Teoria rewizji

Teoria rewizji jest poddziedziną logiki filozoficznej . Składa się z ogólnej teorii definicji , w tym (ale nie wyłącznie) pojęć okrężnych i współzależnych . Definicja kołowa to taka, w której definiowane pojęcie występuje w zdaniu definiującym je — na przykład zdefiniowanie G jako niebieskiego i znajdującego się na lewo od G. Teoria rewizji zapewnia formalną semantykę dla zdefiniowanych wyrażeń, a formalne systemy dowodowe badają logika wyrażeń kołowych.

Definicje są ważne w filozofii i logice. Chociaż definicje okrężne zostały uznane za logicznie niepoprawne lub niespójne, teoria rewizji pokazuje, że mają one znaczenie i można je badać za pomocą matematycznej i filozoficznej. Został wykorzystany do dostarczenia okrężnych analiz koncepcji filozoficznych i logicznych.

Historia

Teoria rewizji jest uogólnieniem rewizyjnych teorii prawdy opracowanych przez Anila Guptę , Hansa Herzbergera i Nuela Belnapa . W teoriach rewizji Gupty i Herzbergera rewizja ma odzwierciedlać intuicyjne oceny zdań, które używają predykatu prawdy. Niektóre zdania są stabilne w swoich ocenach, takie jak zdanie mówiące prawdę,

Prawdomówny jest prawdziwy.

Zakładając, że prawdomówca jest prawdziwy, jest to prawda, a zakładając, że jest fałszywy, jest fałszywy. Żaden status się nie zmieni. Z drugiej strony niektóre zdania oscylują, np. kłamca ,

Zdanie kłamcy nie jest prawdziwe.

Zakładając, że kłamca jest prawdziwy, można wykazać, że jest to fałsz, a zakładając, że jest to fałsz, można wykazać, że jest to prawda. Ta niestabilność znajduje odzwierciedlenie w sekwencjach powtórek dla kłamcy.

Uogólnienie na definicje cykliczne zostało opracowane przez Guptę we współpracy z Belnapem. Ich książka The Revision Theory of Truth przedstawia dogłębny rozwój teorii definicji kołowych, a także przegląd i krytyczną dyskusję filozoficznych poglądów na prawdę i relacji między prawdą a definicją.

Tło filozoficzne

Filozoficzne podstawy teorii rewizji rozwijają Gupta i Belnap. Inni filozofowie, tacy jak Aladdin Yaqūb, rozwinęli filozoficzne interpretacje teorii rewizji w kontekście teorii prawdy, ale nie w ogólnym kontekście okrągłych definicji.

Gupta i Belnap utrzymują, że koncepcje cyrkularne są sensowne i logicznie akceptowalne. Okrągłe definicje są formalnie wykonalne, o czym świadczy formalna semantyka teorii rewizji. Jak ujęli to Gupta i Belnap, „morał, jaki wyciągamy z paradoksów, jest taki, że domena tego, co znaczące, jest szersza, niż się wydaje, że pewne pozornie bezsensowne koncepcje są w rzeczywistości znaczące”.

Znaczenie predykatu cyklicznego nie jest rozszerzeniem, jak to często przypisuje się predykatom nieokrągłym. Jego znaczenie jest raczej regułą rewizji, która określa, jak wygenerować nowe hipotetyczne rozszerzenie, biorąc pod uwagę rozszerzenie początkowe. Te nowe rozszerzenia są co najmniej tak dobre jak oryginały, w tym sensie, że mając jedno rozszerzenie, nowe rozszerzenie zawiera dokładnie te elementy, które spełniają definiens dla określonego predykatu cyklicznego. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma unikalnego rozszerzenia, na którym zostanie ustalona wersja.

Teoria rewizji oferuje alternatywę dla standardowej teorii definicji. Standardowa teoria utrzymuje, że dobre definicje mają dwie cechy. Po pierwsze, zdefiniowane symbole zawsze można usunąć i zastąpić tym, co je definiuje. Po drugie, definicje powinny być konserwatywne w tym sensie, że dodanie definicji nie powinno powodować nowych konsekwencji w języku oryginalnym. Teoria rewizji odrzuca pierwszą, ale utrzymuje drugą, jak pokazano dla obu silnych sensów ważności przedstawionych poniżej.

Logik Alfred Tarski przedstawił dwa kryteria oceny definicji jako analizy pojęć: poprawność formalną i adekwatność merytoryczną. Kryterium poprawności formalnej stwierdza, że ​​w definicji definiendum nie może występować w definiens . Kryterium adekwatności materialnej mówi, że definicja musi być wierna analizowanemu pojęciu. Gupta i Belnap zalecają opowiedzenie się za adekwatnością materialną w przypadkach, w których te dwa kryteria są sprzeczne. Aby ustalić, czy definicja cyrkularna zapewnia dobrą analizę pojęcia, należy ocenić adekwatność merytoryczną definicji. Niektóre okólne definicje będą dobrymi analizami, a inne nie. Tak czy inaczej, poprawność formalna w sensie Tarskiego zostanie naruszona.

