Trisectrix Maclaurina

Trisectrix Maclaurina jako miejsce przecięcia dwóch obracających się linii

W geometrii algebraicznej trisectrix Maclaurina jest sześcienną krzywą płaską wyróżniającą się właściwością trisectrix , co oznacza, że można jej użyć do podzielenia kąta na trzy części . Można go zdefiniować jako miejsce przecięcia dwóch prostych , z których każda obraca się ze stałą prędkością wokół oddzielnych punktów, tak że stosunek prędkości obrotu wynosi 1:3, a linie początkowo pokrywają się z linią między dwoma punktami . Uogólnienie tej konstrukcji nazywa się sektrixem Maclaurina . Krzywa została nazwana na cześć Colina Maclaurina , który zbadał tę krzywą w 1742 roku.

równania

$P_{1}=(a,0)$ $Displaystyle$ , ) so that when the line rotating about $P$ has angle $\theta$ with the x axis, the rotating about $P_{1}$ has angle $3\theta$ . Let ${\ displaystyle Q}$ $będzie$ punktem przecięcia, wtedy kąt utworzony przez linie w wynosi ${\ displaystyle 2 \ theta}$ . Zgodnie z prawem sinusów ,

{\ Displaystyle {r \ ponad \ grzech 3 \ teta} = {a \ ponad \ grzech 2 \ teta} \!}

więc równanie we współrzędnych biegunowych jest (do translacji i obrotu)

{\ Displaystyle R = a {\ Frac {\ sin 3 \theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4 \cos \theta -\sec \theta )\!}

.

Krzywa jest zatem członkiem rodziny Conchoid of de Sluze .

We współrzędnych kartezjańskich równanie tej krzywej ma postać

{\ Displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2} )\!}

.

Jeśli początek zostanie przesunięty do ( a , 0), to wyprowadzenie podobne do podanego powyżej pokazuje, że równanie krzywej we współrzędnych biegunowych staje się

{\ Displaystyle r = 2a \ sałata {\ teta \ ponad 3} \!}

co czyni go przykładem limacon z pętlą.

Właściwość trisekcji

Trisectrix Maclaurina pokazujący właściwość trysekcji kąta

$-$ uwagę kąt , narysuj promień od $którego$ kąt z $displaystyle$ wynosi $\$ . Narysuj promień od początku do punktu, w którym pierwszy promień przecina krzywą. Następnie, dzięki konstrukcji krzywej, kąt między drugim promieniem a $-$ wynosi ${\ displaystyle \ phi / 3}$ .

Godne uwagi punkty i funkcje

Krzywa ma punkt przecięcia z osią x w ${\ displaystyle 3a \ ponad 2}$ i podwójny punkt na początku. Linia pionowa jest asymptotą. ${\ displaystyle x= {- {a \ over 2}}}$ Krzywa przecina linię x = a lub punkt odpowiadający trysekcji kąta prostego w ${\ Displaystyle (a, {\ pm {1 \ ponad {\ sqrt {3}} }a})}$ . Jako węzłowy sześcienny należy do rodzaju zero.