Twierdzenie Bombieriego – Winogradowa

W matematyce twierdzenie Bombieriego – Winogradowa (czasami nazywane po prostu twierdzeniem Bombieriego ) jest głównym wynikiem analitycznej teorii liczb , uzyskanym w połowie lat 60. XX wieku, dotyczącym rozkładu liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych , uśrednionych w zakresie modułów. Pierwszy tego rodzaju wynik uzyskał Mark Barban w 1961 roku, a twierdzenie Bombieriego – Winogradowa jest udoskonaleniem wyniku Barbana. Twierdzenie Bombieri-Vinogradov nosi imię Enrico Bombieri i AI Vinogradov , którzy opublikowali pokrewny temat, hipotezę gęstości, w 1965 roku.

Wynik ten jest głównym zastosowaniem metody wielkositowej , która rozwijała się szybko na początku lat 60., od jej początków w pracach Jurija Linnika dwie dekady wcześniej. Oprócz Bombieri w tej dziedzinie pracował Klaus Roth . W późnych latach sześćdziesiątych i wczesnych siedemdziesiątych wiele kluczowych składników i szacunków zostało uproszczonych przez Patricka X. Gallaghera .

Stwierdzenie twierdzenia Bombieriego – Winogradowa

Niech i $będą$ dowolnymi $rzeczywistymi$ dodatnimi liczbami

${\ Displaystyle x ^ {1/2} \ log ^ {- A} x \ równoważnik Q \ równoważnik x ^ {1/2}.}$

Następnie

${\ Displaystyle \ suma _ {q \ równoważnik Q} \ max _ {y \ równoważnik x} \ max _ {1 \ równoważnik a \ równoważnik q \ na szczycie (a, q) = 1} \ lewo | \ psi (y; q,a)-{y \ponad \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.}$

Tutaj jest totientową funkcją Eulera , która jest liczbą sum dla modułu q i ${\ Displaystyle \ varphi (q)}$

${\ Displaystyle \ psi (x; q, a) = \ suma _ {n \ równoważnik x \ nad n \ równoważnik za {\bmod {q}}}\Lambda (n),}$

gdzie $Mangoldta$ funkcję von .

Werbalny opis tego wyniku jest taki, że odnosi się on do składnika błędu w twierdzeniu o liczbach pierwszych dla postępów arytmetycznych , uśrednionych w modułach q do Q. Dla pewnego zakresu Q , który wynosi około $,$ jeśli zaniedbamy czynniki logarytmiczne, uśredniony błąd jest prawie tak mały jak $\ sqrt {x}}}$ . Nie jest to oczywiste i bez uśredniania jest o sile Uogólnionej Hipotezy Riemanna (GRH).

Zobacz też

• Hipoteza Elliotta – Halberstama (uogólnienie Bombieriego – Winogradowa)
• Twierdzenie Winogradowa (nazwane na cześć Iwana Matwiejewicza Winogradowa )

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Bombieriego” . MathWorld .
• Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa , notatka z wykładu RC Vaughana .