Semantyka predykatów cyklicznych

Centralną semantyczną ideą teorii rewizji jest $G}$ , taka jak bycie , zapewnia regułę rewizji , która mówi, jakie powinno być nowe $displaystyle$ definiendum, biorąc pod uwagę sol { \ hipotetyczne rozszerzenie definiendum i informacje dotyczące niezdefiniowanych wyrażeń. Wielokrotne stosowanie reguły rewizji generuje sekwencje hipotez, które mogą posłużyć do zdefiniowania logiki pojęć cyrkularnych. W pracach nad teorią rewizji często używa się symbolu do wskazania $to$ przy czym lewa strona to , a prawa strona . Przykład

Bycie jest definiowane jako bycie zarówno niebieskim, jak i na lewo od $G}$$displaystyle$

można wtedy zapisać jako

Bycie zarówno niebieskim, jak i na lewo od ${\ Displaystyle G$$_ {df}}$ .

Biorąc pod $niebieskiego$ hipotezę dotyczącą rozszerzenia $i$ można uzyskać nowe rozszerzenie dla odwołujące się do znaczenia niezdefiniowanych wyrażeń w definicji, a mianowicie na lewo od .

Zaczynamy od języka podstawowego , $interpretowany za$$jest$$pomocą$ klasycznego modelu $.$ parą domeny i $ja}$ interpretacji . Załóżmy, że zestaw definicji jest następujący: ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G_ {1} {\ overline {x}} &=_{Df}A_{G_{1}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \\G_{n}{\overline {x}}&= _{Df}A_{G_{n}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

gdzie każdy $formułą$$samą$$która$ dowolne definicje w siebie $,$ aby w definicjach tylko wyświetlane zmienne były wolne w definientia , formułach ZA $}}$ . Język jest rozszerzany o te nowe predykaty, ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {n}, \ ldots$$,$ tworząc ⁺ . Gdy zbiór ${\ displaystyle G {\ overline {$ predykatów, często stosuje się notację $sol$ aby podkreślić, że ${\ displaystyle A}$ może zawierać ${\ displaystyle G}$ .

Hipoteza $funkcją$ od definienda do $_$ . Model $M$ podobny do modelu, z wyjątkiem tego, że interpretuje każde definiendum zgodnie z następującym dwuwarunkowym, którego lewa strona jest odczytywana jako M + $h {$$+$ “ ${\ Displaystyle G_ {i} ({\ overline {t}})}$ jest prawdziwe w ${\ displaystyle M + h}$ .

$\ Displaystyle M + h \ modele G_ {i} ({\ overline {t}}) {\ tekst {iff}} ja({\overline {t}})\w h(G_{i})}$

Zbiór definicji daje regułę rewizji lub operatora rewizji, $}}$$displaystyle$ . Operatory rewizji przestrzegają następującej równoważności dla każdego definiendum , w $displaystyle$${\ mathcal {D}}}$ .

${\ Displaystyle M + \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} (h) \ modele G ({\overline {t}}){\text{iff}}M+h\modele A_{G}({\overline {t}})}$

$definiens$ spełni definiendum $mianowicie$$rewizji$ na wypadek, gdyby spełniała dla , a przed $będą$ znaczy, że krotki, które spełniają $,$ dokładnie tymi, które spełniają z rewizją tej hipotezy.

Klasyczne spójniki są oceniane w zwykły $.$ sposób Tylko ocena określonego predykatu odwołuje się do hipotez.

Sekwencje

Sekwencje rewizji to sekwencje hipotez spełniających dodatkowe warunki. Skupimy się tutaj na sekwencjach, które są $pozaskończone$ sekwencje poprawek wymagają dodatkowej specyfikacji tego, co robić na etapach granicznych.

Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ będzie sekwencją hipotez i niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {\ alfa}}$ będzie S ${\ Displaystyle \ alpha$ -th hipoteza w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ . Długa sekwencja hipotez $jest$ sekwencją rewizji na wszelki wypadek dla wszystkich $displaystyle \$$\$ }

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n + 1} = \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ({\ mathcal {S}} _ {n}).}$

Rekurencyjnie zdefiniuj iterację jako

• ${\ Displaystyle \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {0} (h) = h}$ i
• ${\ Displaystyle \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {n + 1} (h) = \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {n} (\ delta _ { M, {\mathcal {D}}} (h)).}$

Długa sekwencja wersji zaczynająca się od ${\ displaystyle h} może$$.$ zapisana w następujący sposób

${\ Displaystyle h, \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} (h), \ delta _ {M, { \mathcal {D}}}^{2}(h),\ldots }$

Jedno poczucie ważności, $ważność$ można zdefiniować w następujący sposób. Zdanie jest ważne w $\$$displaystyle S_ {0}}$ w ${\ displaystyle M}$ na ${D}}$$displaystyle$ , jeśli istnieje , że dla wszystkich ${\ Displaystyle h}$ i dla wszystkich ${\ Displaystyle m \ geq n}$ , ${\ Displaystyle M + \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {m} (h) \ modele A}$ . Zdanie $jest$ ważne na $,$ gdyby było ważne $.$

Ważność w $w$ przekształcić pod względem stabilności $sekwencjach$ . Zdanie $,$${\ Displaystyle M + {{\ mathcal {S}} _ {\ beta}} \ modele A}$ poprawek na wypadek, gdyby istniało $że$$,$ dla wszystkich . Zdanie ${\ Displaystyle A}$ jest stabilnie fałszywe w sekwencji wersji na wypadek, gdyby istniało takie, że dla wszystkich $Displaystyle$$\ beta \ geq \ alpha$ , ${\ Displaystyle M + {{\ mathcal {S}} _ {\ beta}} \ nie \ modele A}$ . W tych kategoriach zdanie jest ważne w M $displaystyle$$.$$M}$ na $jest$ stabilnie prawdziwe we wszystkich $.$ sekwencjach wersji na ${\ displaystyle M$ }

