Trójwymiarowy operator obrotu

W przypadku innych zastosowań zobacz Operator obrotu (ujednoznacznienie) .

W tym artykule wyprowadzono główne właściwości obrotów w przestrzeni trójwymiarowej .

Trzy obroty Eulera to jeden ze sposobów doprowadzenia sztywnego ciała do dowolnej pożądanej orientacji poprzez sekwencyjne wykonywanie obrotów wokół ustalonej osi względem obiektu. Jednak można to również osiągnąć za pomocą jednego obrotu ( twierdzenie Eulera o rotacji ). Wykorzystując pojęcia algebry liniowej pokazano, w jaki sposób można wykonać ten pojedynczy obrót.

Sformułowanie matematyczne

Niech ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) będzie układem współrzędnych zamocowanym w ciele , które poprzez zmianę orientacji A przenosi się do nowych kierunków

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} {\ kapelusz {e}} _ {1}, \ mathbf {A} {\ kapelusz {e}} _ {2}, \ mathbf {A} {\ kapelusz {e}} _ {3}.}$$

Dowolny wektor

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = x_ {1} {\ kapelusz {e}} _ {1} + x_ {2 }{\kapelusz {e}}_{2}+x_{3}{\kapelusz {e}}_{3}}$$

obracanie się wraz z ciałem jest następnie doprowadzane do nowego kierunku

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} {\ bar {x}} = x_ {1} \ mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{1}+x_{2}\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{2}+x_{3}\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_ {3},}$$

to znaczy, że jest to operator liniowy

Macierz tego operatora względem układu współrzędnych ( ê ₁ ê ₂ , ê ₃ ) to ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A_ {11} i A_ {12} i A_ {13} \\ A_ {21} i A_ {22} i A_ {23} \\ A_ {31} i A_ {32} i A_ {33} \ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\kapelusz {e}}_{1}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{1}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{1}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{2}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{1}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{3}\rangle \\\langle {\kapelusz {e}}_{2}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{1}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{2}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{2}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{2}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{3}\rangle \\\langle {\kapelusz {e}}_{3}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{1}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{3}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{2}\rangle &\langle {\kapelusz {e}}_{3}|\mathbf {A} {\kapelusz {e}}_{3}\rangle \end{bmatrix}}.}$$

Jak

$${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {3} A_ {ki} A_ {kj} = \ langle \ mathbf {A} { \hat {e}}_{i}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{j}\rangle ={\begin{przypadki}0,&i\neq j,\\1,&i=j ,\koniec {przypadków}}}$$

lub równoważnie w notacji macierzowej

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A_ {11} i A_ {12} i A_ {13} \\ A_ {21} i A_ {22} i A_ {23} \\ A_ {31} i A_ {32} i A_ {33} \ koniec{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31 }&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$

macierz jest ortogonalna i gdy prawoskrętny system wektorów bazowych jest reorientowany na inny układ prawoskrętny, wyznacznik tej macierzy przyjmuje wartość 1.

Obrót wokół osi

Niech ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) będzie ortogonalnym dodatnio zorientowanym bazowym układem wektorowym w R ³ . Operator liniowy „obrót o kąt θ wokół osi określonej przez ê ₃ ” ma reprezentację macierzową

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} Y_ {1} \\ Y_ { 2}\\Y_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}}$$

względem tego systemu bazowego. Oznacza to zatem, że wektor

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ rozpocząć {bmatrix} {\ kapelusz {e}} _ {1} &{\kapelusz {e}}_{2}&{\kapelusz {e}}_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{ 3}\end{bmacierz}}}$$

jest obrócony do wektora

$${\ Displaystyle {\ bar {y}} = {\ rozpocząć {bmatrix} {\ kapelusz {e}} _ {1} &{\kapelusz {e}}_{2}&{\kapelusz {e}}_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{1}\\Y_{2}\\Y_{ 3}\end{bmacierz}}}$$

