Twierdzenie Godunowa

W analizie numerycznej i obliczeniowej dynamice płynów twierdzenie Godunowa - znane również jako twierdzenie o barierze rzędu Godunowa - jest twierdzeniem matematycznym ważnym w rozwoju teorii schematów o wysokiej rozdzielczości do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych .

Twierdzenie stwierdza, że:

Liniowe schematy numeryczne do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych (PDE), mające właściwość niegenerowania nowych ekstremów (schemat monotoniczny), mogą być dokładne co najwyżej pierwszego rzędu.

Profesor Siergiej K. Godunow pierwotnie udowodnił to twierdzenie jako doktorant. student Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego . Jest to jego najbardziej wpływowa praca w dziedzinie matematyki stosowanej i numerycznej, która wywarła duży wpływ na naukę i inżynierię, zwłaszcza na rozwój metod stosowanych w obliczeniowej dynamice płynów (CFD) i innych dziedzinach obliczeniowych. Jednym z jego głównych wkładów było udowodnienie twierdzenia (Godunov, 1954; Godunov, 1959), które nosi jego imię.

Twierdzenie

Generalnie podążamy za Wesselingiem (2001).

Na bok

Załóżmy, że problem kontinuum opisany przez PDE ma zostać obliczony przy użyciu schematu numerycznego opartego na jednolitej siatce obliczeniowej i jednoetapowym, stałym rozmiarze kroku, punkcie siatki M , algorytmie całkowania, jawnym lub niejawnym. Wtedy jeśli $\, \ Delta t}$ $Δ x {\ Displaystyle x_ {j} = j \, \ Delta x}$ = jot można opisać wg

{\ Displaystyle \ suma \ ograniczenia _ {m = 1} ^ {M} {\ beta _ {m}} \ varphi _ {j + m} ^ {n + 1} = \ suma \ ograniczenia _ {m =1}^{M}{\alpha _{m}\varphi _{j+m}^{n}}.\quad \quad (1)}

Innymi słowy, rozwiązanie w czasie i lokalizacji $n + 1}$ \ $} ^ {$ $}$ funkcja rozwiązania w poprzednim kroku czasowym ${\ displaystyle n}$ . Zakładamy, że ${\ Displaystyle \ beta _ {m}}$ określa ${\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n + 1}}$ wyjątkowo. Teraz, ponieważ powyższe równanie reprezentuje liniową zależność między ${\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n + 1}}$ możemy wykonać przekształcenie liniowe, aby otrzymać następującą postać równoważną,

{\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n + 1} = \ suma \ ograniczenia _ {m} ^ {M} {\ gamma _ {m} \ varphi _ {j + m} ^ {n} }.\quad \quad (2)}

Twierdzenie 1: Zachowanie monotoniczności

Powyższy schemat równania (2) jest zachowaniem monotoniczności wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \ gamma _ {m} \ geq 0, \ quad \ forall m. \ quad \ quad (3)}

Dowód - Godunow (1959)

Przypadek 1: (stan wystarczający)

Załóżmy, że zastosowanie ma (3) i że monotonicznie rośnie z $}$ $}$ .

φ $równoważnik \ varphi _ {j + 1} ^ {n} \ równoważnik \ cdots \leq \varphi _{j+m}^{n}}$ stąd wynika, że ${\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n + 1} \ równoważnik \ varphi _ {j + 1} ^ {n + 1} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik \ varphi _ {j + m} ^ {n + 1 }}$ ponieważ

{\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n+1}-\varphi _{j-1}^{n+1}=\sum \limits _{m}^{M}{\gamma _{m}\left({\varphi _{j+ m}^{n}-\varphi _{j+m-1}^{n}}\right)}\geq 0.\quad \quad (4)}

Oznacza to, że dla tego przypadku zachowana jest monotoniczność.

Przypadek 2: (warunek konieczny)

Warunek konieczny dowodzimy przez sprzeczność. Załóżmy, że $\$ pewnego $<$ wybierz następujące monotonicznie rosnące $Displaystyle \ gamma _ {p} ^ {}$ ,

{\ Displaystyle \ varphi _ {i} ^ {n} = 0, \ quad i <k; \ quad \ varphi _ {i} ^ {n} = 1, \ quad i \ geq k. \ quad \ czworokąt (5)}

Następnie z równania (2) otrzymujemy

{\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {n + 1} - \ varphi _ {j-1} ^ {n + 1} = \ suma \ limity _ {m} ^ {M} {\ gamma _{m}}\left({\varphi _{j+m}^{n}-\varphi _{j+m-1}^{n}}\right)=\left\{{\begin{tablica }{*{20}c}{0,}&{\lewo[{j+m\neq k}\right]}\\{\gamma _{m},}&{\lewo[{j+m= k}\right]}\\\end{tablica}}\right.\quad \quad (6)}

Teraz $_$ _

{\ Displaystyle \ varphi _ {kp} ^ {n + 1 }-\varphi _{kp-1}^{n+1}={\gamma _{p}\left({\varphi _{k}^{n}-\varphi _{k-1}^{n }}\right)}<0,\quad \quad (7)}

co implikuje $,$ NIE rośnie Zatem monotoniczność NIE jest $co$ dla kończy .

