Test Cochrana-Armitage'a dla trendu

Test Cochrana-Armitage'a dla trendu , nazwany na cześć Williama Cochrana i Petera Armitage'a , jest używany w analizie danych kategorialnych , gdy celem jest ocena obecności związku między zmienną z dwiema kategoriami a zmienną porządkową z k kategoriami. Modyfikuje test chi-kwadrat Pearsona , aby uwzględnić podejrzewane uporządkowanie w efektach k kategorii drugiej zmiennej. Na przykład dawki leku można zamówić jako „niskie”, „średnie” i „wysokie” i możemy podejrzewać, że korzyść z leczenia nie może maleć wraz ze wzrostem dawki. Test trendu jest często używany jako genotypie w genetycznych badaniach asocjacyjnych z kontrolą przypadku .

Wstęp

Test trendu stosuje się, gdy dane przybierają postać tabeli kontyngencji 2 × k . Na przykład, jeśli k = 3 mamy

	B = 1	B = 2	B = 3
= 1	N 11	N 12	N 13
= 2	N 21	N 22	N 23

Tabelę tę można uzupełnić krańcowymi sumami dwóch zmiennych

	B = 1	B = 2	B = 3	Suma
= 1	N 11	N 12	N 13	R 1
= 2	N 21	N 22	N 23	R2 _
Suma	C 1	C 2	C 3	N

gdzie R ₁ = N ₁₁ + N ₁₂ + N ₁₃ i C ₁ = N ₁₁ + N ₂₁ itd.

Statystyka testu trendu to

${\ Displaystyle T \ równoważnik \ suma _ {i = 1} ^ {k} t_ {i} (N_ {1i} R_{2}-N_{2i}R_{1}),}$

gdzie t _i to wagi, a różnicę N _{1 i} R ₂ − N _{2 i} R ₁ można postrzegać jako różnicę między N _{1 i} a N _{2 i} po ponownym zważeniu wierszy w celu uzyskania tej samej sumy.

Hipotezę braku związku ( hipotezę zerową ) można wyrazić jako:

${\ Displaystyle \ Pr (A = 1 | B = 1) = \ cdots = \ Pr (A = 1 | B = k).}$

Zakładając, że tak jest, to stosując iterowane oczekiwanie ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} (T) = \ nazwa operatora {E} \ lewo (\ nazwa_operatora {E} (T|R_{1},R_{2})\right)=\nazwa_operatora {E} (0)=0.}$

Wariancję można obliczyć przez dekompozycję , uzyskując

$\ Displaystyle {\ rm {Var}} (T) = {\ Frac {R_ {1} R_ {2}} {N}} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {k }t_{i}^{2}C_{i}(N-C_{i})-2\suma _{i=1}^{k-1}\suma _{j=i+1}^{k }t_{i}t_{j}C_{i}C_{j}\right),}$

i jako przybliżenie dużej próbki,

${\ Displaystyle {\ Frac {T} {\ sqrt {\ operatorname {Var} (T)}}} \ sim \ operatorname {N} (0,1).}$

Wagi t _i można wybrać w taki sposób, aby test trendu był lokalnie najpotężniejszy do wykrywania określonych typów powiązań. Na przykład, jeśli k = 3 i podejrzewamy, że B = 1 i B = 2 mają podobne częstości (w każdym rzędzie), ale B = 3 ma inną częstość, to wagi t = (1,1,0) powinny być użytym. Jeśli podejrzewamy liniowy trend częstotliwości, wówczas należy zastosować wagi t = (0,1,2). Wagi te są również często używane, gdy podejrzewa się, że częstotliwości zmieniają się monotonicznie wraz z B , nawet jeśli trend niekoniecznie jest liniowy.

Interpretacja i rola

Test trendu będzie miał większą moc niż test chi-kwadrat, gdy podejrzewany trend jest prawidłowy, ale poświęcana jest zdolność wykrywania nieoczekiwanych trendów. Jest to przykład ogólnej techniki kierowania testów hipotez w stronę wąskich alternatyw . Test trendu wykorzystuje podejrzewany kierunek efektu w celu zwiększenia mocy, ale nie ma to wpływu na rozkład próbkowania statystyki testowej przy hipotezie zerowej . Tak więc podejrzewany trend w efektach nie jest założeniem, które musi być spełnione, aby wyniki testu były miarodajne.

Zastosowanie w genetyce

Załóżmy, że istnieją trzy możliwe genotypy w pewnym locus i określamy je jako aa, Aa i AA. Rozkład zliczeń genotypów można umieścić w tabeli kontyngencji 2 × 3. Rozważmy na przykład następujące dane, w których częstości genotypów zmieniają się liniowo w przypadkach i są stałe w kontrolach:

	Genotyp aa	Genotyp Aa	Genotyp AA	Suma
Sterownica	20	20	20	60
Sprawy	10	20	30	60
Suma	30	40	50	120

W zastosowaniach genetycznych wagi dobiera się zgodnie z podejrzewanym trybem dziedziczenia . Na przykład, aby sprawdzić, czy allel a dominuje nad allelem A, wybór t = (1, 1, 0) jest lokalnie optymalny. Aby sprawdzić, czy allel a jest recesywny w stosunku do allelu A, optymalnym wyborem jest t = (0, 1, 1). Aby sprawdzić, czy allele a i A są kodominujące , wybór t = (0, 1, 2) jest lokalnie optymalny. W przypadku złożonych chorób podstawowy model genetyczny jest często nieznany. W badaniach asocjacyjnych całego genomu często stosuje się addytywną (lub kodominującą) wersję testu.

W przykładzie numerycznym wystandaryzowane statystyki testowe dla różnych wektorów wag są następujące

Wagi	Standaryzowana statystyka testowa
1,1,0	1,85
0,1,1	−2.1
0,1,2	−4,67

a test chi-kwadrat Pearsona daje standaryzowaną statystykę testową równą 2. W ten sposób uzyskujemy silniejszy poziom istotności, jeśli stosuje się wagi odpowiadające dziedziczeniu addytywnemu (kodominującemu). Należy zauważyć, że aby poziom istotności dał wartość p przy zwykłej interpretacji probabilistycznej, wagi muszą być określone przed zbadaniem danych i można użyć tylko jednego zestawu wag.

Zobacz też

• Lista analiz danych kategorycznych

•   Agresti, Alan (2002). Analiza danych kategorycznych (wyd. Drugie). Wileya. ISBN 0-471-36093-7 .
•    Sasieni, P (1997). „Od genotypów do genów: podwojenie wielkości próby”. Biometria . Międzynarodowe Towarzystwo Biometryczne. 53 (4): 1253–61. doi : 10.2307/2533494 . JSTOR 2533494 . PMID 9423247 .
• statgen.org (2007). „Wyprowadzenie testu trendu Armitage'a dla tabeli genotypów 2 × 3” (PDF) . Źródło 6 lutego 2009 . –