Tomahawk (geometria)

Tomahawk z pogrubioną rękojeścią i kolcem

Tomahawk jest narzędziem w geometrii do trysekcji kąta , problemu dzielenia kąta na trzy równe części. Granice jego kształtu obejmują półkole i dwa odcinki linii , ułożone w sposób przypominający tomahawk , topór rdzennych Amerykanów. To samo narzędzie było również nazywane nożem szewskim , ale nazwa ta jest częściej używana w geometrii w odniesieniu do innego kształtu, arbelos (trójkąt krzywoliniowy ograniczony trzema wzajemnie stycznymi półkolami).

Opis

Podstawowy kształt tomahawka składa się z półkola („ostrze” tomahawka), z odcinkiem o długości promienia biegnącym wzdłuż tej samej linii co średnica półkola (którego wierzchołkiem jest „kolec” tomahawka) oraz innym odcinkiem linii o dowolnej długości („uchwyt” tomahawka) prostopadłym do średnicy. Aby przekształcić go w fizyczne narzędzie, jego rękojeść i ostrze można pogrubić, o ile odcinek linii wzdłuż rękojeści nadal stanowi część granicy kształtu. W przeciwieństwie do pokrewnego trysekcji przy użyciu kwadratu stolarskiego , druga strona pogrubionej rączki nie musi być równoległa do tego odcinka linii.

W niektórych źródłach używa się raczej pełnego koła niż półkola lub tomahawk jest również pogrubiony wzdłuż średnicy swojego półkola, ale te modyfikacje nie mają wpływu na działanie tomahawka jako trisektora.

trisekcja

Tomahawk przecinający kąt na trzy części . Rękojeść AD tworzy jeden trójsektor, a linia przerywana AC do środka półkola tworzy drugi.

Aby użyć tomahawka do podzielenia kąta na trzy części , należy umieścić go tak, aby linia rękojeści dotykała wierzchołka kąta, ostrze wewnątrz kąta, styczne do jednego z dwóch promieni tworzących kąt, a ostrze dotykało drugiego promienia kąta. kąt. Jedna z dwóch linii przecinających leży wtedy na segmencie uchwytu, a druga przechodzi przez środek półkola. Jeśli kąt, który ma zostać podzielony na trzy części, jest zbyt ostry w stosunku do długości rączki tomahawka, dopasowanie tomahawka do kąta w ten sposób może nie być możliwe, ale tę trudność można obejść, wielokrotnie podwajając kąt, aż będzie duży tyle, aby tomahawk przeciął go na trzy części, a następnie wielokrotnie przecinanie podzielonego na pół kąta taką samą liczbę razy, jak pierwotny kąt został podwojony.

Jeśli wierzchołek kąta jest oznaczony jako A , punkt styczności ostrza to B , środek półkola to C , wierzchołek rękojeści to D , a kolec to E , to trójkąty △ ACD i △ ADE to oba trójkąty prostokątne mają wspólną podstawę i równe wysokości, więc są trójkątami przystającymi . Ponieważ boki AB i BC trójkąta △ ABC są odpowiednio styczną i promieniem półkola, są względem siebie prostopadłe, a △ ABC jest również trójkątem prostokątnym; ma taką samą przeciwprostokątną jak △ ACD i te same długości boków BC = CD , więc ponownie jest przystający do pozostałych dwóch trójkątów, co pokazuje, że trzy kąty utworzone na wierzchołku są równe.

Chociaż sam tomahawk może być skonstruowany za pomocą kompasu i liniału i może być użyty do podzielenia kąta na trzy części, nie jest to sprzeczne z twierdzeniem Pierre'a Wantzela z 1837 r., Że dowolnych kątów nie można podzielić na trzy części za pomocą samego kompasu i nieoznakowanej liniału. Powodem tego jest to, że umieszczenie skonstruowanego tomahawka w wymaganej pozycji jest formą neusis , która nie jest dozwolona w konstrukcjach z kompasem i liniałem.

Historia

Wynalazca tomahawka jest nieznany, ale najwcześniejsze wzmianki o nim pochodzą z XIX-wiecznej Francji. Pochodzi co najmniej z 1835 roku, kiedy pojawił się w książce Claude'a Luciena Bergery'ego , Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (wydanie 3). Inną wczesną publikację tego samego trysekcji dokonał Henri Brocard w 1877 roku; Z kolei Brocard przypisuje swój wynalazek pamiętnikom francuskiego oficera marynarki Pierre-Josepha Glotina z 1863 roku [ d ] .

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tomahawk_(geometry)&oldid=1142681939 ”