Tożsamość cyklotomiczna

W matematyce określa to tożsamość cyklotomiczna

${\ Displaystyle {1 \ ponad 1- \ alfa z} = \ prod _ {j = 1} ^ {\ infty }\left({1 \over 1-z^{j}}\right)^{M(\alpha,j)}}$

gdzie M jest funkcją liczenia naszyjników Moreau ,

${\ Displaystyle M (\ alfa, n) = {1 \ nad n} \ suma _ {d \, | \, n} \ mu \ lewo ({n \ nad d} \ po prawej)\alfa ^{d},}$

a μ jest klasyczną funkcją Möbiusa z teorii liczb .

Nazwa pochodzi od mianownika 1 − z   ^j , który jest iloczynem wielomianów cyklotomicznych .

Lewa strona tożsamości cyklotomicznej jest funkcją generującą dla swobodnej algebry asocjacyjnej na generatorach α, a prawa strona jest funkcją generującą dla uniwersalnej algebry obwiedniowej swobodnej algebry Liego na generatorach α. Tożsamość cyklotomiczna świadczy o tym, że te dwie algebry są izomorficzne.

Istnieje również symetryczne uogólnienie tożsamości cyklotomicznej znalezionej przez Strehla:

${\ Displaystyle \ prod _ {j = 1} ^{\infty }\left({1 \over 1-\alpha z^{j}}\right)^{M(\beta,j)}=\prod _{j=1}^{\infty}\ left({1 \over 1-\beta z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

•    Metropolis, N.; Rota, Gian-Carlo (1984), „Tożsamość cyklotomiczna”, w: Greene, Curtis (red.), Kombinatoryka i algebra (Boulder, Colo., 1983). Materiały ze wspólnej letniej konferencji badawczej AMS-IMS-SIAM, która odbyła się na University of Colorado, Boulder, Kolorado, 5–11 czerwca 1983 r. , Contemp. Matematyka, tom. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 19–27, ISBN 978-0-8218-5029-9 , MR 0777692