Twierdzenie Cantora o przecięciu

Twierdzenie Cantora o przecięciu odnosi się do dwóch blisko spokrewnionych twierdzeń z topologii ogólnej i analizy rzeczywistej , nazwanych na cześć Georga Cantora , o przecięciach malejących zagnieżdżonych sekwencji niepustych zbiorów zwartych.

Stwierdzenie topologiczne

Twierdzenie. Niech będzie przestrzenią $topologiczną$ . Malejąca zagnieżdżona sekwencja niepustych zwartych, zamkniętych podzbiorów $niepuste$ przecięcie. Innymi słowy, zakładając, $że$ to sekwencja niepustych zwartych

${\ Displaystyle C_ {0} \ supset C_ {1} \ supset \ cdots \ supset C_ {n} \ supset C_ {n + 1} \ supset \cdots ,}$

wynika, że

${\ Displaystyle \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k} \ neq \ pusty zbiór.}$

$jest$ domknięcia można pominąć w sytuacjach, w których każdy zwarty podzbiór $domknięty$ , na przykład gdy to Hausdorff .

Dowód. Załóżmy, na zasadzie sprzeczności, że $\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k}} = \ pusty zbiór}$ . dla każdego $k$ niech $\ Displaystyle U_ {k} = C_ {0} \ setminus C_ {k}$ . ⋃ ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcup _ {k = 0} ^ {\ infty} U_ {k}} = C_ {0} \ setminus {\$ i $\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k }} = \ pusty zestaw }$ , mamy ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigcup _ {k = 0} ^ {\ infty} U_ {k}} = C_ {0}}$ . Ponieważ $} , ich$ zamknięte względem $a$$S},$ zatem również zamknięte względem , do $C_ {0}$$}$ uzupełnień w są otwarte względem do $\ displaystyle C_ {0}$ .

Ponieważ $_$$\{U_{k}\vert k\geq 0\}$ _ is an open cover (on $C_{0}$) of $C_{0}$, a finite cover $\{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}$ can be extracted. Let $M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}$. Then ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$ because $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots$, by the nesting hypothesis for the collection $(C_{k})_{k\geq 0}$. Consequently, $C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}$. But then $C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset$, a contradiction. ∎

Stwierdzenie dla liczb rzeczywistych

Twierdzenie w analizie rzeczywistej prowadzi do tego samego wniosku dla zamkniętych i ograniczonych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Stwierdza, że ​​​​malejąca sekwencja zagnieżdżona ${\ Displaystyle (C_ {k}) _ {k \ geq 0}}$ niepustych, zamkniętych i ograniczonych podzbiorów ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ma niepuste przecięcie.

Ta wersja wynika z ogólnego twierdzenia topologicznego w świetle twierdzenia Heinego-Borela , które stwierdza, że ​​zbiory liczb rzeczywistych są zwarte wtedy i tylko wtedy, gdy są domknięte i ograniczone. Jednak jest zwykle używany jako lemat w dowodzeniu wspomnianego twierdzenia i dlatego wymaga osobnego dowodu.

${k \ geq 0}}$ przykład, jeśli $,$ ( $k$ jest ${\ displaystyle \ {0 \}}$ . $nieograniczonych$ zarówno ciąg otwartych zbiorów ograniczonych ${\ Displaystyle C_ {k} = [k, \ infty}}$ zbiorów mają puste skrzyżowanie. Wszystkie te sekwencje są odpowiednio zagnieżdżone.

Ta wersja twierdzenia uogólnia na $zbiór$ -elementowych wektorów $liczb$ rzeczywistych, ale nie uogólnia na metryczne Na przykład w przestrzeni liczb wymiernych zbiory

${\ Displaystyle C_ {k} = [{\ sqrt {2}}, {\ sqrt {2}} + 1 / k ]=({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}+1/k)}$

są domknięte i ograniczone, ale ich przecięcie jest puste.

Zauważ, że nie jest to sprzeczne ani ze stwierdzeniem topologicznym, ponieważ zbiory $nie są zwarte, ani z poniższym wariantem,$ liczby wymierne nie są kompletne w stosunku do zwykłej metryki

Prostym następstwem twierdzenia jest to, że zbiór Cantora jest niepusty, ponieważ jest zdefiniowany jako przecięcie malejącej zagnieżdżonej sekwencji zbiorów, z których każdy jest zdefiniowany jako suma skończonej liczby przedziałów zamkniętych; stąd każdy z tych zbiorów jest niepusty, domknięty i ograniczony. W rzeczywistości zbiór Cantora zawiera niezliczoną ilość punktów.

