Limaçon trisectrix

Limaçon $r=a(1+2\cos \theta ),$ where a > 0. When a < 0, the resulting curve is the reflection of this curve with respect to the line $\theta =\pi /2.$ As a function, r has a period of 2π . Wewnętrzne i zewnętrzne pętle krzywej przecinają się na biegunie.

Główny artykuł: Limaçon

W geometrii trisectrix limaçon to nazwa krzywej płaszczyzny kwartalnej , która jest trisectrix określoną jako limaçon . Kształt trisectrix limaçon można określić za pomocą innych krzywych, zwłaszcza róży , konchoidy lub epitrochoidy . Krzywa jest jedną z wielu trisectrixes krzywych płaskich, które obejmują Conchoid of Nicomedes, Cykloida Ceva, Quadratrix Hippiasa , Trisectrix Maclaurina i sześcienny Tschirnhausena . Limaçon trisectrix to szczególny przypadek sektrycy Maclaurina .

Specyfikacja i struktura pętli

Limaçon trisectrix określona jako równanie biegunowe to

${\ Displaystyle r = a (1 + 2 \ sałata \ teta)}$ .

Stała $dodatnia$ lub ujemna. Dwie krzywe ze stałymi $\$ - $displaystyle -a}$ są wzajemnymi odbiciami na linii ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$ . okres ${\ Displaystyle r = a (1 + 2 \ cos \ theta)}$ wynosi ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ biorąc pod uwagę okres sinusoidy sałata $\ Displaystyle \ cos \ theta}$ .

Limaçon trisectrix składa się z dwóch pętli.

• Zewnętrzna pętla jest $Displaystyle$ , gdy $kąta$ przedziale i jest symetryczny względem osi biegunowej. Punkt najbardziej oddalony od bieguna na zewnętrznej pętli ma współrzędne ${\ Displaystyle (3a, 0)}$ .
• Wewnętrzna pętla jest zdefiniowana $3\leq \theta \leq 4\pi /3}$ gdy na przedziale kąta $biegunowego$$2$ i jest symetryczny względem osi biegunowej. Punkt najbardziej oddalony od bieguna na pętli wewnętrznej ma współrzędne ${\ Displaystyle (a, 0)}$ , a na osi biegunowej wynosi jedną trzecią odległości od bieguna w porównaniu z najdalszym punktem zewnętrznej pętli.
• Pętle zewnętrzne i wewnętrzne przecinają się na biegunie.

Krzywą można określić we współrzędnych kartezjańskich jako

${\ Displaystyle a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = (x ^ {2} +y^{2}-2ax)^{2}}$ ,

i równania parametryczne

${\ Displaystyle x = (a + 2a \ sałata \ teta) \ sałata \ teta = a (1+\cos \theta +\cos(2\theta ))}$ ,

${\ Displaystyle y = (a + 2a \ cos \ teta) \ sin \ teta = a (1 + \ sin \ teta + \ grzech (2 \ teta ))}$ .

Związek z krzywymi róż

${\ Displaystyle r = 2a \ cos (\ teta / 3)}$ współrzędnych biegunowych kształt jest taki sam jak kształtu róży ${\ Displaystyle$ . Odpowiednie punkty róży to odległość ${\ Displaystyle | a |}$ na lewo od punktów limaçon, gdy ${\ Displaystyle a> 0}$ i ${\ displaystyle | a |}$ w prawo, gdy ${\ displaystyle a <0}$ . Podobnie jak róża, krzywa $jest$ pętlami wpisanymi w okrąg symetryczna względem osi biegunowej.

Odwrotnością tej róży jest trisectrix, ponieważ odwrotność ma taki sam kształt jak trisectrix Maclaurina .

Relacje z sectrixem Maclaurina

Zobacz artykuł Sectrix of Maclaurin na temat limaçon jako przykład sectrix.

Właściwości trisekcji

Zewnętrzne i wewnętrzne pętle trisectrix limaçon mają właściwości trysekcji kątowej. Teoretycznie kąt można podzielić na trzy części za pomocą metody o dowolnej właściwości, chociaż względy praktyczne mogą ograniczać użycie.

Właściwość trisectrix pętli zewnętrznej

Właściwość trysekcji kąta (zielonej) zewnętrznej pętli trisectrix limaçon ${\ Displaystyle r = 1 + 2 \ cos \ theta}$ . ( $b$ ) okrąg generujący jest wymagany do udowodnienia trysekcji $PMB$ { (czerwona) konstrukcja daje dwa kąty, ${\ Displaystyle \ kąt {QMP}}$ i ${\ Displaystyle \ kąt {QPM}}$ , które mają jedną trzecią miary ${\ Displaystyle \ kąt {PMB}}$ ; ${\ displaystyle \ kąt$ jeden kąt , który ma dwie trzecie miary $PMB$ {

Konstrukcja $_$ _ Zewnętrzna pętla istnieje w przedziale ${\ Displaystyle -2 \ pi / 3 \ równoważnik \ teta \ równoważnik 2 \ pi / 3}$ . Tutaj badamy właściwość trisectrix części zewnętrznej pętli powyżej osi biegunowej, tj. zdefiniowanej w przedziale ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ teta \ równoważnik 2 \ pi / 3}$ .