Przykłady

${\ Displaystyle Gx = _ {Df} (x = a \ \&\ \ sim Gx) \ lor (x = b \ \&\ Gb).} Niech dziedzina$ pierwszym będzie $∼$ modelu naziemnego będzie { \ Displaystyle $}$ a, b} i niech ${\ Displaystyle I (a) = a}$ i ja $\ Displaystyle I (b) = b}$ . Istnieją więc cztery możliwe hipotezy dla ${\ displaystyle M}$ : ${\ displaystyle \ emptyset}$ , {a} , {b} , {a, b} . Kilka pierwszych kroków sekwencji rewizji wychodzących od tych hipotez ilustruje poniższa tabela.

Przykładowa wersja dla ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1}}$

etap 0	scena 1	etap 2	etap 3
${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	{A}	${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	{A}
{A}	${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	{A}	${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$
{B}	{a, b}	{B}	{a, b}
{a, b}	{B}	{a, b}	{B}

Jak widać w tabeli, $\$ i wychodzi z rozszerzenia $displaystyle G}$ . Nigdy się nie stabilizuje. Z drugiej strony $środku$ , albo nie. Jest stabilna, ale to, czy jest stabilnie prawdziwa, czy stabilnie fałszywa, zależy od początkowej hipotezy.

Następnie ${\ Displaystyle Hx = _ {Df} Hx \ lor \ sim Hx.}$ będzie $_$ Jak pokazano w poniższej tabeli, wszystkie hipotezy dla modelu naziemnego z poprzedniego przykładu są korygowane do zbioru {a, b} .

Przykładowa wersja dla ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {2}}$

etap 0	scena 1	etap 2	etap 3
${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{A}	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{B}	{a, b}	{a, b}	{a, b}
{a, b}	{a, b}	{a, b}	{a, b}

Aby uzyskać nieco bardziej złożony wzór wersji, niech zawiera $<}$$displaystyle$ i wszystkie cyfry, i niech model podłoża będzie ${N}} , którego dziedziną$$}} {\ Displaystyle$$¯$ liczby naturalne , z interpretacją $taką$ , że ${\ Displaystyle I ({\ overline {k}}) = k}$ dla wszystkich cyfr i ${\ Displaystyle I (<)}$ to zwykłe uporządkowanie liczb naturalnych. Niech będzie $re$${\ Displaystyle Jx = _ {Df} \ forall y (y <x \ supset Jy).}$ Niech początkowa hipoteza będzie ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ pusty zbiór}$ . W tym przypadku sekwencja rozszerzeń buduje się krok po kroku.

${\ Displaystyle \ varnothing, \ \ {0 \}, \ \ {0,1 \}, \ \ {0,1,2, \},\ \ldots }$

Chociaż dla każdego jest ważny w $J$$\$$\ mathbb {N}}$$}$ x { nie jest ważny w ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ .

Załóżmy, że początkowa hipoteza zawiera 0, 2 i wszystkie liczby nieparzyste. Po jednej $wynosić$ rozszerzenie będzie {0, 1, 2, 3, 4} . Kolejne wersje spowodują utworzenie rozszerzenia, tak jak w poprzednim przykładzie. $Mówiąc$ bardziej ogólnie, jeśli rozszerzenie nie $obejmuje$ , to jedna poprawka zmniejszy rozszerzenie do możliwie pustego początkowego segmentu $\ displaystyle J}$ liczby naturalne i kolejne poprawki zbudują go z powrotem.

System dowodowy

Istnieje system dowodu dedukcji naturalnej $w$ Fitcha , dla definicji kołowych. System używa formuł indeksowanych $,$$gdzie$ być dowolną liczbą Można myśleć o indeksach jako reprezentujących względną pozycję w sekwencji rewizji. Wszystkie przesłanki i wnioski reguł dla spójników klasycznych mają ten sam indeks. Oto na przykład zasady wprowadzania koniunkcji i negacji.

  | ${\ Displaystyle B ^ {i}}$ | $^ {i}}$ | ${\ Displaystyle (B \ & C) ^ {i}}$${\ Displaystyle \&}$ W 

  | |__  ${\ Displaystyle B ^ {i}}$ | |  ${\ displaystyle \ vdots}$ | |  ${\ Displaystyle \ bot ^ {i}}$ | ${\ Displaystyle \ sim B ^ {i}}$${\ Displaystyle \ sim}$ W 

Dla każdej definicji ${\ Displaystyle G {\ overline {x}} = _ {Df} A_ {G} ({\ overline {x}})}$ , w ${ \displaystyle D}$ , istnieje para zasad.

 | ${\ Displaystyle A_ {G} ({\ overline {t}}) ^ {i}}$ | ${\ Displaystyle G ({\ overline {t}}) ^ {i + 1}}$ DfIn 

 | ${\ Displaystyle G ({\ overline {t}}) ^ {i + 1}}$ | ${\ Displaystyle A_ {G} ({\ overline {t}}) ^ {i}}$ DfElim 

${\ displaystyle A_ {$ zakłada się, że $są$ dla i są za darmo w $}$ .