przez operatora liniowego. Wyznacznikiem tej macierzy jest

$${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ teta & - \ sin \ teta & 0 \\\ sin \ teta & \ cos \theta &0\\0&0&1\end{bmacierz}}=1,}$$

a wielomian charakterystyczny to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ rozpocząć {vmatrix} \ cos \ teta - \ lambda & - \ sin \ teta i 0 \\ \sin \theta &\cos \theta -\lambda &0\\0&0&1-\lambda \end{vmatrix}}&=\left(\left(\cos \theta -\lambda \right)^{2}+\sin ^{2}\theta \right)(1-\lambda )\\&=-\lambda ^{3}+(2\cos \theta +1)\lambda ^{2}-(2\cos \theta + 1)\lambda +1.\end{wyrównane}}}$$

Macierz jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy sin θ = 0 , czyli dla θ = 0 i θ = π . Przypadek θ = 0 jest trywialnym przypadkiem operatora tożsamości. Dla przypadku θ = π wielomian charakterystyczny wynosi

$${\ Displaystyle - (\ lambda -1) \ lewo (\ lambda + 1 \ prawo) ^ {2},}$$

więc operator rotacji ma wartości własne

$${\ Displaystyle \ lambda = 1, \ quad \ lambda = -1.}$$

Przestrzeń własna odpowiadająca λ = 1 to wszystkie wektory na osi obrotu, a mianowicie wszystkie wektory

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alfa {\ kapelusz {e}} _ {3}, \ quad - \ infty <\ alfa <\ infty.}$$

Przestrzeń własna odpowiadająca λ = −1 składa się ze wszystkich wektorów prostopadłych do osi obrotu, a mianowicie wszystkich wektorów

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alfa {\ kapelusz {e}} _ {1} + \ beta {\ kapelusz {e}} _ {2}, \ quad - \ infty <\ alfa <\ infty ,\quad -\infty <\beta <\infty .}$$

Dla wszystkich innych wartości θ macierz nie jest symetryczna i ponieważ sin ² θ > 0 istnieje tylko wartość własna λ = 1 z jednowymiarową przestrzenią własną wektorów na osi obrotu:

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ alfa {\ kapelusz {e}} _ {3}, \ quad - \ infty <\ alfa <\ infty.}$$

Macierz obrotu o kąt θ wokół ogólnej osi obrotu k jest dana wzorem na obrót Rodriguesa .

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {I} \ cos \ theta + [\ mathbf {k } ]_{\times}\sin \theta +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\mathsf {T}},}$$

gdzie I to macierz tożsamości , a [ k ] _× to podwójna forma 2 k lub macierz iloczynów krzyżowych ,

$${\ Displaystyle [\ mathbf {k}] _ {\ razy} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0&-k_ {3}&k_ {2}\\k_ {3}&0&-k_ {1}\\-k_ {2 }&k_{1}&0\end{bmacierz}}.}$$

Zauważ, że [ k ] _× spełnia [ k ] _× v = k × v dla wszystkich wektorów v .

Sprawa ogólna

operator „obrót o kąt θ wokół określonej osi” jest odwzorowaniem ortogonalnym, a jego macierz względem dowolnego podstawowego układu wektorów jest zatem macierzą ortogonalną . Co więcej, jej wyznacznik ma wartość 1. Nietrywialnym faktem jest odwrotność, że dla dowolnego prostopadłego odwzorowania liniowego w R ³ z wyznacznikiem 1 istnieją wektory bazowe ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ takie, że macierz przyjmuje „postać kanoniczną "

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ teta i - \ grzech \ teta i 0 \\\ grzech \ teta i \ cos \ teta i 0 \\ 0&0&1\end{bmacierz}}}$$

dla pewnej wartości θ . W rzeczywistości, jeśli operator liniowy ma macierz ortogonalną

