Suma Kummera

W matematyce suma Kummera to nazwa nadana pewnym sześciennym sumom Gaussa dla pierwszego modułu p , przy czym p jest równe 1 modulo 3. Są one nazwane na cześć Ernsta Kummera , który wysunął przypuszczenia dotyczące statystycznych właściwości ich argumentów jako liczb zespolonych . Sumy te były znane i używane przed Kummerem, w teorii cyklotomii .

Definicja

Suma Kummera jest zatem sumą skończoną

${\ Displaystyle \ suma \ chi (r) e (r / p) = G (\ chi)}$

przejęte r modulo p , gdzie χ jest znakiem Dirichleta przyjmującym wartości w pierwiastkach sześciennych jedności , a e ( x ) jest funkcją wykładniczą exp(2π ix ). Biorąc pod uwagę p wymaganej postaci, istnieją dwa takie znaki, wraz ze znakiem trywialnym.

Sześcienna suma wykładnicza K ( n , p ) określona przez

${\ Displaystyle K (n, p) = \ suma _ {x = 1} ^ {p} e (nx ^ {3} / P)}$

można łatwo uznać za liniową kombinację sum Kummera. W rzeczywistości jest to 3 P , gdzie P jest jednym z okresów Gaussa dla podgrupy o indeksie 3 w resztach mod p , podczas mnożenia, podczas gdy sumy Gaussa są liniowymi kombinacjami P z pierwiastkami sześciennymi jedności jako współczynnikami. Jednak jest to suma Gaussa, dla której zachowują się właściwości algebraiczne. Takie sześcienne sumy wykładnicze są obecnie nazywane sumami Kummera.

Pytania statystyczne

Wiadomo to z ogólnej teorii sum Gaussa

${\ Displaystyle | G (\ chi) | = {\ sqrt {p}}. \,}$

W rzeczywistości znany jest główny rozkład G ( χ ) w polu cyklotomicznym, w którym naturalnie leży, dając silniejszą formę. Kummerowi chodziło o kłótnię

${\ Displaystyle \ teta _ {p} \,}$

z G ( χ ). W przeciwieństwie do przypadku kwadratowego, w którym znany jest kwadrat sumy Gaussa, a dokładny pierwiastek kwadratowy został określony przez Gaussa, tutaj sześcian G ( χ ) leży w liczbach całkowitych Eisensteina , ale jego argument jest określony przez dzielenie liczby pierwszej Eisensteina p , która dzieli się w tym polu.

Kummer wysunął hipotezę statystyczną dotyczącą θ _p i jego rozkładu modulo 2π (innymi słowy, na podstawie argumentu sumy Kummera na okręgu jednostkowym). Aby to miało sens, trzeba wybrać między dwoma możliwymi χ: w rzeczywistości istnieje wybór wyróżniający oparty na sześciennym symbolu reszty . Kummer wykorzystał dostępne dane liczbowe dla p do 500 (jest to opisane w książce Theory of Numbers z 1892 roku autorstwa George'a B. Mathewsa ). Działało jednak „prawo małych liczb”, co oznaczało, że pierwotna hipoteza Kummera o braku jednolitego rozkładu była obciążona błędem małych liczb. W 1952 roku John von Neumann i Herman Goldstine rozszerzyli obliczenia Kummera na ENIAC . Obliczenia zostały zaprogramowane i zakodowane przez Hedvig Selberg, ale jej praca została uznana dopiero na końcu artykułu, podobnie jak w przypadku Mary Tsingou w problemie Fermi – Pasta – Ulam – Tsingou (dawniej problem Fermi – Pasta – Ulam).

W XX wieku nastąpił wreszcie postęp w tej kwestii, która pozostawała nietknięta przez ponad 100 lat. Opierając się na pracach Tomio Kuboty , SJ Pattersona i Rogera Heath-Browna w 1978 roku obalili hipotezę Kummera i udowodnili zmodyfikowaną formę hipotezy Kummera. W rzeczywistości wykazali, że istnieje równomierny rozkład θ _p . Ta praca obejmowała formy automorficzne dla grupy metaplektycznej i lemat Vaughana w analitycznej teorii liczb . W 2000 roku Heath-Brown dokonał dalszych udoskonaleń.

Przypuszczenie Casselsa

Drugie przypuszczenie na temat sum Kummera zostało postawione przez JWS Casselsa , ponownie opierając się na wcześniejszych pomysłach Tomio Kuboty. Był to wzór na iloczyn w postaci funkcji eliptycznych ze złożonym mnożeniem przez liczby całkowite Eisensteina. Przypuszczenie zostało udowodnione w 1978 roku przez Charlesa Matthewsa.

Przypuszczenie Pattersona

W 1978 Patterson przypuszczał, że θ _{p było równomiernie rozłożone z} $.$ błędu asymptotycznie rzędu kwadratowego, jak w przypadku sum Gaussa, które mogłyby wyjaśnić początkowe odchylenie zaobserwowane przez . W następnym roku jego późniejsza praca z Heath-Brownem, obalająca hipotezę Kummera, wykazała, że ​​​​w rzeczywistości była ona równomiernie rozłożona, ale nie wiadomo, czy kolejność asymptotyki była poprawna. Ponad 20 lat później Heath-Brown zamknął problem, podając nową metodę sitową i przypuszczał, że można ją ulepszyć, aby uzyskać przewidywany porządek. W 2021 roku problem został warunkowo zademonstrowany na uogólniona hipoteza Riemanna autorstwa Alexandra Dunna i Maksyma Radziwiłła , którzy również wykazali, że sita Heatha Browna nie można ulepszyć zgodnie z oczekiwaniami.

• Bredikhin, BM (2001) [1994], „Hipoteza Kummera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press