Szeregi Fouriera sinus i cosinus

„Seria sinus i cosinus” przekierowuje tutaj. Nie mylić z sinusem i cosinusem § Definicje szeregów .

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie rachunku różniczkowego i analizy Fouriera , serie sinusów i cosinusów Fouriera to dwie serie matematyczne nazwane na cześć Josepha Fouriera .

Notacja

W tym artykule f oznacza funkcję $,$ wartościach rzeczywistych na która jest okresowa z okresem 2 L .

Seria sinusów

Jeśli f jest funkcją nieparzystą z okresem , to szereg sinusoidalny Fouriera w połowie zakresu f jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle 2L}$

$${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ Frac {n \pix}{L}}}$$

co jest po prostu formą pełnego szeregu Fouriera $i$ tą tylko różnicą, że są równe zeru, $a$ szereg jest zdefiniowany przedziału .

W formule mamy

$${\ Displaystyle b_ {n} = {\ Frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ Frac {n \ pi x} {L}} \, dx ,\quad n\w \mathbb {N} .}$$

Szereg kosinusowy

Jeśli f jest parzystą funkcją z okresem , to szereg cosinusowy Fouriera jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle 2L}$

$${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {c_ {0}} {2}} + \ suma _ {n =$$

Gdzie

$${\ Displaystyle c_ {n} = {\ Frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos {\ Frac {n \ pi x} {L}} \, dx ,\quad n\w \mathbb {N} _{0}.}$$

Uwagi

Pojęcie to można uogólnić na funkcje, które nie są parzyste ani nieparzyste, ale wtedy powyższe wzory będą wyglądać inaczej.

Zobacz też

• szereg Fouriera
• Analiza Fouriera
• Analiza widmowa metodą najmniejszych kwadratów

Bibliografia

• Byerly, William Elwood (1893). „Rozdział 2: Rozwój w szeregach trygonometrycznych” . Elementarny traktat o szeregach Fouriera: i sferyczne, cylindryczne i elipsoidalne harmoniczne, z zastosowaniami do problemów z fizyki matematycznej (wyd. 2). Ginn. P. 30.
• Carsław, Horatio Scott (1921). „Rozdział 7: Szereg Fouriera” . Wprowadzenie do teorii szeregów i całek Fouriera, tom 1 (wyd. 2). Macmillan i Spółka. P. 196.