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A_ {11} i A_ {12} i A_ {13} \\ A_ {21} i A_ {22 }&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmacierz}}}$$

względem jakiegoś podstawowego układu wektorów ( f̂ ₁ , f̂ ₂ , f̂ ₃ ) i ta macierz jest symetryczna, obowiązuje „twierdzenie o operatorze symetrycznym” obowiązujące w R ^{n (dowolny wymiar) mówiące, że ma ona} n ortogonalnych wektorów własnych. Oznacza to dla przypadku trójwymiarowego, że istnieje układ współrzędnych ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ taki, że macierz przyjmuje postać

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} B_ {11} i 0 i 0 \\ 0 i B_ {22} i 0 \\ 0 i 0 i B_ {33} \ koniec {bmatrix}}.}$$

Ponieważ jest to macierz ortogonalna, te elementy przekątne B _ii wynoszą albo 1, albo −1. Ponieważ wyznacznik to 1, te elementy to albo wszystkie 1, albo jeden z elementów to 1, a pozostałe dwa to -1. W pierwszym przypadku jest to trywialny operator tożsamości odpowiadający θ = 0 . W drugim przypadku ma postać

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} -1 i 0 i 0 \\ 0 i - 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$$

jeśli wektory podstawowe są ponumerowane tak, że ten o wartości własnej 1 ma indeks 3. Macierz ta ma wtedy pożądaną postać dla θ = π .

Jeśli macierz jest asymetryczna, wektor

$${\ Displaystyle {\ bar {E}} = \ alfa _ {1} {\ kapelusz {f}} _ {1} + \alpha _{2}{\kapelusz {f}}_{2}+\alpha _{3}{\kapelusz {f}}_{3},}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ alfa _ {1} = {\ Frac {A_ {32} -A_ { 23}}{2}},\quad \alpha _{2}={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}},\quad \alpha _{3}={\frac {A_ {21}-A_{12}}{2}}}$$

jest różny od zera. Ten wektor jest wektorem własnym o wartości własnej λ = 1 . Ustawienie

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {e}} _ {3} = {\ Frac {\ bar {E}}} {| {\ bar {E}}|}}}$$

i wybierając dowolne dwa ortogonalne wektory jednostkowe ê ₁ i ê ₂ w płaszczyźnie prostopadłej do ê ₃ takie, że ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ tworzą dodatnio zorientowaną trójkę, operator przyjmuje żądaną postać z

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ cos \ teta & = {\ Frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}}, \\\ sin \ teta & = | {\bar {E}}|.\end{wyrównane}}}$$

Powyższe wyrażenia są w rzeczywistości ważne również dla przypadku symetrycznego operatora obrotu odpowiadającego obrotowi z θ = 0 lub θ = π . Ale różnica polega na tym, że dla θ = π wektor

$${\ Displaystyle {\ bar {E}} = \ alfa _ {1} {\ kapelusz {f}} _ {1} + \ alfa _{2}{\kapelusz {f}}_{2}+\alfa _{3}{\kapelusz {f}}_{3}}$$

wynosi zero i jest bezużyteczny do znalezienia przestrzeni własnej wartości własnej 1, a tym samym osi obrotu.

Definiując E ₄ jako cos θ macierz dla operatora rotacji to

$${\ Displaystyle {\ Frac {1-E_ {4}} {E_ {1} ^ {2} + E_ {2}^{2}+E_{3}^{2}}}{\begin{bmatrix}E_{1}E_{1}&E_{1}E_{2}&E_{1}E_{3}\\ E_{2}E_{1}&E_{2}E_{2}&E_{2}E_{3}\\E_{3}E_{1}&E_{3}E_{2}&E_{3}E_{3} \end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}E_{4}&-E_{3}&E_{2}\\E_{3}&E_{4}&-E_{1}\\-E_{2} &E_{1}&E_{4}\end{bmacierz}},}$$

pod warunkiem że

$${\ Displaystyle E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}> 0.}$$

To znaczy, z wyjątkiem przypadków θ = 0 (operator tożsamości) i θ = π .