Wreszcie, dla formuł z ${$$\ displaystyle {L}}$ istnieje jeszcze jedna reguła, reguła przesunięcia indeksu

 | ${\ Displaystyle B ^ {i}}$ | ${\ Displaystyle B ^ {j}}$ JEST 

$i$ tej regule mogą być dowolnymi odrębnymi $.$ Zasada ta odzwierciedla fakt, że formuły z języka podstawowego nie zmieniają swojej interpretacji w całym procesie rewizji.

System jest $że$ i kompletny pod względem ważności, co oznacza , ​​zdanie jest ważne w $displaystyle$$S_ {0}}$ na wypadek, gdyby można go było wyprowadzić w do $\ displaystyle C_ {0}}$ .

Niedawno Riccardo Bruni opracował system aksjomatów w stylu Hilberta i system sekwencyjny , które są zarówno solidne, jak i kompletne w odniesieniu do ${\ displaystyle S_ {0}}$ .

Wersja pozaskończona

$ważność$ definicji nie jest wystarczająco silna. $displaystyle$ przykład w definicji , mimo że każda liczba jest ostatecznie stabilna w przedłużeniu $,$ uniwersalnie określone ilościowo $} \displaystyle \forall xJx}$ jest niepoprawne. Powodem jest to, że aby dowolne zdanie było ważne, musi ustabilizować się na prawdziwe po skończonej liczbie poprawek. Z drugiej strony ${\ displaystyle \ forall xJx}$ wymaga nieskończenie wielu poprawek, chyba że początkowa hipoteza już przypisuje wszystkie liczby naturalne $rozszerzenie$ .

Naturalne wzmocnienia $.$ i alternatywy dla niej wykorzystują nieskończenie długie sekwencje poprawek $porządkowych$ będzie klasą wszystkich liczb $są$ na sekwencjach hipotez, które .

Załóżmy $,$ jest $.$ hipotez Krotka $jest$ stabilnie w rozszerzeniu zdefiniowanego predykatu $Displaystyle$ granicy porządkowej $beta}$ w sekwencji $\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ na wszelki wypadek jest taki, że dla wszystkich ${\ Displaystyle \ alpha \ leq \ beta}$${\ Displaystyle \ gamma}$ z ${\ Displaystyle \ alfa \ równoważnik \ gamma <\ beta}$ , ${\ Displaystyle {\ overline {d}} \ w {\ mathcal {S} }_{\gamma}}$ . Podobnie, krotka $jest$ stabilnie poza rozszerzeniem na granicy porządkowej ${$$beta}$ na wypadek, gdyby istniał etap ${\ Displaystyle {\ overline {d }}\not \in {\mathcal {S}}_{\gamma}}$$\ Displaystyle \ alfa}$ takie, że dla wszystkich z ${$$\ Displaystyle \ alfa \ leq \ gamma <\ beta}$ , . W przeciwnym razie $Displaystyle$ niestabilny w $\ beta}$ w $S}}}$ . Nieformalnie krotka jest stabilnie w rozszerzeniu na granicy, na wypadek, gdyby istniał etap, po którym krotka jest w rozszerzeniu aż do limitu, a krotka jest stabilnie wyłączona na wypadek, gdyby istniał etap, po którym pozostaje poza zasięgiem do etapu granicznego.

Hipoteza jest zgodna z graniczną liczbą porządkową $\ Displaystyle$$dla$$\ overline {d}}}$ krotek $re$ , jeśli jest stabilnie w [stabilnie poza $]$ rozszerzeniem w sol $\ Displaystyle$$\ beta}$ S $}}}$$\ Displaystyle {\ mathcal {S$ potem ${\ Displaystyle {\ overline {d}} \ w [\ nie \ w] h (G)}$ .

O $displaystyle On}$ \ -długa sekwencja hipotez jest sekwencją rewizji iff dla wszystkich, $O$$}$

• jeśli ${\ Displaystyle \ alfa = \ beta + 1}$ , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {\ alfa} = \ delta _ { M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{\beta})}$ i
• jeśli ${\ Displaystyle \ alfa}$ jest granicą, to jest spójna z ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ w ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _$${\ alfa$ .

Podobnie jak w przypadku $sekwencji$ kolejne etapy sekwencji są generowane przez operatora rewizji. Jednak na etapach granicznych jedynym ograniczeniem jest zgodność hipotezy granicznej z tym, co było wcześniej. Elementy niestabilne są ustawiane zgodnie z regułą graniczną, której szczegóły pozostają otwarte przez zbiór definicji.

Reguły limitów można podzielić na dwie klasy, stałe i niestałe, w zależności od tego, czy robią różne rzeczy na różnych etapach limitów. Reguła stałego limitu robi to samo z niestabilnymi elementami przy każdym limicie. Jedna szczególna reguła stałego limitu, reguła Herzbergera, wyklucza wszystkie niestabilne elementy z rozszerzeń. Zgodnie z inną stałą zasadą, regułą Gupty, niestabilne elementy są zawarte w rozszerzeniach na wypadek, gdyby były w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ . Niestałe reguły graniczne zmieniają traktowanie niestabilnych elementów w granicach.

