Twierdzenie Bonneta

Ten artykuł dotyczy twierdzenia Bonneta w mechanice klasycznej. Aby zapoznać się z twierdzeniem Bonneta w geometrii różniczkowej, zobacz Twierdzenie Bonneta .

W mechanice klasycznej twierdzenie Bonneta stwierdza, że ​​jeśli n różnych pól sił tworzy tę samą orbitę geometryczną (powiedzmy elipsę o danych wymiarach), aczkolwiek z różnymi prędkościami v ₁ , v ₂ ,..., v _n w danym punkcie P , wtedy ta sama orbita będzie podążać, jeśli prędkość w punkcie P jest równa

$v _ {\ operatorname {połączone}} = {\ sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ { 2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$

Historia

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy wyprowadzone przez Adriena-Marie Legendre'a w 1817 roku, ale zostało nazwane na cześć Pierre'a Ossiana Bonneta .

Pochodzenie

Kształt orbity jest określony tylko przez siły dośrodkowe w każdym punkcie orbity, które są siłami działającymi prostopadle do orbity. Natomiast siły wzdłuż orbity zmieniają tylko prędkość, ale nie kierunek prędkości .

Niech chwilowy promień krzywizny w punkcie P na orbicie oznaczymy jako R . Dla k ^{-tego pola sił, które wytwarza tę orbitę} _, siła normalna do orbity Fk musi zapewniać siłę dośrodkową

${\ Displaystyle F_ {k} = {\ Frac {m} {R}} v_ {k} ^ {2}}$

Dodanie wszystkich tych sił razem daje równanie

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} F_ {k} = {\ Frac {m} {R}} \ suma _{k=1}^{n}v_{k}^{2}}$

Stąd połączone pole sił tworzy tę samą orbitę, jeśli prędkość w punkcie P jest równa

$v _ {\ operatorname {połączone}} = {\ sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ { 2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$