czwartorzędy

Główny artykuł: Quaternions i rotacja przestrzenna

Kwaterniony są definiowane podobnie jak E ₁ , E ₂ , E ₃ , E ₄ z tą różnicą , że zamiast pełnego kąta θ używany jest kąt połówkowy θ / 2 . Oznacza to, że pierwsze 3 składowe q ₁ , q ₂ , q ₃ składowe wektora określonego z

$${\ displaystyle q_ {1} {\ kapelusz {f}} _ {1} + q_ {2} {\ kapelusz {f}} _ {2} + q_ {3} {\ kapelusz {f}} _ {1} =\ sin {\ frac {\ theta }{2}}, \ quad {\ kapelusz {e}} _ {3} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ theta }{2}}} {\ sin \theta }},\quad {\bar {E}},}$$

i że czwartym składnikiem jest skalar

$${\ Displaystyle q_ {4} = \ cos {\ Frac {\ teta} {2}}.}$$

Ponieważ kąt θ określony z postaci kanonicznej jest w przedziale

$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ teta \ równoważnik \ pi,}$$

normalnie mielibyśmy, że q ₄ ≥ 0 . Ale używana jest „podwójna” reprezentacja obrotu z czwartorzędami, to znaczy ( q ₁ , q ₂ , q ₃ , q ₄ )}} i (− q ₁ , − q ₂ , −' q ₃ , − q ₄ ) to dwie alternatywne reprezentacje jednego i tego samego obrotu.

Podmioty E _k są zdefiniowane z czwartorzędów przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E_ {1} i = 2q_ {4} q_ {1}, \ quad E_ {2} = 2q_ {4} q_ {2}, \ quad E_ {3} = 2q_ {4 }q_{3},\\[8px]E_{4}&=q_{4}^{2}-\lewo(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3 }^{2}\prawo).\end{wyrównane}}}$$

Używając kwaternionów, macierz operatora obrotu to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 2 \ lewo (q_ {1} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} \ prawo) -1 i 2 \ lewo (q_ {1} q_ {2} -q_ {3 }q_{4}\right)&2\left(q_{1}q_{3}+q_{2}q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{2}+q_{3 }q_{4}\right)&2\left(q_{2}^{2}+q_{4}^{2}\right)-1&2\left(q_{2}q_{3}-q_{1} q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{3}-q_{2}q_{4}\right)&2\left(q_{2}q_{3}+q_{1} q_{4}\right)&2\left(q_{3}^{2}+q_{4}^{2}\right)-1\end{bmacierz}}.}$$

Przykład liczbowy

Rozważmy reorientację odpowiadającą kątom Eulera α = 10° , β = 20° , γ = 30° względem danego podstawowego układu wektorów ( f̂ ₁ , f̂ ₂ , f̂ ₃ ) . Odpowiednia macierz względem tego podstawowego układu wektorów to (patrz kąty Eulera # Orientacja macierzy )

$$\\0,171010&0,296198&0,939693\koniec{bmacierz }},}$$

a kwaternion jest

$${\ Displaystyle (0,171010, -0,030154,0,336824,0,925417).}$$

Postać kanoniczna tego operatora

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ teta i - \ grzech \ teta i 0 \\\ grzech \ teta i \ cos \ teta i 0 \\ 0&0&1\end{bmacierz}}}$$

gdzie θ = 44,537° otrzymuje się z

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {e}} _ {3} = (0,451272, -0,079571, 0,888832).}$$

Kwaternion względem tego nowego systemu to wtedy

$${\ Displaystyle (0,0,0,378951,0,925417) = \ lewo (0,0, \ sin {\ Frac {\ teta} {2}}, \ cos {\ Frac {\ teta} {2}} \ prawo) .}$$

Zamiast wykonywać trzy obroty Eulera o 10°, 20°, 30°, tę samą orientację można osiągnąć za pomocą jednego obrotu o rozmiarze 44,537° wokół ê ₃ .

• Shilov, Georgi (1961), Wprowadzenie do teorii przestrzeni liniowych , Prentice-Hall, Library of Congress 61-13845 .