Teoria reprezentacji grup dyfeomorficznych

W matematyce źródłem teorii reprezentacji grupy dyfeomorfizmów rozmaitości gładkiej M jest początkowa obserwacja, że ​​(dla M spójnych ) grupa ta działa przechodnio na M .

Historia

Artykuł przeglądowy z 1975 roku na ten temat autorstwa Anatoly'ego Vershika , Israela Gelfanda i MI Graeva przypisuje pierwotne zainteresowanie tym tematem badaniom w fizyce teoretycznej lokalnej algebry prądu w poprzednich latach. Badania nad skończonymi reprezentacjami konfiguracyjnymi prowadzono w artykułach RS Ismagilov (1971) i AA Kirillov (1974). Interesujące nas reprezentacje w fizyce są opisane jako iloczyn krzyżowy C ^∞ ( M )·Diff( M ).

Konstrukcje

Niech zatem M będzie n -wymiarową spójną rozmaitością różniczkowalną , a x dowolnym punktem na niej. Niech Diff( M ) będzie zachowującą orientację grupą dyfeomorfizmu M (jedynie składową tożsamościową odwzorowań homotopijnych do dyfeomorfizmu tożsamościowego, jeśli chcesz) i Diff _x ¹ ( M ) stabilizatorem x . Następnie M jest identyfikowane jako a jednorodna przestrzeń

Różn.( M )/ Różn. _x ¹ ( M ).

$}$ tego z algebraicznego punktu widzenia algebrą gładkich funkcji $)$ M i ja $\ Displaystyle I_ {x$ M jest ideałem gładkich funkcji znikających w punkcie x . Niech $.$ do n- pochodna cząstkowa w punkcie x . ${\ Displaystyle I_ {x} ^ {n} (M)}$ jest niezmiennikiem w grupie Diff _x ¹ ( M ) dyfeomorfizmów ustalających x. Dla n > 0 grupa Różn. _x ⁿ ( M ) jest zdefiniowana jako podgrupa Różn. _x ¹ ( M ) , która działa jako tożsamość na ${\ Displaystyle I_ {x} (M) / I_ {x} ^ {n} (M)}$ . Mamy więc malejący łańcuch

Różn.( M ) ⊃ Różn. _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Różn. _x ⁿ ( M ) ⊃ ...

Tutaj Diff _x ⁿ ( M ) jest normalną podgrupą Diff _x ¹ ( M ), co oznacza, że ​​możemy spojrzeć na grupę ilorazową

Różn. _x ¹ ( M )/Różn. _x ⁿ ( M ).

Korzystając z analizy harmonicznej , funkcja o wartościach rzeczywistych lub zespolonych (z pewnymi wystarczająco ładnymi właściwościami topologicznymi) na grupie dyfeomorfizmu może zostać rozłożona na funkcje o wartościach reprezentacyjnych Diff _x ¹ ( M ) nad M .

Dostawa reprezentacji

Więc jakie są reprezentacje Różn. _x ¹ ( M )? Wykorzystajmy fakt, że jeśli mamy homomorfizm grupowy φ: G → H , to jeśli mamy H -reprezentację, możemy otrzymać ograniczoną G -reprezentację. Tak więc, jeśli mamy przedstawiciela ds

Różnica _x ¹ ( M )/Różnica _x ⁿ ( M ),

możemy uzyskać powtórzenie Diff _x ¹ ( M ).

Spójrzmy na

Różnica _x ¹ ( M )/Różnica _x ² ( M )

Pierwszy. Jest to izomorficzne z ogólną grupą liniową GL ⁺ ( n , R ) (i ponieważ rozważamy tylko dyfeomorfizmy zachowujące orientację, więc wyznacznik jest dodatni). Jakie są powtórzenia GL ⁺ ( n , R )?

${\ Displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {R} ^ {+} \ razy SL (n,\mathbb {R} )}$ .

Wiemy, że powtórzenia SL( n , R ) są po prostu tensorami w n wymiarach. A co z R ⁺ ? Odpowiada to gęstości , lub innymi słowy, jak tensor przeskalowuje pod wyznacznik jakobianu dyfeomorfizmu w x . ( Jeśli chcesz, pomyśl o tym jako o wadze konforemnej , z wyjątkiem tego, że nie ma tutaj struktury konforemnej). (Nawiasem mówiąc, nic nie stoi na przeszkodzie, aby mieć złożoną gęstość).

Tak więc właśnie odkryliśmy powtórzenia tensorowe (z gęstością) grupy dyfeomorfizmu.

Spójrzmy na

Różn. _x ¹ ( M )/Różn. _x ⁿ ( M ).

To jest skończona grupa wymiarowa. Mamy łańcuch

Różn. _x ¹ ( M )/ Różn. _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Różn. _x ¹ ( M )/ Różn. _x ⁿ ( M ) ⊂ ...

Tutaj znaki „⊂” należy w rzeczywistości rozumieć jako homomorfizm iniekcyjny, ale ponieważ jest to kanoniczny, możemy udawać, że te grupy ilorazów są osadzone jedna w drugiej.

Każdy przedstawiciel

Różnica _x ¹ ( M )/Różnica _x ^m ( M )

może automatycznie stać się przedstawicielem

Różn. _x ¹ / Różn. _x ⁿ ( M )

jeśli n > m . Powiedzmy, że mamy przedstawiciela ds

Różn. _x ¹ / Różn. _x ^{p + 2}

co nie wynika z rep

Różn. _x ¹ / Różn. _x ^{p + 1} .

Następnie nazywamy wiązkę włókien z tym powtórzeniem jako włóknem (tj. Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2} to grupa strukturalna ) wiązką dżetową rzędu p .

Uwaga dodatkowa: tak naprawdę jest to metoda indukowanych reprezentacji , w której mniejsza grupa to Diff _x ¹ (M), a większa grupa to Diff ( M ).

Przeplatająca się struktura

Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń przekrojów wiązki tensorowej i dżetowej byłaby nieredukowalną reprezentacją i często patrzymy na ich podreprezentację. Możemy badać strukturę tych powtórzeń poprzez badanie przeplatających się elementów .

Jeśli włókno nie jest nieredukowalną reprezentacją Diff _x ¹ ( M ), to możemy mieć niezerowy splot odwzorowujący każde włókno punktowo na reprezentację mniejszego ilorazu. Również pochodna zewnętrzna jest splotem z przestrzeni form różniczkowych do innej, wyższego rzędu. (Inne pochodne nie są, ponieważ połączenia nie są niezmienne w przypadku dyfeomorfizmów, chociaż są kowariantne ). Pochodna cząstkowa nie jest dyfeomorfizmem niezmiennym. Istnieje splot pochodny dzielący sekcje wiązki dżetów rzędu p na sekcje wiązki dżetów rzędu p + 1.