Teoria mnogości definicja liczb naturalnych

W teorii mnogości zaproponowano kilka sposobów konstruowania liczb naturalnych . Należą do nich reprezentacja za pomocą liczb porządkowych von Neumanna , powszechnie stosowana w aksjomatycznej teorii mnogości , oraz system oparty na równości , który został zaproponowany przez Gottloba Frege'a i Bertranda Russella .

Definicja jako liczby porządkowe von Neumanna

Zobacz też: liczby porządkowe Zermelo

W teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF) liczby naturalne są definiowane rekurencyjnie , pozwalając 0 = {} być zbiorem pustym i n + 1 = n ∪ { n } dla każdego n . W ten sposób n = {0, 1, …, n − 1} dla każdej liczby naturalnej n . Ta definicja ma tę właściwość, że n jest zbiorem z n elementami. Kilka pierwszych liczb zdefiniowanych w ten sposób to: ( Goldrei 1996 )

$\ \2&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnic ,\{\varnic\}\},\\3&{}=\{0,1,2\}&&{}=\ {\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}.\end{alignedat}}}$

Zbiór N liczb naturalnych jest w tym systemie zdefiniowany jako najmniejszy zbiór zawierający 0 i domknięty następnikiem S zdefiniowanym przez S ( n ) = n ∪ { n } . Struktura ⟨ N , 0, S ⟩ jest modelem aksjomatów Peano ( Goldrei 1996 ). Istnienie zbioru N jest równoważne z aksjomatem nieskończoności w teorii mnogości ZF.

Zbiór N i jego elementy skonstruowane w ten sposób stanowią początkową część liczb porządkowych von Neumanna. Ravven i Quine nazywają te zestawy „zestawami liczników”.

Frege'a i Russella

Gottlob Frege i Bertrand Russell zaproponowali zdefiniowanie liczby naturalnej n jako zbioru wszystkich zbiorów z n elementami. Bardziej formalnie, liczba naturalna jest klasą równoważności zbiorów skończonych w relacji równoważności równości . Ta definicja może wydawać się okrągła, ale tak nie jest, ponieważ równość można zdefiniować na różne sposoby, na przykład mówiąc, że dwa zbiory są równoliczne, jeśli można je umieścić w korespondencji jeden do jednego - jest to czasami znane jako zasada Hume'a .

Ta definicja sprawdza się w teorii typów oraz w teoriach mnogości, które wyrosły z teorii typów, takich jak New Foundations i systemy pokrewne. Jednak nie działa to w aksjomatycznej teorii mnogości ZFC ani w niektórych pokrewnych systemach, ponieważ w takich systemach klasy równoważności w równości są klasami właściwymi, a nie zbiorami.

Aby liczby naturalne mogły tworzyć zbiór, klasy równoliczne są zastępowane przez specjalne zbiory, zwane kardynalnymi . Najprostszym sposobem wprowadzenia liczebności kardynalskich jest dodanie prymitywnego pojęcia Card() i aksjomatu liczności do teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru).

Aksjomat liczności: zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy Karta(A) = Karta(B)

Definicja: suma kardynałów K i L, takich jak K = Karta (A) i L = Karta (B), gdzie zbiory A i B są rozłączne, to Karta (A ∪ B).

Definicja zbioru skończonego jest podana niezależnie od liczb naturalnych:

Definicja: Zbiór jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy jakakolwiek niepusta rodzina jego podzbiorów ma element minimalny dla rzędu włączania.

Definicja: kardynał n jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony zbiór, którego kardynałem jest n.

0 = Karta (∅)

1 = Karta({A}) = Karta({∅})

Definicja: następcą kardynała K jest kardynał K + 1

Twierdzenie: liczby naturalne spełniają aksjomaty Peano

Hatcher

William S. Hatcher (1982) wywodzi aksjomaty Peano z kilku podstawowych systemów, w tym ZFC i teorii kategorii , oraz z systemu Grundgesetze der Arithmetik Fregego , używając nowoczesnej notacji i dedukcji naturalnej . Paradoks Russella dowiódł, że ten system jest niespójny, ale George Boolos (1998) oraz David J. Anderson i Edward Zalta (2004) pokazują, jak go naprawić.

Zobacz też

• kodowanie Ackermanna
• Podstawy matematyki
• Nowe fundamenty

• Anderson, DJ i Edward Zalta , 2004, „Frege, Boolos i obiekty logiczne”, Journal of Philosophical Logic 33 : 1–26.
• George Boolos , 1998. Logika, logika i logika .
• Goldrei, Derek (1996). Klasyczna teoria mnogości . Chapmana i Halla .
• Abraham Fraenkel , 1968 (1953). Abstrastowa teoria mnogości . Holandia Północna, Amsterdam, wydanie 4.
• Hatcher, William S., 1982. Logiczne podstawy matematyki . Pergamon. W tym tekście S odnosi się do aksjomatów Peano.
• Holmes, Randall, 1998. Elementarna teoria mnogości ze zbiorem uniwersalnym . Akademia-Bruylant. Wydawca łaskawie zgodził się na rozpowszechnianie tego wprowadzenia do NFU za pośrednictwem Internetu. Prawa autorskie są zastrzeżone.
• Patrick Suppes , 1972 (1960). Aksjomatyczna teoria mnogości . Dover.

Linki zewnętrzne

• Stanford Encyklopedia filozofii :
  • Nowe podstawy Quine'a — Thomas Forster.
  • Alternatywne aksjomatyczne teorie mnogości — autorstwa Randalla Holmesa.
• McGuire, Gary, „ Jakie są liczby naturalne? ”
• Randall Holmes: Nowa strona główna fundacji.