Dwa sensy ważności można zdefiniować za $sekwencji$ . Pierwsza, $, jest$ w kategoriach stabilności. Zdanie ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ważne w $Displaystyle S ^ {*}}$$\$ w ${\ Displaystyle M}$ na iff dla wszystkich ${\ displaystyle On}$ -długie sekwencje poprawek ${\ displaystyle {S}}$$prawdziwy$ istnieje $taki$$,$ że stabilnie po $.$ _ Zdanie jest ważne na ${\ displaystyle$${$${\ displaystyle A}$$mathcal {D}}}$$\ Displaystyle A$ wszelki wypadek dla wszystkich klasycznych modeli naziemnych } jest ${\ Displaystyle S ^ {*}}$ ważne w ${\ Displaystyle M}$ na ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ .

Drugi sens ważności, $ważność$ , wykorzystuje raczej stabilność stabilność Zdanie $\ beta \ geq \ alpha }$ prawie stabilnie prawdziwe w sekwencji, $jeśli$ istnieje takie, że $dla$$displaystyle$$\$ , istnieje taka liczba naturalna $że$ ​​dla wszystkich ${\ Displaystyle m \ geq n}$ , ${\ Displaystyle M + \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {m} ({\ mathcal {S}} _ {\ beta}) \ modele A.} Zdanie ZA {\ Displaystyle$ { $} }$$\ alpha}$ prawie stabilnie fałszywe w sekwencji, ${$ \ Displaystyle $geq$${\ Displaystyle M + \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {m} ({\ mathcal {S}} _ {\ beta}) \ nie \ modele A.} Prawie stabilne zdanie może mieć$ istnieje liczba $taka$ , $wszystkich$ , skończenie długie okresy niestabilności po limitach, po których stabilizuje się aż do następnego limitu.

Zdanie jest ważne w $Displaystyle S ^ {\ #}}$$\$ w $\ Displaystyle M}$ na iff dla wszystkich ${\ Displaystyle On}$ -długie sekwencje poprawek ${\ Displaystyle {} S}}$$alpha$ istnieje etap taki, że jest prawie stabilnie prawdziwy po etapie $}$$.$$\ Displaystyle$ . Zdanie $jest$ ważne w $na$$^ {\ #}$ na wszelki wypadek wszystkich modelach naziemnych.

Jeśli zdanie jest ważne w $to$ ważne w $.$ ale nie Przykład użycia $to pod kątem$ w modelu. Zdanie ${\ displaystyle \ forall xJx}$ nie jest ważne w in $,$${\ displaystyle S_ {0}}$ jest ważne w ${\ Displaystyle S ^ {\ #}}$ .

Atrakcją trafności jest to, że generuje prostszą logikę niż $∗$$}$ . System dowodowy jest dobry dla $\$$displaystyle S ^ {\ #}}$ , ale generalnie nie jest kompletny $^ {\ #}}$ świetle kompletności , jeśli zdanie jest ważne w , to jest ważne w $displaystyle$$\$ , ale odwrotność nie zachodzi w ogólności. Trafność w ${0}}$$\ displaystyle$ i w są na ogół nieporównywalne W konsekwencji $S ^ {*}}$$∗$ { .

Definicje skończone

Chociaż ważność przewyższa ważność $,$ ogólnie rzecz biorąc, istnieje szczególny przypadek, w którym te dwie $,$ definicje . Mówiąc luźno, definicja jest skończona, jeśli wszystkie sekwencje rewizji przestają generować nowe hipotezy po skończonej liczbie rewizji. Mówiąc dokładniej, definiujemy hipotezę $taka$$wypadek,$ na gdyby , że ${\ Displaystyle h = \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} ^ {n} (h)}$ . Definicja jest skończona, jeśli dla wszystkich modeli $,$$wszystkich$${\ displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)}$ istnieje $liczba$ naturalna , że jest zwrotne. Gupta wykazał, że jeśli ${ \ Displaystyle$$jest$$D}}}$ skończony, wtedy ważność i ważność pokrywają się.

Nie jest znana składniowa charakterystyka zbioru skończonych definicji, a skończone definicje nie są zamknięte w ramach standardowych operacji logicznych, takich jak koniunkcja i dysjunkcja. Maricarmen Martinez zidentyfikował pewne cechy składniowe, w ramach których zbiór skończonych definicji jest zamknięty. Pokazała, że ​​jeśli oprócz tożsamości zawiera tylko predykaty jednoargumentowe, nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych, a $wszystkie$ definienda są jednoargumentowe, to $}}$$} \displaystyle {\mathcal {D}}}$ jest skończony.

Podczas gdy wiele standardowych operacji logicznych nie zachowuje skończoności, jest ona zachowywana przez operację samodzielnego składania . Dla definicji ${\ Displaystyle G {\ overline {x}} = _ {Df} A ({\ overline {x}}, G)} ,$ zdefiniuj własny skład rekurencyjnie w następujący sposób.

• ${\ Displaystyle A ^ {0} ({\ overline {x}}, G) = G {\ overline {x}}}$ i
• ${\ Displaystyle A ^ {n + 1} ({\ overline {x}} ,G)=A^{n}({\overline {x}},G)[A({\overline {t}},G)/G{\overline {t}}]}$ .

$sol$ ostatni mówi, że $}$ się przez zastąpienie wszystkich wystąpień ${\ displaystyle A ^ { n}}$ w , z ${\ Displaystyle A ({\ overline {t}}, G)}$ . Jeśli $jest$ skończoną definicją i $^ {n}}$ jest wynikiem zastąpienia każdego definiensa przez ${ \ displaystyle$$,$$^ {n}}$ a następnie re ${\ displaystyle {\ mathcal {$ jest również definicją skończoną.

