Twierdzenie Craméra-Wolda

W matematyce twierdzenie Craméra -Wolda w teorii miary stwierdza, że $​​miara$ Borela na jest jednoznacznie określona przez jej jednowymiarowych rzutów. Jest stosowana jako metoda dowodzenia wspólnych wyników zbieżności. Twierdzenie nosi imię Haralda Craméra i Hermana Ole Andreasa Wolda .

Pozwalać

${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {n} = (X_ {n1}, \ kropki, X_ {nk})}$

I

${\ Displaystyle \; {\ overline {X}} = (X_ {1}, \ kropki, X_ {k})}$

będą wektorami losowymi o wymiarze k . Wtedy ${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {n}}$ zbiega się w dystrybucji do ${\ Displaystyle {\ overline {X}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {k} t_ {i} X_ {ni} {\ overset {D} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ rightarrow}}} \ suma _ {i =1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

dla każdego ${\ Displaystyle (t_ {1}, \ kropki, t_ {k}) \ w \ mathbb {R} ^ {k}}$ , to znaczy, jeśli każdy ustalony liniowa kombinacja współrzędnych zbiega się w rozkładzie ${\ displaystyle {\ overline {X}$ odpowiednią liniową kombinacją współrzędnych $}$ }

Jeśli przyjmuje wartości w ${\$$Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {k}}$ również prawdziwe z ${\ Displaystyle (t_ {1}, \ kropki, t_ {k}) \ w \ mathbb {R} _ {+} ^ {k}}$ .

przypisy

• Ten artykuł zawiera materiał z twierdzenia Craméra-Wolda na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
•   Billingsley, Patrick (1995). Prawdopodobieństwo i miara (3 wyd.). John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-00710-4 .
• Cramér, Harald; Wold, Herman (1936). „Niektóre twierdzenia dotyczące funkcji dystrybucji”. Journal of London Mathematical Society . 11 (4): 290–294. doi : 10.1112/jlms/s1-11.4.290 .

Linki zewnętrzne

• Projekt Euclid: „Kiedy miara prawdopodobieństwa jest określona przez nieskończenie wiele projekcji?”