Twierdzenia Ratnera

W matematyce twierdzenia Ratnera stanowią grupę głównych twierdzeń teorii ergodycznej dotyczących przepływów jednosilnych w przestrzeniach jednorodnych , udowodnionych przez Marinę Ratner około 1990 r. Twierdzenia wyrosły z wcześniejszych prac Ratnera na temat przepływów horocyklicznych. Badanie dynamiki przepływów unipotencjalnych odegrało decydującą rolę w dowodzie hipotezy Oppenheima przez Grigorija Margulisa . Twierdzenia Ratnera przyczyniły się do kluczowych postępów w zrozumieniu dynamiki przepływów jednosilnych. Ich późniejsze uogólnienia umożliwiają zarówno zaostrzenie wyników, jak i rozszerzenie teorii na ustawienie dowolnych półprostych grup algebraicznych w ciele lokalnym .

Krótki opis

Ratnera o zamknięciu orbity stwierdza, że domknięcia orbit jednosilnych przepływów na ilorazie grupy Liego przez siatkę są ładnymi, geometrycznymi podzbiorami. Twierdzenie Ratnera o równomiernej dystrybucji stwierdza ponadto, że każda taka orbita jest równomiernie rozłożona w swoim zamknięciu. Twierdzenie o klasyfikacji miar Ratnera jest słabszym stwierdzeniem, że każda ergodyczna niezmiennicza miara prawdopodobieństwa jest jednorodna lub algebraiczna : okazuje się, że jest to ważny krok w kierunku udowodnienia bardziej ogólnej właściwości równomiernej dystrybucji. Nie ma powszechnej zgody co do nazw tych twierdzeń: są one różnie znane jako „twierdzenie o sztywności miary”, „twierdzenie o miarach niezmienniczych” i jego „wersja topologiczna” i tak dalej.

Formalne zestawienie takiego wyniku jest następujące. Niech będzie grupą Liego $\ displaystyle u$ a kratą w $displaystyle G$ { \ $}$ i $}}$ { t podgrupa parametrów składająca $}$ z elementów jednosilnych , z powiązanym przepływem na $G$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ gamma}} \ setminus G}$ . $Wtedy$ zamknięcie _ $_$ _ Oznacza to, $displaystyle$ istnieje połączona , zamknięta podgrupa z $taka$ $G}$ że obraz orbity działania $sol {\ displaystyle$ $}$ pod kanoniczną projekcją do jest zamknięty, ma skończoną wartość ${\ displaystyle {\ mathit {\ gamma}} \ setminus$ $} -niezmiennicza miara i$ $displaystyle x}$ zamknięcie -orbity ${$ \ jako gęstego podzbioru

Przykład: ${\ Displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$

Najprostszym przypadkiem, do którego odnosi się powyższe stwierdzenie, jest ${\ displaystyle G = SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ . W tym przypadku przybiera następującą, bardziej wyraźną formę; niech będzie kratą w $)}$ $R$ ${\ displaystyle F \ podzbiór \ Gamma \ backslash G }$ i $}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$ podzbiór, który jest $t$ gdzie $displaystyle$ . $U$ istnieje taki ${\ Displaystyle F = xU}$ (gdzie ${\ Displaystyle U = \ {u_ {t}, t \ in \ mathbb {R} \}})$ lub $F=\Gamma \backslash G$ .

W kategoriach geometrycznych jest współskończoną grupą Fuchsa $,$ $Gamma$ iloraz płaszczyzny hiperbolicznej przez $orbifoldem$ jest hiperboliczną o skończonej objętości. Z powyższego twierdzenia wynika, że każdy horocykl ma obraz w H. ${H} ^ {2}}$ $która jest krzywą$ zamkniętą (horocykl wokół wierzchołka $)$ gęstą $.$

Zobacz też

Twierdzenie o równomiernej dystrybucji

Ekspozycje

Morris, Dave Witte (2005). Twierdzenia Ratnera o przepływach unipotentnych (PDF) . Chicago Wykłady z matematyki. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-53984-3 . MR 2158954 .
Einsiedler, Manfred (2009). „Co to jest… miara sztywności?” (PDF) . Zawiadomienia AMS . 56 (5): 600–601.

Wybrane artykuły oryginalne

Ratner, Marina (1990). „Ścisła miara sztywności dla jednosilnych podgrup grup rozwiązalnych”. Wynaleźć. Matematyka. 101 (2): 449–482. doi : 10.1007/BF01231511 . MR 1062971 .
Ratner, Marina (1990). „Na miarę sztywności jednosilnych podgrup grup półprostych” . Akta matematyki. 165 (1): 229–309. doi : 10.1007/BF02391906 . MR 1075042 .
Ratnera, Marina (1991). „O przypuszczeniach Raghunathana”. Anna. matematyki. 134 (3): 545–607. doi : 10.2307/2944357 . MR 1135878 .
Ratnera, Marina (1991). „Przypuszczenie topologiczne Raghunathana i rozkłady przepływów jednosilnych”. Książę Matematyka. J. 63 (1): 235–280. doi : 10.1215/S0012-7094-91-06311-8 . MR 1106945 .
Ratnera, Marina (1993). „Przypuszczenia Raghunathana dotyczące grup p-adycznych Liego”. Międzynarodowe uwagi dotyczące badań matematycznych (5): 141–146. doi : 10.1155/S1073792893000145 . MR 1219864 .
Ratner, Marina (1995). „Przypuszczenia Raghunathana dotyczące produktów kartezjańskich rzeczywistych i p-adycznych grup Liego”. Książę Matematyka. J. 77 (2): 275–382. doi : 10.1215/S0012-7094-95-07710-2 . MR 1321062 .
Margulis, Grigorij A .; Tomanow, Georges M. (1994). „Niezmiennicze miary działań grup unipotencjalnych na polach lokalnych na przestrzeniach jednorodnych”. Wynaleźć. Matematyka. 116 (1): 347–392. doi : 10.1007/BF01231565 . MR 1253197 .