Godne uwagi cechy formalne

Teoria rewizji odróżnia równoważność materialną od równoważności definicyjnej. Zestawy definicji używają tego ostatniego. Ogólnie rzecz biorąc, równoważność definicyjna nie jest tym samym, co równoważność materialna. Podana definicja

${\ Displaystyle Gx = _ {Df} A (x, G)}$

jego materialny odpowiednik,

${\ Displaystyle \ forall x (Gx \ równoważnik A (x, G))}$

generalnie nie będą obowiązywać. Definicja

${\ Displaystyle Gx = _ {Df} \ sim Gx}$

ilustruje nieważność. Jego definiens i definiendum nie będą miały tej samej wartości logicznej po żadnej rewizji, więc materialny dwuwarunkowy nie będzie ważny. W przypadku niektórych definicji ważne są materialne odpowiedniki klauzul definiujących. Na przykład, jeśli definicje zawierają tylko symbole z języka podstawowego, to odpowiednie będą odpowiedniki materialne.

Definicje podane powyżej dotyczą schematu klasycznego. Definicje można dostosować do pracy z dowolnym schematem semantycznym. Obejmuje to schematy trójwartościowe, takie jak Strong Kleene , z negacją wykluczającą , których tabela prawdy jest następująca.

Negacja wykluczenia

${\ Displaystyle \ lnot}$
${\ Displaystyle {\ textbf {t}}}$	${\ Displaystyle {\ textbf {f}}}$
${\ Displaystyle {\ textbf {n}}}$	${\ Displaystyle {\ textbf {f}}}$
${\ Displaystyle {\ textbf {f}}}$	${\ Displaystyle {\ textbf {t}}}$

Warto zauważyć, że wiele podejść do prawdy, takich jak teoria Strong Kleene Saula Kripkego , nie może być używanych z negacją wykluczającą w języku.

Teoria rewizji, choć pod pewnymi względami podobna do teorii definicji indukcyjnych, różni się na kilka sposobów. Co najważniejsze, rewizja nie musi być monotoniczna, co oznacza, że ​​rozszerzenia na późniejszych etapach nie muszą być nadzbiorami rozszerzeń na wcześniejszych etapach, jak ilustruje pierwszy przykład powyżej. W związku z tym teoria rewizji nie postuluje żadnych ograniczeń co do formy składniowej definicji. Definicje indukcyjne wymagają, aby ich definientia była dodatnia w tym sensie, że definienda może występować tylko w definientia przy parzystej liczbie negacji. (Zakłada to, że negacja, koniunkcja, dysjunkcja i kwantyfikator uniwersalny są prymitywnymi spójnikami logicznymi, a pozostałe spójniki klasyczne są po prostu zdefiniowanymi symbolami.) Definicja

${\ Displaystyle Gx = _ {Df} (x {\ tekst {jest parzyste}} \&\ Gx) \ vee ( x{\text{ jest nieparzysta }}\&\ \sim Gx)}$

jest akceptowalny w teorii rewizji, chociaż nie w teorii definicji indukcyjnych.

Definicje indukcyjne są interpretowane semantycznie za pomocą stałych punktów, hipotez, ${\ Displaystyle h = \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} (h)$ których $h$ . Na ogół sekwencje rewizji nie dotrą do stałych punktów. Jeśli wszystkie definientia są dodatnie, to sekwencje poprawek osiągną stałe punkty, o ile początkowa hipoteza ma tę cechę $że$${\ Displaystyle h (G) \ subseteq \ delta _ {M, {\ mathcal {D}}} (h) (G)}$ dla każdego ${\ Displaystyle G}$ . W szczególności, biorąc pod uwagę takie $hipoteza$ przypisuje puste rozszerzenie wszystkim definienda , to sekwencja rewizji osiągnie minimalny stały punkt.

Zestawy poprawnych zdań w niektórych definicjach mogą być bardzo złożone, w szczególności ${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}}$ . Pokazali to Philip Kremer i Aldo Antonelli. $W$ konsekwencji nie ma systemu dowodowego .

Prawda

Najbardziej znanym zastosowaniem teorii rewizji jest teoria prawdy, rozwinięta na przykład przez Guptę i Belnapa (1993). Okrągła definicja prawdy $jest$ zbiorem wszystkich dwuwarunków Tarskiego, jest prawdziwa , $gdzie „$ ” jest rozumiane jako równoważność definicyjna, $\ displaystyle =_ {Df}}$ , a nie ekwiwalent materialny. Każdy dwuwarunkowy Tarskiego zawiera częściową definicję pojęcia prawdy. Pojęcie prawdy jest okrężne, ponieważ niektóre dwuwarunkowe Tarskiego używają w swoich definiensach niemożliwych do wyeliminowania przypadków „jest prawdziwe” . Załóżmy na przykład, że to nazwa zdania mówiącego prawdę, $b}$$displaystyle$ jest prawdziwe. To zdanie ma jako dwuwarunkowy Tarskiego: jest prawdziwe, jeśli $b}$$displaystyle$ jest prawdziwy. Orzeczenie prawdy po prawej stronie nie może zostać wyeliminowane. Ten przykład zależy od tego, czy w języku jest osoba mówiąca prawdę. Ten i inne przykłady pokazują, że prawda, zdefiniowana przez dwuwarunki Tarskiego, jest pojęciem okrężnym.

