Tożsamość Vaughana

W matematyce i analitycznej teorii liczb tożsamość Vaughana jest tożsamością znalezioną przez RC Vaughana ( 1977 ), którą można wykorzystać do uproszczenia pracy Winogradowa nad sumami trygonometrycznymi . Można go wykorzystać do oszacowania funkcji sumujących formularza

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik N} f (n) \ Lambda (n)}$

gdzie f jest pewną funkcją arytmetyczną naturalnych liczb całkowitych n , których wartości w zastosowaniach są często pierwiastkami jedności, a Λ jest funkcją von Mangoldta .

Procedura stosowania metody

Motywacja do skonstruowania przez Vaughana swojej tożsamości jest krótko omówiona na początku rozdziału 24 w Davenport. Na razie pominiemy większość szczegółów technicznych motywujących tożsamość i jej wykorzystanie w aplikacjach, a zamiast tego skupimy się na konfiguracji jej konstrukcji według części. Idąc za odnośnikiem, konstruujemy cztery różne sumy w oparciu o rozwinięcie pochodnej logarytmicznej funkcji zeta Riemanna pod względem funkcji, które są częściowymi szeregami Dirichleta odpowiednio obciętymi na górnych granicach i ${\ displaystyle U$ } ${\ Displaystyle V}$ . Dokładniej, definiujemy ${\ Displaystyle F (s) = \ suma _ {m \ równoważnik U} \ Lambda (m) m ^ {- s}}$ i sol $\ Displaystyle G (s) = \ suma _ {d \ równoważnik V} \ mu (d) d ^ {- s}}$ , co prowadzi nas do dokładnej tożsamości

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ zeta ^ {\ pierwsza} (s)} {\ zeta (s)}} = F (s) - \ zeta (s) F (s) G (s) - \ zeta ^ {\prime}(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime}(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1- \zeta (s)G(s)).}$

To ostatnie rozwinięcie implikuje, że możemy pisać

${\ Displaystyle \ Lambda (n) = a_ {1} (n) + a_ {2} (n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

gdzie zdefiniowane są funkcje składowe

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {1} (n) &: = {\ Biggl \ {} {\ rozpocząć {macierz} \ Lambda (n) & {\ tekst {jeśli}} n \ równoważnik U; \\0,&{\text{ if }}n>U\end{macierz}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m \leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V }}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}} }\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

Następnie definiujemy odpowiednie funkcje podsumowujące, aby były ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 4}$

${\ Displaystyle S_ {i} (N): = \ suma _ {n \ równoważnik N} f (n) a_ {i} (N),}$

abyśmy mogli pisać

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik N} f (n) \ Lambda (n) = S_ {1} (N) + S_ {2} (N) + S_ {3} (N) + S_ {4} (N).}$

Wreszcie, na zakończenie wielostronicowego wywodu technicznego, a czasem delikatnego oszacowania tych sum, otrzymujemy następującą postać tożsamości Vaughana , gdy założymy, że ${\ Displaystyle | f (n) | \ równoważnik 1, \ \ forall n}$ , ${\ Displaystyle U, V \ geq 2}$ i ${\ Displaystyle UV \ lek N}$ :

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ równoważnik N} f (n) \ Lambda (n) \ ll U + (\ log N) \ razy \ suma _ {t \ równoważnik UV} \ lewo (\ max _ {w} \ lewo|\suma _{w\równik r\równoważnik {\frac {N}{t}}}f(rt)\prawo|\prawo)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3} \times \max _{U\równoważnik M\równoważnik N/V}\max _{V\równoważnik j\równoważnik N/M}\left(\sum _{V<k\równoważnik N/M}\left|\ suma _ {\stackrel {M<m\równoważnik 2M}{\stackrel {m\równoważnik N/k}{m\równoważnik N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right |\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

Należy zauważyć, że w niektórych przypadkach ostrzejsze oszacowania można uzyskać na podstawie tożsamości Vaughana, ostrożniej traktując sumę składową, rozszerzając ją w postaci ${\ displaystyle S_ {2}}$

${\ Displaystyle S_ {2} = \ suma _ {t \ równoważnik UV} \ longmapsto \ suma _ {t \ równoważnik U} + \ suma _ {U <t \ równoważnik UV} =: S_ {2} ^ {\ pierwsza }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

${\ Displaystyle V = f_ {V} (N)}$ zastosowanie tożsamości Vaughana zależy od aplikacji w odniesieniu do najlepszych funkcji i V $}$ możemy wprowadzić do równania (V1). Zobacz aplikacje cytowane w następnej sekcji, aby zapoznać się z konkretnymi przykładami, które pojawiają się w różnych kontekstach odpowiednio rozważanych przez wielu autorów.

Aplikacje

• Tożsamość Vaughana została wykorzystana do uproszczenia dowodu twierdzenia Bombieriego – Winogradowa i do zbadania sum Kummera (patrz odnośniki i linki zewnętrzne poniżej).
• W rozdziale 25 Davenport jednym z zastosowań tożsamości Vaughana jest oszacowanie ważnej sumy wykładniczej Winogradowa związanej z liczbami pierwszymi , zdefiniowanej przez

${\ Displaystyle S (\ alfa): = \ suma _ {n \ równoważnik N} \ Lambda (n) e \ lewo (n \ alfa \ po prawej).}$

$,$ szczególności uzyskujemy asymptotyczną górną granicę dla tych sum (zwykle ocenianych jako ) przybliżenia

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {a} {q}} \ prawo | \ równoważnik {\ Frac {1} {q ^ {2}} },(a,q)=1,}$

formularza

${\ Displaystyle S (\ alfa) \ ll \ lewo ({\ Frac {N} {\ sqrt {q}}} + N ^ {4/5} + {\ sqrt {Nq}} \ prawej) (\ log N )^{4}.}$

Argument przemawiający za tym oszacowaniem wynika z tożsamości Vaughana, udowadniając to za pomocą nieco zawiłego argumentu

${\ Displaystyle S (\ alfa) \ ll \ lewo (UV + q + { \frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq} }\right)(\log(qN))^{4},}$

$Displaystyle U = V = N ^ {$ następnie wydedukowanie pierwszego wzoru powyżej w nietrywialnych przypadkach, gdy z $\$ .

• Inne zastosowanie tożsamości Vaughana znajduje się w rozdziale 26 książki Davenport, gdzie metoda ta jest stosowana do uzyskiwania oszacowań sum ( sum wykładniczych ) trzech liczb pierwszych .
• Przykłady tożsamości Vaughana w praktyce są podane jako następujące odniesienia / cytaty w tym poście informacyjnym :

Uogólnienia

Tożsamość Vaughana została uogólniona przez Heath-Browna (1982) .

Notatki

•   Davenport, Harold (31 października 2000). Multiplikatywna teoria liczb (wydanie trzecie). New York: Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-95097-4 .
• Graham, SW (2001) [1994], „Tożsamość Vaughana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Heath-Brown, DR (1982), „Liczby pierwsze w krótkich odstępach czasu i uogólniona tożsamość Vaughana”, Can. J. Matematyka. , 34 (6): 1365–1377, doi : 10.4153/CJM-1982-095-9 , MR 0678676
•   Vaughan, RC (1977), "Sommes trigonométriques sur les nombres premiers", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie A , 285 : 981–983, MR 0498434

Linki zewnętrzne

• Dowód Wiki na temat tożsamości Vaughana
• Joni's Math Notes (bardzo szczegółowa ekspozycja)
• Encyklopedia matematyki
• Blog Terry'ego Tao o dużym sicie i twierdzeniu Bombieriego-Winogradowa