Twierdzenie. Niech $0}}$ będzie sekwencją niepustych, zamkniętych i ograniczonych podzbiorów spełniających ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle C_ {0} \ supset C_ {1} \ supset \ cdots C_ {n} \ supset C_ {n + 1} \ cdots.}$

Następnie,

${\ Displaystyle \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {k} \ neq \ pusty zbiór.}$

Dowód. Każdy niepusty, zamknięty i ograniczony podzbiór dopuszcza minimalny element . $}$$displaystyle C_ {k} \ podzbiór \ mathbb {R$ \ Ponieważ dla każdego mamy ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle x_ {k + 1} \ w C_ {k + 1} \ podzbiór C_ {k}}$ ,

wynika, że

${\ Displaystyle x_ {k} \ równoważnik x_ {k + 1}}$ ,

więc ${\ Displaystyle (x_ {k}) _ {k \ geq 0}}$ jest rosnącą sekwencją zawartą w ograniczonym zbiorze ${\ displaystyle C_ {0}}$ . Twierdzenie o zbieżności monotonicznej dla ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych gwarantuje teraz istnienie punktu granicznego

${\ Displaystyle x = \ lim _ {k \ do \ infty} x_ {k}.}$

Dla ustalonego ${\ Displaystyle k}$ , ${\ Displaystyle x_ {j} \ w C_ {k}}$${\ displaystyle C_ {k}} jest$ wszystkich ${\ Displaystyle j \ geq k}$ i ponieważ do $\ displaystyle x \ in C_ {k}}$ i jest punktem granicznym, wynika z tego, że $x$ . Nasz wybór jest arbitralny, stąd $}}$ do $\$$k$$Displaystyle {\ textstyle \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} C_ {$ i dowód jest zakończony. ∎

Wariant w pełnych przestrzeniach metrycznych

W pełnej przestrzeni metrycznej zachodzi następujący wariant twierdzenia Cantora o przecięciu.

Twierdzenie. $}$ że jest kompletną przestrzenią metryczną i niepustych zamkniętych zagnieżdżonych podzbiorów $X$ których średnice dążą do zera: ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} \ nazwa operatora {średnica} (C_ {k}) = 0,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {diam} (C_ {k})}$ jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {średnica} (C_ {k}) = \ sup \ {d (x, y) \ środkowy x, y \ w C_ {k} \}.}$

Wtedy przecięcie zawiera dokładnie jeden punkt: $\ displaystyle C_ {k}}$

${\ Displaystyle \ bigcap _ {k = 1} ^ {\ infty} C_ {k} = \ {x \}}$

dla niektórych ${\ Displaystyle x \ w X}$ .

Dowód (szkic). Ponieważ średnice dążą do zera, średnica przecięcia wynosi zero, $więc jest albo pusta$ składa się z jednego punktu. Wystarczy więc pokazać, że nie jest ona pusta. Wybierz element dla każdego $x_ {k} \ in C_ {k}$${\ Displaystyle$ . Ponieważ średnica $dąży$ zera $tworzą$ zagnieżdżone $Cauchy'ego$ Ponieważ przestrzeń metryczna jest kompletna, ta sekwencja Cauchy'ego zbiega się do $pewnego$ . Ponieważ każdy $do$ zamknięty i ${\ displaystyle C_ {k}}$ granicą sekwencji w $displaystyle$ w $C_ {k}}$$\$ . Dotyczy $zawierać$$musi$$a$ zatem przecięcie _ ∎

Odwrotność tego twierdzenia jest również prawdziwa: jeśli jest przestrzenią metryczną z właściwością, że przecięcie dowolnej zagnieżdżonej rodziny niepustych podzbiorów zamkniętych, których średnice dążą do zera, jest niepuste, to $} displaystyle X}$$displaystyle X$ to pełna przestrzeń metryczna. $będzie$ Aby to udowodnić , ${k}}$$sekwencją$ Cauchy'ego $w$ będzie zamknięciem ogona ${\ Displaystyle (x_ {j}) _ {j \ geq k}}$ tej sekwencji.)

Zobacz też

• Twierdzenie Kuratowskiego o przecięciu

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Cantora o przecięciu” . MathWorld .
•   Jonathana Lewina. Interaktywne wprowadzenie do analizy matematycznej. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-01718-1 . Sekcja 7.8.