Niektóre języki, takie jak język arytmetyki, będą miały błędne odniesienia do samych siebie. Kłamca i inne patologiczne zdania mają gwarancję, że są w języku prawdy. Można zdefiniować inne języki z prawdą, którym brakuje błędnego odniesienia do siebie. W takim języku każda sekwencja poprawek dla prawdy musi osiągnąć etap, w którym $= {S} _ {\ alfa +1}}$${$ , więc predykat prawdy zachowuje się jak predykat nieokrągły. W rezultacie w takich językach prawda ma stabilne rozszerzenie, które jest zdefiniowane we wszystkich zdaniach języka. Kontrastuje to z wieloma innymi teoriami prawdy, na przykład minimalnymi teoriami Strong Kleene i minimalnymi superwaluacyjnymi . Rozszerzenie i antyrozszerzenie predykatu prawdy w tych teoriach nie wyczerpuje zbioru zdań języka.

Różnica między $a$$\ displaystyle S ^ {\ #}}$ jest ważna przy rewizyjnych teorii prawdy. Część różnicy pojawia się w prawach semantycznych, które są następującymi równoważnościami, gdzie T jest predykatem prawdy.

• ${\ Displaystyle \ forall A (T (\ ulcorner \ sim A \ urcorner) \ równoważnik \ sim T (\ ulcorner A \ urcorner)}}$
• ${\ Displaystyle \ forall A, B (T (\ ulcorner {A \ & B} \ urcorner) \ równoważne T(\ulcorner {A}\urcorner )\&T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\ Displaystyle \ forall A, B (T (\ ulcorner {A \ lor B} \ urcorner) \equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\lor T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\ Displaystyle \ forall A (T (\ ulcorner \ forall xA \ urcorner) \ równoważnik \ forall tT (\ ulcorner A[x/t]\urcorner ))}$

Wszystkie są ważne w $nazwany$ chociaż ostatnie jest ważne tylko wtedy, gdy domena jest policzalna, a każdy element jest Jednak w ${\ displaystyle S ^ {*}} żaden nie jest ważny.$ Można zobaczyć, dlaczego prawo negacji zawodzi, biorąc pod uwagę kłamcę, ${\ Displaystyle a = \ ulcorner {\ sim Ta} \ urcorner}$ . Kłamca i wszystkie skończone iteracje predykatu prawdy są niestabilne, więc można ustawić ${\ Displaystyle T \ ulcorner {Ta} \ urcorner}$ i ${\ Displaystyle T \ ulcorner {\ sim Ta} \ urcorner}$ mieć tę samą wartość logiczną w pewnych granicach, co skutkuje ${\ Displaystyle \ sim T \ ulcorner {Ta} \ urcorner}$ i ${\ Displaystyle T \ ulcorner {\ sim Ta} \ urcorner}$ o różnych wartościach logicznych. Zostało to poprawione po rewizji, ale prawo negacji nie będzie stabilnie prawdziwe. $w$ to konsekwencją twierdzenia Vanna McGee, że rewizyjna $prawdy$ jest niespójna Teoria nie $_$$_$ _

Istnieje aksjomatyczna teoria prawdy, która jest powiązana z $teorią$ języku arytmetyki z prawdą Teorię Friedmana-Shearda (FS) otrzymuje się dodając do zwykłych aksjomatów arytmetyki Peano

• aksjomat $\ równoważnik s = t)}$ )
• prawa semantyczne,
• aksjomaty indukcyjne z predykatem prawdy i
• dwie zasady
  • jeśli ${\ Displaystyle \ vdash A}$ , to ${\ Displaystyle \ vdash T (\ ulcorner A \ urcorner)$ }
  • jeśli ${\ Displaystyle \ vdash T (\ ulcorner A \ urcorner)}$ , to ${\ Displaystyle \ vdash A}$ .

Zgodnie z twierdzeniem McGee teoria $niespójna$ jest . FFS nie ma jednak jako twierdzeń fałszywych zdań czysto arytmetycznych. FS ma jako twierdzenie globalne odbicie dla arytmetyki Peano,

${\ Displaystyle \ forall x ((\ operatorname {Wysłane} (x) \ \&\ \ operatorname {Bew } _{PA}(x))\supset Tx),}$

gdzie $S$ predykatem dającym się udowodnić dla arytmetyki Peano, a $operatorname {Wysłane}}$ jest orzeczeniem prawdziwym dla wszystkich język z prawdą. W konsekwencji twierdzeniem FS jest, że arytmetyka Peano jest niesprzeczna.

FS jest podteorią teorii prawdy dla arytmetyki, zbiorem zdań ważnych w ${\ displaystyle S ^ {\ #}}$ . Standardowym sposobem pokazania, że ​​FS jest spójny, jest użycie $-długiej$ poprawek. Poczyniono pewne prace nad aksjomatyzacją $teorii$ arytmetyki.

Inne aplikacje

Teoria rewizji została wykorzystana do badania pojęć okrężnych niezależnie od prawdy i do dostarczenia alternatywnych analiz pojęć, takich jak racjonalność.

