Superkompaktowa przestrzeń
W matematyce , w dziedzinie topologii , przestrzeń topologiczną nazywamy superzwartą , jeśli istnieje podbaza taka, że każde otwarte pokrycie przestrzeni topologicznej z elementów podbazy ma podpokrycie z co najwyżej dwoma elementami podbazy. Superzwartość i związane z nią pojęcie superrozszerzenia wprowadził J. de Groot w 1967 roku.
Przykłady
Zgodnie z twierdzeniem Aleksandra o subbazie każda przestrzeń superzwarta jest zwarta . I odwrotnie, wiele (ale nie wszystkie) przestrzeni zwartych jest superkompaktowych. Oto przykłady przestrzeni superkompaktowych:
- Kompaktowe przestrzenie uporządkowane liniowo z topologią porządku i wszystkimi ciągłymi obrazami takich przestrzeni
- Zwarte przestrzenie metryzowalne (pierwotnie dzięki Strokowi i Szymańskiemu (1975) , patrz też Mills (1979) )
- Iloczyn przestrzeni superzwartych jest superzwarty (podobnie jak podobne stwierdzenie o zwartości, twierdzenie Tychonowa , jest równoważne z aksjomatem wyboru ).
Nieruchomości
Niektóre zwarte przestrzenie Hausdorffa nie są superkompaktowe; takim przykładem jest liczb naturalnych Stone-Čecha (z topologią dyskretną).
Ciągły obraz superkompaktowej przestrzeni nie musi być superkompaktowy.
W przestrzeni superkompaktowej (lub dowolnym jej ciągłym obrazie) punkt skupienia dowolnego policzalnego podzbioru jest granicą nietrywialnej sekwencji zbieżnej.
Notatki
- Banaschewski, B. (1993), „Superzwartość, produkty i aksjomat wyboru”, Kyungpook Math Journal , 33 (1): 111–114
- Bell, Murray G. (1978), „Nie wszystkie zwarte przestrzenie Hausdorffa są superkompaktowe”, Topologia ogólna i jej zastosowania , 8 (2): 151–155, doi : 10,1016 / 0016-660X (78) 90046-6
- Bula W.; Nikiel, J.; Tuncali, HM; Tymchatyn, ED (1992), „Ciągłe obrazy uporządkowanych kompaktów są regularnymi superkompaktami”, Topologia i jej zastosowania , 45 (3): 203–221, doi : 10.1016/0166-8641 (92) 90005-K
- de Groot, J. (1969), "Supercompactness and superextensions", w: Flachsmeyer, J.; Poppe, H.; Terpe, F. (red.), Składki do teorii rozszerzeń struktur topologicznych. Materiały z sympozjum, które odbyło się w Berlinie, 14-19 sierpnia 1967 r ., Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
- Engelking, R (1977), Topologia ogólna , Taylor & Francis, ISBN 978-0-8002-0209-5
- Małychin, VI; Ponomarev, VI (1977), „Topologia ogólna (trend teorii mnogości)”, Journal of Mathematical Sciences , Nowy Jork: Springer, 7 (4): 587–629, doi : 10.1007 / BF01084982 , S2CID 120365836
- Mills, Charles F. (1979), „Prostszy dowód, że zwarte przestrzenie metryczne są superkompaktowe”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, tom. 73, nr 3, 73 (3): 388–390, doi : 10.2307/2042369 , JSTOR 2042369 , MR 0518526
- Mills, Charles F.; van Mill, Jan (1979), „Niesuperkompaktowy ciągły obraz przestrzeni superkompaktowej”, Houston Journal of Mathematics , 5 (2): 241–247
- Mysior, Adam (1992), „Universal compact T 1 -spaces” , Canadian Mathematical Bulletin , Canadian Mathematical Society, 35 (2): 261–266, doi : 10.4153 / CMB-1992-037-1
- Strok, M.; Szymański, A. (1975), „Zwarte przestrzenie metryczne mają podstawy binarne” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 89 (1): 81–91, doi : 10.4064/fm-89-1-81-91
- van Mill, J. (1977), Supercompactness and Wallman spaces (Mathematical Center Tracts, nr 85.) , Amsterdam: Mathematisch Centrum, ISBN 90-6196-151-3
- Verbeek, A. (1972), Superextensions przestrzeni topologicznych (trakty Centrum Matematycznego, nr 41) , Amsterdam: Mathematisch Centrum
- Yang, Zhong Qiang (1994), „Wszystkie punkty skupienia zbiorów policzalnych w przestrzeniach superkompaktowych są granicami nietrywialnych sekwencji”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, tom. 122, nr 2, 122 (2): 591–595, doi : 10.2307/2161053 , JSTOR 2161053