Twierdzenie 2: Twierdzenie o barierze porządku Godunowa

Liniowe jednoetapowe dokładne schematy numeryczne drugiego rzędu dla równania konwekcji

{\ Displaystyle {{\ częściowe \ varphi} \ ponad {\ częściowe t}} + c {{\ częściowe \ varphi} \ ponad {\częściowe x}}=0,\quad t>0,\quad x\in \mathbb {R} \quad \quad (10)}

nie może zachowywać monotoniczności, chyba że

{\ Displaystyle \ sigma = \ lewo | c \ prawo | {{\ Delta t} \ ponad {\ Delta x}} \ w \ mathbb {N} \ quad \ quad ( 11)}

gdzie jest podpisanym $numerem warunku$ – Friedrichsa – Lewy'ego (CFL).

Dowód - Godunow (1959)

Załóżmy schemat numeryczny postaci opisanej równaniem (2) i wybierzmy

{\ Displaystyle \ varphi \ lewo ({0, x} \ prawej) = \ lewo ({{x \ ponad {\ Delta x}} - {1 \ ponad 2}} \ prawej) ^ {2} - {1 \over 4},\quad \varphi _{j}^{0}=\left({j-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}.\quad \quad (12)}

Dokładne rozwiązanie to

{\ Displaystyle \ varphi \ lewo ({t, x} \ prawej) = \ lewo ({{{x-ct} \ ponad {\ Delta x}} - {1 \ ponad 2}} \ prawo) ^ {2}-{1 \ponad 4}.\quad \quad (13)}

Jeśli założymy, że schemat jest dokładny co najmniej drugiego rzędu, powinien on dawać dokładnie następujące rozwiązanie

{\ Displaystyle \ varphi _ {j} ^ {1} = \ lewo ({j- \ sigma - {1 \ ponad 2}} \ prawo) ^ {2} - {1 \ ponad 4} \ quad \varphi _{j}^{0}=\left({j-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}.\quad \quad (14)}

Podstawiając do równania (2) otrzymujemy:

{\ Displaystyle \ lewo ({j- \ sigma - {1 \ ponad 2}} \ prawej) ^ {2} - {1 \ ponad 4} = \ suma \ limity _ {m} ^ {M} \gamma _{m}\left\{{\left({j+m-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}}\right\}}.\quad \ czworokąt (15)}

Załóżmy, że schemat IS zachowuje monotoniczność, a następnie zgodnie z twierdzeniem 1 powyżej ${\ Displaystyle \ gamma _ {m} \ geq 0}$ .

Teraz z równania (15) wynika, że

{\ Displaystyle \ lewo ({j- \ sigma - {1 \ ponad 2}} \ prawej) ^ {2} - {1 \ ponad 4} \ geq 0, \ quad \ forall j. \ quad \ quad (16)}

Załóżmy ${\ Displaystyle \ sigma > 0, \ quad \ sigma \ notin \ mathbb {N}}$ i wybierz takie, że ${\ Displaystyle j}$ ${\ Displaystyle j >\sigma >\left(j-1\right)}$ . Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ lewo ({j- \ sigma} \ prawej)> 0}$ i ${\ Displaystyle \ lewo ({j- \ sigma -1} \ prawo) <0}$ .

Z tego wynika, że

{\ Displaystyle \ lewo ({j- \ sigma - {1 \ ponad 2}} \ w prawo)^{2}-{1 \ponad 4}=\left(j-\sigma \right)\left(j-\sigma -1\right)<0,\quad \quad (17)}

co jest sprzeczne z równaniem (16) i kończy dowód.

Wyjątkowa sytuacja, w której $ma$ ponieważ być zrealizowane ze zmiennymi współczynnikami. Ponadto liczby całkowite CFL większe niż jedność nie byłyby wykonalne w przypadku problemów praktycznych.

Zobacz też

Godunow, Siergiej K. (1954), dr hab. Rozprawa: Różne metody fal uderzeniowych , Moskiewski Uniwersytet Państwowy.
Godunov, Sergei K. (1959), Schemat różnicowy dla numerycznego rozwiązania nieciągłego rozwiązania równań hydrodynamicznych, Mat. Sbornik, 47, 271-306 , przetłumaczone US Joint Publ. Rez. Usługa, JPRS 7226, 1969.
Wesseling, Pieter (2001), Zasady obliczeniowej dynamiki płynów , Springer-Verlag.

Dalsza lektura

Hirsch, C. (1990), Obliczenia numeryczne przepływów wewnętrznych i zewnętrznych , tom 2, Wiley.
Laney, Culbert B. (1998), Obliczeniowa dynamika gazów , Cambridge University Press.
Toro, EF (1999), Solvers Riemanna i metody numeryczne dla dynamiki płynów , Springer-Verlag.
Tannehill, John C. i in., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer , wyd. 2, Taylor i Francis.