Nieuzasadniona teoria mnogości to teoria mnogości , która postuluje istnienie zbioru nieuzasadnionego, który jest zbiorem, który ma nieskończony malejący łańcuch wzdłuż relacji przynależności, ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ cdots x_ {n + 1} \ w x_ {n} \ w \ cdots \ w x_ {1} \ w x.}$

Antonelli wykorzystał teorię rewizji do skonstruowania modeli nieuzasadnionej teorii mnogości. $z$ teoria mnogości, która postuluje zbiór, którego jedynym elementem jest on

Maszyny Turinga działające w nieskończonym czasie to modele obliczeń, które umożliwiają wykonywanie obliczeń przez nieskończenie wiele kroków. Uogólniają standardowe maszyny Turinga stosowane w teorii obliczalności. Benedikt Löwe wykazał, że istnieją ścisłe powiązania między obliczeniami nieskończonych maszyn Turinga a procesami rewizji.

Racjonalny wybór w teorii gier został przeanalizowany jako koncepcja okrężna. André Chapuis argumentował, że rozumowanie agentów używane w racjonalnym wyborze wykazuje współzależność charakterystyczną dla koncepcji cyrkularnych.

Teorię rewizji można dostosować do modelowania innych rodzajów zjawisk. Na przykład niejasność została przeanalizowana w kategoriach teorii rewizji przez Conrada Asmusa. Aby modelować niejasny predykat na podstawie tego podejścia, określa się pary podobnych obiektów i które obiekty są przypadkami niegranicznymi, a zatem nie można ich zmienić. Obiekty graniczne zmieniają swój status w odniesieniu do predykatu w zależności od statusu obiektów, do których są podobne.

Teoria rewizji została wykorzystana przez Guptę do wyjaśnienia logicznego wkładu doświadczenia w czyjeś przekonania. Zgodnie z tym poglądem, wkład doświadczenia jest reprezentowany przez regułę rewizji, która bierze jako wkład w pogląd agenta lub koncepcje i przekonania, i daje jako wynik sądy percepcyjne. Oceny te można wykorzystać do aktualizacji opinii agenta.

Zobacz też

• Anil Gupta
• Okrągła definicja
• Definicja
• Paradoks
• Logika filozoficzna
• Prawda

• Antonelli, A. (1994a). Złożoność rewizji. Notre Dame Journal of Formal Logic , 35 (1): 67–72.
• Antonelli, A. (1994b). Zestawy nieuzasadnione za pomocą reguł rewizji. Journal of Philosophical Logic , 23 (6): 633–679.
• Asmus, CM (2013). Niejasności i sekwencje rewizji. Synthese , 190(6):953-974.
• Belnap, N. (1982). Reguła rewizji teorii prawdy Gupty. Journal of Philosophical Logic , 11 (1): 103–116.
• Bruni, R. (2013). Rachunki analityczne dla pojęć kołowych według skończonej rewizji. Studia Logica , 101 (5): 915–932.
• Chapuis, A. (2003). Zastosowanie okrągłych definicji: racjonalna decyzja. W Löwe, B., Rasch, T. i Malzkorn, W., redaktorzy, Foundations of the Formal Sciences II , strony 47–54. Kluwer.
• Gupta, A. (1982). Prawda i paradoks. Journal of Philosophical Logic , 11 (1). Poprawiona wersja, z krótkim dopiskiem, została przedrukowana w Martin (1984).
• Gupta, A. (2006a). Empiryzm i doświadczenie . Oxford University Press.
• Gupta, A. (2006b). Definicje kołowe skończone. W Bolander, T., Hendricks, VF i Andersen, SA, redaktorzy, Self-Reference , strony 79–93. Publikacje CSLI.
• Gupta, A. (2011). Prawda, znaczenie, doświadczenie . Oxford University Press.
• Gupta, A. i Belnap, N. (1993). Rewizyjna teoria prawdy . MIT Press.
• Halbach, V. (2011). Aksjomatyczne teorie prawdy . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Herzberger, HG (1982). Uwagi na temat semantyki naiwnej. Journal of Philosophical Logic , 11 (1): 61–102. Przedrukowany w Martinie (1984).
• Horsten, L., Leigh, GE, Leitgeb, H. i Welch, P. (2012). Ponowna rewizja. Przegląd logiki symbolicznej , 5 (4): 642–665.
• Kremer, P. (1993). Systemy $są$$nie$ i aksjomatyzowane Notre Dame Journal of Formal Logic , 34 (4): 583–596.
• Löwe, B. (2001). Sekwencje poprawek i komputery z nieskończoną ilością czasu. Journal of Logic and Computation , 11 (1): 25–40. doi : 10.1093/logcom/11.1.25 .
• Martin, RL, redaktor (1984). Najnowsze eseje na temat prawdy i paradoksu kłamcy . Oxford University Press.
• Martinez, M. (2001). Niektóre właściwości domknięcia definicji skończonych. Studia Logica , 68(1):43–68.
• McGee, V. (1985). Jak prawdziwy może być predykat? Wynik negatywny. Journal of Philosophical Logic , 14 (4): 399–410.
• Shapiro, L. (2006). Uzasadnienie semantyki reguł rewizyjnych. Studia filozoficzne , 129 (3): 477–515.
• Standefer, S. (2015). Twierdzenia typu Solovaya dla definicji kołowych. Przegląd logiki symbolicznej , strony 1–21. nadchodzący
• Jakub, AM (1993). Kłamca mówi prawdę: obrona teorii rewizji prawdy . Oxford University Press.

Linki zewnętrzne

• Kremer, P. (2014) Rewizyjna teoria prawdy. W Zalta, EN, redaktor The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Edycja letnia 2014.