• $}$ że równanie biegunowe $,$ o promieniu środku ${ \$$M ($$biegunowej$$linii$ średnicę do biegunie Oznacz średnicę zawierającą biegun jako ${\ Displaystyle {\ overline {AB}}}$ , gdzie jest w $(2,0)$$Displaystyle$ . Po

• $displaystyle {\ overline$ , rozważ dowolną cięciwę koła biegunowym . ZA ${\$ { Ponieważ $Displaystyle \ trójkąt {AQB}$ prostokątnym, ZA ${\ Displaystyle AQ = 2 \ sałata \ alfa}$ . Odpowiedni punkt $($ zewnętrznej pętli ma współrzędne $\ Displaystyle (AQ + 1, \ alfa)}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0 <\ alfa \ leq \pi }$ .

$pod uwagę$ , pokazano, że $trzy$ dwa inne kąty dzielą się na :

• ${\ Displaystyle m \ kąt {QMB} = 2 \ alfa}$ , ponieważ jest to kąt środkowy dla ${\ Displaystyle {\ widehat {QB}}}$ na okręgu ${\ Displaystyle R = 2 \ sałata \ teta}$ .

• Kąty podstawy trójkąta równoramiennego ${\ Displaystyle \ trójkąt {AMQ}}$ miara ${\ Displaystyle \ alpha}$ - konkretnie ${\ Displaystyle m \ kąt {QAB} = m \ kąt {AQM} = \ alfa}$ .

• Kąt wierzchołkowy trójkąta równoramiennego $\ kąt {AQM}}$$ZA$ Q $,$ więc $styl wyświetlania m\kąt {PQM}=\pi -\alfa}$ . W związku z tym kąty podstawowe i mierzą $\ Displaystyle \ alpha /$$Displaystyle \ alpha$$}$ .

• ${\ Displaystyle m \ kąt {PMB} = m \ kąt {QMB} -m \ kąt {QMP} = 2 \ alfa - \ alfa / 2 = 3 \ alfa / 2}$ . Zatem ${\ Displaystyle \ kąt {PMB}}$ jest podzielony na trzy części, ponieważ ${\ Displaystyle m \ kąt {QMP} / m \ kąt {PMB} = 1/3}$ .

• Zauważ, że również ${\ Displaystyle m \ kąt {QPM} / m \ kąt {QMB} = 1/3}$ i ${\ Displaystyle m \ kąt {PAB}/m\kąt {QMB}=2/3}$ .

Górna połowa zewnętrznej pętli może przeciąć na trzy części dowolny środkowy kąt ${\ Displaystyle r = 2 \ cos \ theta},$ ponieważ ${\ Displaystyle 0 <3 \ alpha / 2 <\ pi}$ implikuje ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <2 \ pi / 3},$ co jest w domenie zewnętrznej pętli.

Właściwość trisectrix pętli wewnętrznej

Właściwość trysekcji kątowej (zielonej) wewnętrznej pętli trisectrix limaçon ${\ Displaystyle r = 1 + 2 \ cos \ theta}$ . Biorąc pod uwagę punkt ${\ displaystyle M}$ (niebieskim) okręgu jednostkowym ${\ displaystyle r = 1}$$wyśrodkowanym$ biegunie z $w$ ( $\ styl wyświetlania (1,0)}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ overline {CM}}} ($$\angle {CAM}}$ ) przecina wewnętrzną pętlę w trisektach $Displaystyle P}$ , ${PAM}}$$Displaystyle \$ kąt . (Czarna) normalna linia do , $\ Displaystyle {$ w punkcie do $}}$$}$${\ Displaystyle (1,2 \ cp)}$ . Wewnętrzna pętla jest ponownie definiowana w przedziale ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ teta \ równoważnik \ pi / 3}$ jako ${\ Displaystyle r = - (1 + 2 \ cos (\ theta + \ pi))},$ ponieważ jego natywny zakres jest większy niż ${\ Displaystyle \ pi}$ gdzie jego współrzędne promieniowe nie są dodatnie.

Wewnętrzna pętla trisectrix limaçon ma pożądaną właściwość polegającą na tym, że trysekcja kąta jest wewnętrzna względem dzielonego kąta. Tutaj badamy wewnętrzną pętlę leżącą powyżej osi biegunowej, która jest zdefiniowana w przedziale kąta biegunowego $cos \ theta$${\ Displaystyle \ pi \ równoważnik \ teta \ równoważnik 4 \ pi / 3}$ . Właściwość trysekcji jest taka, że ​​dany kąt środkowy zawiera punkt $na okręgu jednostkowym ze$$displaystyle C} leżący$$.$ na biegunie , ma miarę trzykrotności miary kąta biegunowego na cięciwy do $\ Displaystyle {\ overline {CM}}}$ i wewnętrznej pętli, gdzie jest w ${\ Displaystyle (1,0$$)$ }

We współrzędnych kartezjańskich równanie jest do $}$$\$ Displaystyle , gdzie ${\ Displaystyle k < 0}$ , które jest równaniem biegunowym

${\ Displaystyle r = {\ Frac {-k} {\ sin \ theta - k\cos \theta }}={\frac {-k}{\cos(\theta -\phi )}}=-k\sec(\theta -\phi )} ,$ gdzie ${\ Displaystyle \ tan \ phi = {\ Frac {1} {-k}}}$ i ${\ Displaystyle \ phi = atan2 (1, -k)}$ .

