ Frac {a ^ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawo) v ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {\ infty} {\frac {k\;dk}{{\vec {k}}^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left( kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

Granica małej odległości między pętlami prądowymi

W granicach, w których odległość między pętlami prądowymi jest mała,

$${\ Displaystyle E = -E_ {0} \; I_ {1} \ lewo (\ mu \ prawej) K_ {1} \ lewo (\ mu \ prawej) }$$

Gdzie

$${\ Displaystyle E_ {0} = \ lewo ({\ Frac {a ^ {2}} {2 \ pi L_ {B}}} \ prawej) v ^ {2 }}$$

I

$${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B}} {\ omega _ {H}}} = k_ {X}\;r_{B}}$$

a I i K są zmodyfikowanymi funkcjami Bessela. założyliśmy, że oba prądy mają ten sam ładunek i prędkość.

Użyliśmy całki (patrz Wspólne całki w kwantowej teorii pola § Całkowanie propagatora cylindrycznego z masą )

$${\ Displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} {\ Frac {k \; dk} {k ^ {2} + m ^ {2}}} {\ mathcal {J}} _ {1} ^ { 2}\left(kr\right)=I_{1}\left(pan\right)K_{1}\left(pan\right).}$$

Dla małego pana całka staje się

$${\ Displaystyle I_ {1} \ lewo (pan \ prawo) K_ {1} \ lewo (mr \ prawo) \ strzałka w prawo {\ Frac {1} {2}} \ lewo [1- {\ Frac {1} {8} }}\lewo(pan\prawo)^{2}\prawo].}$$

Dla dużego mr całka staje się

$${\ Displaystyle I_ {1} \ lewo (pan \ prawo) K_ {1} \ lewo (mr \ prawo) \ strzałka w prawo {\ Frac {1} {2}} \; \ lewo ({\ Frac {1} {mr }}\Prawidłowy).}$$

Związek z kwantowym efektem Halla

Ekranową liczbę falową można zapisać ( jednostki Gaussa )

$${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {\ omega _ {p} ^ {2} r_ {B}} {\ omega _ {H} c}} = \ lewo ({\ Frac {2e ^ {2} r_ { B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c }^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1 +{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$

gdzie jest stałą struktury subtelnej, a współczynnik wypełnienia wynosi ${\ displaystyle \ alpha}$

$${\ Displaystyle \ nu = {\ Frac {2 \ pi N \ hbar c} {eBA}}}$$

a N to liczba elektronów w materiale, a A to powierzchnia materiału prostopadła do pola magnetycznego. Ten parametr jest ważny w kwantowym efekcie Halla i ułamkowym kwantowym efekcie Halla . Współczynnik wypełnienia to ułamek zajętych stanów Landaua przy energii stanu podstawowego.

W przypadku zainteresowania kwantowym efektem Halla jest $mały$ . W takim przypadku energia interakcji wynosi

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {E_ {0}} {2}} \ lewo [1- {\ Frac {1} {8}} \ mu ^ {2}\prawo]}$$

gdzie ( jednostki Gaussa )

$${\ Displaystyle E_ {0} = {4 \ pi} {\ Frac {e ^ {2}} {L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi}}{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left ({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$

jest energią interakcji dla zerowego współczynnika wypełnienia. Ustawiliśmy klasyczną energię kinetyczną na energię kwantową

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2} = \ hbar \ omega _ {c}.}$$

Grawitacja

Zakłócenie grawitacyjne jest generowane przez tensor energii naprężenia ${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}$ ; w konsekwencji Lagrange'a dla pola grawitacyjnego to spin -2. Jeśli zakłócenia są w stanie spoczynku, to jedynym składnikiem tensora energii naprężenia, który utrzymuje się, jest ${\ displaystyle 00}$ . Jeśli użyjemy tej samej sztuczki polegającej na nadaniu grawitonowi pewnej masy, a następnie zmniejszeniu masy do zera na końcu obliczeń, propagator stanie się

$${\ Displaystyle D \ lewo (k \ prawo) \ mid _ {k_ {0} = 0} \; = \; - {\ Frac { 4}{3}}{\frac {1}{{\vec {k}}^{2}+m^{2}}}}$$

I

$${\ Displaystyle E = - {\ Frac {4} {3}} {\ Frac {a_ {1} a_ {2}}} 4\pi r}}\exp \left(-mr\right),}$$

co znów jest bardziej atrakcyjne niż odpychające. Współczynniki są proporcjonalne do mas zaburzeń. W granicy małej masy grawitonu odzyskujemy zachowanie odwrotności kwadratu wynikające z prawa Newtona.

Jednak w przeciwieństwie do przypadku elektrostatycznego przyjęcie granicy małej masy bozonu nie daje prawidłowego wyniku. Bardziej rygorystyczne traktowanie daje współczynnik energii równy jeden, a nie 4/3.