Szachownica Feynmana

Szachownica Feynmana z dwiema ścieżkami przyczyniającymi się do sumy propagatora od ( ${\ Displaystyle x/\ epsilon c}$ , ${\ Displaystyle t/\ epsilon}$ ) = (0, 0) do (3, 7)

Szachownica Feynmana , czyli relatywistyczny model szachownicy, była formułą jądra Richarda Feynmana z sumą po ścieżkach dla cząstki o swobodnym spinie ½ poruszającej się w jednym wymiarze przestrzennym. Zapewnia reprezentację rozwiązań równania Diraca w (1+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni jako dyskretne sumy.

Model można zwizualizować, rozważając relatywistyczne spacery losowe na dwuwymiarowej szachownicy czasoprzestrzeni. W każdym dyskretnym kroku czasowym cząstka masy $Displaystyle c$$o$ odległość $}$ lewo lub w prawo ( do {\ będąc ${\ Displaystyle$ światła ). Dla takiego dyskretnego ruchu całka po trajektorii Feynmana redukuje się do sumy po możliwych ścieżkach. Feynman wykazał, że jeśli każdy „obrót” (zmiana ruchu z lewej na prawą lub odwrotnie) ścieżki czasoprzestrzennej jest ważony przez ${\ Displaystyle -i \ epsilon mc ^ {2} / \ hbar }$ (z $)$ zredukowanej stałej Plancka , w granicach nieskończenie małych kwadratów szachownicy suma wszystkich ważonych ścieżek daje propagator, który spełnia jednowymiarowe równanie Diraca . W rezultacie helikalność (jednowymiarowy odpowiednik spinu ) uzyskuje się z prostej reguły typu automatów komórkowych .

Model szachownicy jest ważny, ponieważ łączy aspekty spinu i chiralności z propagacją w czasoprzestrzeni i jest jedynym sformułowaniem sumy po ścieżce, w którym faza kwantowa jest dyskretna na poziomie ścieżek, przyjmując tylko wartości odpowiadające czwartemu pierwiastkowi jedności .

Historia

Feynman wynalazł ten model w latach czterdziestych XX wieku, rozwijając swoje czasoprzestrzenne podejście do mechaniki kwantowej. Nie opublikował wyniku, dopóki nie pojawił się w tekście o całkach po trajektoriach, którego współautorem był Albert Hibbs w połowie lat sześćdziesiątych. Model nie został dołączony do oryginalnego artykułu o całce po ścieżce, ponieważ nie znaleziono odpowiedniego uogólnienia na czterowymiarową czasoprzestrzeń.

Jedno z pierwszych powiązań między amplitudami określonymi przez Feynmana dla cząstki Diraca w wymiarach 1+1 a standardową interpretacją amplitud w odniesieniu do jądra lub propagatora zostało ustalone przez Jayanta Narlikara w szczegółowej analizie. Nazwa „model szachownicy Feynmana” została wymyślona przez Gerscha, kiedy zademonstrował jej związek z jednowymiarowym modelem Isinga . Gaveau i in. odkrył związek między modelem a stochastycznym modelem równań telegraficznych dzięki Markowi Kacowi poprzez analityczną kontynuację . Jacobson i Schulman zbadali przejście od relatywistycznej do nierelatywistycznej całki po trajektorii. Następnie Ord wykazał, że model szachownicy był osadzony w korelacjach w oryginalnym modelu stochastycznym Kaca, a więc miał czysto klasyczny kontekst, wolny od formalnej kontynuacji analitycznej. W tym samym roku Kauffman i Noyes stworzyli w pełni dyskretną wersję związaną z fizyką łańcuchów bitów, która została rozwinięta w ogólne podejście do fizyki dyskretnej.

Rozszerzenia

Chociaż Feynman nie doczekał się opublikowania rozszerzeń modelu szachownicy, z jego zarchiwizowanych notatek wynika, że ​​był zainteresowany ustaleniem związku między czwartym pierwiastkiem jedności (używanym jako waga statystyczna w ścieżkach szachownicy) a swoim odkryciem wraz z JA Wheelerem , że antycząstki są równoważne cząstkom cofającym się w czasie. Jego notatki zawierają kilka szkiców ścieżek szachownicy z dodanymi pętlami czasoprzestrzennymi. Pierwszym rozszerzeniem modelu, które wyraźnie zawierało takie pętle, był „model spiralny”, w którym ścieżki szachownicy mogły skręcać się spiralnie w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do przypadku szachownicy, przyczynowość musiała zostać zaimplementowana jawnie, aby uniknąć rozbieżności, jednak z tym ograniczeniem równanie Diraca pojawiło się jako granica kontinuum . Następnie wyjaśniono role zitterbewegung , antycząstek i morza Diraca w modelu szachownicy, a implikacje dla równania Schrödingera rozważono poprzez nierelatywistyczną granicę.

Dalsze rozszerzenia oryginalnego dwuwymiarowego modelu czasoprzestrzeni obejmują takie funkcje, jak ulepszone reguły sumowania i uogólnione kraty. Nie osiągnięto konsensusu co do optymalnego rozszerzenia modelu szachownicy do w pełni czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Istnieją dwie odrębne klasy rozszerzeń, te działające ze stałą bazową siatką i te, które osadzają dwuwymiarową obudowę w wyższym wymiarze. Zaletą tego pierwszego jest to, że suma po ścieżkach jest bliższa przypadkowi nierelatywistycznemu, jednak traci się prosty obraz pojedynczej niezależnej kierunkowo prędkości światła. W tych ostatnich rozszerzeniach właściwość stałej prędkości jest utrzymywana kosztem zmiennych kierunków na każdym kroku.