(Uwaga: atan2 (y,x) podaje kąt biegunowy punktu współrzędnych kartezjańskich (x,y).)

Ponieważ normalna linia do , $CAM}}$ wierzchołek trójkąta równoramiennego na pół , $CM$$\ Displaystyle {\$$overleftrightarrow$ , więc $\ Displaystyle m \ kąt {CAM} = 2 \ phi}$$współrzędne$ biegunowe to ${\ Displaystyle (1,2 \ cp)}$ .

$pętlę,$ zakres kątów biegunowych zakres kątów do trysekcji mieści się w zakresie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ theta \ równoważnik \ pi}$ . Ponadto w swojej domenie natywnej współrzędne promieniowe pętli wewnętrznej nie są dodatnie. Wewnętrzna pętla jest następnie równoważnie ponownie definiowana w interesującym zakresie kąta biegunowego i z nieujemnymi współrzędnymi promieniowymi jako ${\ Displaystyle r = - (1 + 2 \ sałata (\ teta + \ pi)) = - (1- 2 \ sałata \ teta )}$ , gdzie ${\ Displaystyle - \ cos (\ teta + \ pi) = \ cos \ teta}$ . Zatem współrzędna biegunowa ${\ displaystyle \ alpha}$ jest określany przez P. $\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle - (1-2 \ sałata \ alfa) = {\ Frac {-k} {\ sin \ alfa -k \ cos \alpha }}}$

${\ Displaystyle \ rightarrow (\ sin \ alfa -k \ cos \ alfa) -2 \ cos \ alfa \ sin \ alfa + 2k \ cos ^ {2} \ alfa = k}$

${\ Displaystyle \ rightarrow \ cos (\ alfa - \ phi) - \ sin (2 \ alfa) + 2k ({{ \frac {1+\cos(2\alpha )}{2}})=k}$

${\ Displaystyle \ strzałka w prawo \ cos (\ alfa - \ phi) - \ sin (2 \ alfa) + k \ cos ( 2\alfa )=0}$

${\ Displaystyle \ rightarrow \ cos (\ alfa - \ phi) = \ cos (2 \ alfa - \ phi)}$ .

Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania, z których pierwsze to: ${\ Displaystyle \ alfa - \ phi = 2 \ alfa - \ phi}$ , co daje ${\ Displaystyle \ alpha = 0$ } oś biegunowa $okręgu$ linia przecinająca obie krzywe, ale nie w jednostkowym.

Drugie rozwiązanie opiera się na tożsamości, która jest wyrażona jako ${\ Displaystyle \ cos (x) = \ cos (-x)}$

${\ Displaystyle \ alfa - \ phi = \ phi -2 \ alfa}$$2 \ phi = 3 \ alfa}$ Displaystyle ,

i pokazuje, że wykazując, że większy kąt został podzielony na trzy części, ${\ Displaystyle m \ kąt {CAM} = 3 (m \ kąt {PAM})}$

Górna połowa wewnętrznej pętli może przecinać na trzy części dowolny środkowy kąt ${\ displaystyle r = 1}$ , ponieważ ${\ Displaystyle 0 <3 \ alfa <\ pi}$ implikuje ${\ displaystyle 0<\alpha <\pi /3},$ który należy do dziedziny ponownie zdefiniowanej pętli.

Właściwość trysekcji segmentu linii

Limaçon trisectrix $osi$ symetrii. Ponieważ zewnętrzna pętla rozciąga się do punktu $Displaystyle$ wewnętrzna pętla do punktu $(a,$$Displaystyle$ z punktami końcowymi na biegunie (gdzie przecinają się dwie pętle) i punktem , w którym całkowita długość wynosi trzy $(3a, 0)}$ razy długość biegnąca od słupka do drugiego końca wewnętrznej pętli wzdłuż segmentu.

Związek z hiperbolą trisectrix

pod uwagę trisectrix limaçon $r = 1 + 2 \ cos \ theta}$$\$ odwrotność jest równaniem biegunowym hiperboli z równa 2, krzywa, która jest trisectrix. (Patrz Hiperbola - trysekcja kąta .)

Linki zewnętrzne

• „The Trisection Problem” Roberta C. Yatesa, opublikowany w 1942 r. I przedrukowany przez National Council of Teachers of Mathematics, dostępny na stronie ERIC Departamentu Edukacji Stanów Zjednoczonych.

• „Trisecting an Angle with a Limaçon” przedstawiająca właściwość trysekcji kąta zewnętrznej pętli, wyprodukowana przez Wolfram Demonstration Project.
• „Limaçon” na 2dcurves.com
• „Trisetrix” w wizualnym słowniku krzywych specjalnej płaszczyzny
• „Limaçon Trisecteur” w Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables