Warunek Couranta-Friedrichsa-Lewy'ego

W matematyce warunek zbieżności według Couranta – Friedrichsa – Lewy'ego jest warunkiem koniecznym zbieżności podczas numerycznego rozwiązywania niektórych równań różniczkowych cząstkowych (zwykle hiperbolicznych PDE ). Powstaje w analizie numerycznej jawnych schematów integracji czasu , gdy są one używane do rozwiązania numerycznego. W konsekwencji krok czasowy musi być mniejszy niż określony czas w wielu jawnych symulacjach komputerowych marszu w czasie , w przeciwnym razie symulacja daje nieprawidłowe wyniki. Stan ten został nazwany na cześć Richarda Couranta , Kurta Friedrichsa i Hansa Lewy'ego , którzy opisali go w artykule z 1928 roku.

Opis heurystyczny

Zasada warunku polega na tym, że na przykład, jeśli fala porusza się po dyskretnej siatce przestrzennej i chcemy obliczyć jej amplitudę w dyskretnych krokach czasowych o równym czasie trwania, to czas trwania musi być krótszy niż czas przemieszczania się fali do sąsiednich punktów siatki. W związku z tym, gdy zmniejsza się odległość między punktami siatki, zmniejsza się również górna granica kroku czasowego. W istocie numeryczna dziedzina zależności dowolnego punktu w przestrzeni i czasie (określona przez warunki początkowe i parametry schematu aproksymacji) musi zawierać analityczną dziedzinę zależności (gdzie warunki początkowe mają wpływ na dokładną wartość rozwiązanie w tym momencie), aby zapewnić, że schemat może uzyskać dostęp do informacji wymaganych do utworzenia rozwiązania.

Oświadczenie

Aby w miarę precyzyjnie sformułować warunek, należy zdefiniować następujące wielkości:

• Współrzędna przestrzenna : jedna ze współrzędnych przestrzeni fizycznej , w której postawiono problem
• Wymiar przestrzenny problemu : liczba $wymiarów$ przestrzennych , tj. liczba współrzędnych przestrzennych przestrzeni fizycznej , w której postawiono problem Typowe wartości to ${\ displaystyle n = 1}$ , ${\ displaystyle n = 2}$ i ${\ displaystyle n = 3}$ .
• Czas : współrzędna działająca jako parametr opisujący ewolucję systemu, w odróżnieniu od współrzędnych przestrzennych

zmiennymi niezależnymi o wartościach dyskretnych , które są rozmieszczone w regularnych odległościach zwanych odpowiednio długością interwału i krokiem czasowym . Używając tych nazw, warunek CFL wiąże długość kroku czasowego z funkcją długości interwału każdej współrzędnej przestrzennej i maksymalnej prędkości, z jaką informacja może podróżować w przestrzeni fizycznej.

Pod względem operacyjnym warunek CFL jest powszechnie przepisywany dla tych warunków przybliżenia różnic skończonych ogólnych równań różniczkowych cząstkowych , które modelują zjawisko adwekcji .

Sprawa jednowymiarowa

W przypadku jednowymiarowym równanie modelu czasu ciągłego (które jest zwykle rozwiązywane dla ) jest następujące: ${\ displaystyle w}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe t}} = u {\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe x}}.}$

Warunek CFL ma wtedy następującą postać:

${\ Displaystyle C = {\ Frac {u \, \ Delta t} {\ Delta x}} \ równoważnik C_ {\ max}}$

gdzie bezwymiarowa liczba nazywana jest liczbą Couranta , do {\ displaystyle $}$

• ${\ displaystyle u}$ to wielkość prędkości (której wymiarem jest długość / czas)
• ${\ displaystyle \ Delta t}$ to krok czasu (którego wymiarem jest czas)
• ${\ Displaystyle \ Delta x}$ to przedział długości (którego wymiarem jest długość).

Wartość zmienia się wraz z metodą zastosowaną do rozwiązania równania dyskretyzowanego, zwłaszcza w zależności od tego, czy metoda jest $,$ niejawna . Jeśli używany $do$ solwer jawny (z marszem w czasie) . Rozwiązania $zwykle$ mniej wrażliwe na niestabilność numeryczną, dlatego większe wartości mogą być tolerowane

Dwuwymiarowy i ogólny przypadek n -wymiarowy

W przypadku dwuwymiarowym warunek CFL staje się

${\ Displaystyle C = {\ Frac {u_ {x} \, \ Delta t} {\ Delta x}} + {\ Frac {u_ { y}\,\Delta t}{\Delta y}}\równik C_{\max }}$

z oczywistym znaczeniem użytych symboli. Analogicznie do przypadku dwuwymiarowego, ogólny warunek CFL dla przypadku -wymiarowego jest następujący: ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle C = \ Delta t \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ prawej) \ równoważnik C_ {\maks.}.}$

Długość przedziału nie musi być taka sama dla każdej zmiennej przestrzennej ${\ Displaystyle \ Delta x_ {i}, i = 1, \ ldots, n}$ . Ten „ stopień swobody ” można wykorzystać do pewnej optymalizacji wartości kroku czasowego dla konkretnego problemu, zmieniając wartości różnych przedziałów, aby nie były one zbyt małe.

Notatki

•     Courant, R .; Friedrichs, K. ; Lewy, H. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik" , Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 100 (1): 32–74, Bibcode : 1928MatAn.100...32C , doi : 10.1007/BF01448839 , JFM 54.0486.01 , MR 1512478 , S2CID 120760331 .
• Courant, R .; Friedrichs, K. ; Lewy, H. (wrzesień 1956) [1928], O równaniach różnic cząstkowych fizyki matematycznej , AEC Research and Development Report, tom. NYO-7689, Nowy Jork: AEC Computing and Applied Mathematics Center – Courant Institute of Mathematical Sciences , s. V + 76, zarchiwizowane z oryginału w dniu 23 października 2008 r .: przetłumaczone z języka niemieckiego przez Phyllis Fox. To jest wcześniejsza wersja artykułu Courant, Friedrichs & Lewy 1967 , rozpowszechnianego jako raport z badań.
•    Courant, R .; Friedrichs, K. ; Lewy, H. (marzec 1967) [1928], „O równaniach różniczkowych cząstkowych fizyki matematycznej” , IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215–234, Bibcode : 1967IBMJ...11..215C , doi : 10.1147/rd.112.0215 , MR 0213764 , Zbl 0145.40402 . Bezpłatną kopię do pobrania można znaleźć tutaj .

• Carlos A. de Moura i Carlos S. Kubrusly (red.): „Stan Courant-Friedrichs-Lewy (CFL): 80 lat po jego odkryciu”, Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

Linki zewnętrzne

• Bakhvalov, NS (2001) [1994], „Warunek Courant – Friedrichs – Lewy” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Stan Courant-Friedrichs-Lewy” . MathWorld .