Superaddytywność

W matematyce funkcja jest $_$ , jeśli _

{\ Displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}

dla wszystkich i

{

{\ Displaystyle f.}

y}

w domenie fa

Podobnie sekwencja $_$ _ _ _ _

{\ Displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}}

dla

n

i

{\ Displaystyle n.}

Termin „naddodatek” jest również stosowany do funkcji z algebry boolowskiej do liczb rzeczywistych, gdzie ${\ Displaystyle P (X \ lor Y) \ geq P ( X)+P(Y),},$ takie jak mniejsze prawdopodobieństwa .

Przykłady funkcji superaddytywnych

Mapa $,$ funkcją superaddytywną dla nieujemnych liczb $x + y}$ ponieważ x zawsze lub równe kwadratowi plus kwadrat $\$ $displaystyle y,}$ dla nieujemnych liczb rzeczywistych ${\ displaystyle x}$ y $\ displaystyle y}$ : ${\ Displaystyle f (x + y) = (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + 2xy = f (x) + f (y) + 2xy.}$

Wyznacznik jest superaddytywny dla nieujemnej macierzy hermitowskiej , to znaczy, jeśli są $, B \ w {\ tekst {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ A nieujemny hermitowski wtedy ${\ Displaystyle \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B).}$ Wynika to z twierdzenia o wyznaczniku Minkowskiego, które bardziej ogólnie stwierdza, że ${\ Displaystyle \ det (\ cdot) ^ {1/n}}$ jest superaddytywne (równoważnie wklęsłe ) dla nieujemnych macierzy hermitowskich o rozmiarze ${\ Displaystyle n}$ : Jeśli ${\ Displaystyle A, B \ w {\ tekst {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ są nieujemnymi hermitowskimi, to ${\ Displaystyle \ det (A + B) ^ {1/n} \ geq \ det (A) ^ {1/n} + \ det (B) ^ {1/n}.}$
$y$ ${\ displaystyle x, y \ geq 1,5031.}$ że $≥$ Hadamarda jest wszystkich liczb z
Wzajemne informacje

Nieruchomości

Jeśli jest funkcją superaddytywną, której dziedzina zawiera $Displaystyle$ to $f (0) \ równoważnik 0.}$ $}$ Aby to zobaczyć, weź nierówność u góry fa {\ displaystyle : ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik f (x + y) -f (y).}$ Stąd ${\ Displaystyle f (0) \ równoważnik f (0 + y) -f (y) = 0.}$

Ujemna funkcja superaddytywna jest subaddytywna .

Lemat Fekete

Głównym powodem użycia sekwencji superaddytywnych jest następujący lemat autorstwa Michaela Fekete .

Lemat: (

} /n}

) Dla każdego ciągu superaddytywnego

lim

n jest równe supremum

{\ Displaystyle \ sup a_ {n}/n.}

(Granica może być dodatnią nieskończonością, jak ma to miejsce w przypadku sekwencji

{\ displaystyle a_ {n} = \ log n!}

na przykład.)

Analogia lematu Fekete dotyczy również funkcji subaddytywnych . Istnieją rozszerzenia lematu Fekete, które nie wymagają, aby powyższa definicja superaddytywności obowiązywała $dla$ i ${\ displaystyle n.}$ Istnieją również wyniki, które pozwalają wydedukować stopień zbieżności do granicy, o której istnieniu mówi lemat Fekete, jeśli występuje zarówno superaddytywność, jak i subaddytywność. Dobre omówienie tego tematu można znaleźć w Steele (1997).

Zobacz też

Całka Choqueta
Miara wewnętrzna
Subaddytywność – właściwość funkcji, w której suma dwóch elementów w dziedzinie funkcji jest mniejsza niż suma wartości funkcji
Funkcja podliniowa

Notatki

György Polya i Gábor Szegö. (1976). Problemy i twierdzenia w analizie, tom 1 . Springer-Verlag, Nowy Jork. ISBN 0-387-05672-6 .

Ten artykuł zawiera materiał z Superadditivity na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .