Twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda Taubera

W analizie matematycznej twierdzenie Hardy'ego -Littlewooda Taubera jest twierdzeniem Taubera odnoszącym asymptotyki sum częściowych szeregu z asymptotykami jego sumowania Abela . W tej formie twierdzenie stwierdza, że jeśli, jako y ↓ 0, nieujemna sekwencja a _n jest taka, że istnieje równoważność asymptotyczna

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {-ny} \ sim {\ Frac {1} {y} }}

wtedy istnieje również asymptotyczna równoważność

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n}

jako n → ∞. Całkowe analogiczny sposób asymptotykę skumulowanego rozkładu funkcji z asymptotyką jej transformaty Laplace'a .

Twierdzenie zostało udowodnione w 1914 roku przez GH Hardy'ego i JE Littlewooda . W 1930 roku Jovan Karamata przedstawił nowy i znacznie prostszy dowód.

Stwierdzenie twierdzenia

Formuła serii

Ten preparat pochodzi z firmy Titchmarsh. Załóżmy, że a _n ≥ 0 dla wszystkich n , a jako x ↑ 1 mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ sim {\ Frac {1} {1-x}}.}

Wtedy, gdy n dąży do ∞ mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n.}

_jest czasami cytowane w równoważnych postaciach, gdzie zamiast wymagać n ≥ 0, wymagamy n = O(1) lub wymagamy n _≥ − K dla pewnej stałej _K . Twierdzenie jest czasami cytowane w innym równoważnym sformułowaniu (poprzez zmianę zmiennej x = 1/ e ^y ). Jeżeli, jako y ↓ 0,

{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {-ny} \ sim {\ Frac {1} {y} }}

Następnie

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} \ sim n.}

Formuła integralna

Następujące bardziej ogólne sformułowanie pochodzi od Fellera. Rozważmy funkcję o wartościach rzeczywistych F : [0,∞) → R ograniczonej zmienności . Transformata Laplace'a-Stieltjesa F jest zdefiniowana przez całkę Stieltjesa

{\ Displaystyle \ omega (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-st} \, dF (t).}

Twierdzenie wiąże asymptotyki ω z asymptotykami F w następujący sposób. Jeśli ρ jest nieujemną liczbą rzeczywistą, to następujące stwierdzenia są równoważne

$rho}, \ quad {\ rm {{jak \} s \ do 0}}}$
${\ Displaystyle F (t) \ sim {\ Frac {C} {\ Gamma (\ rho + 1)}} t ^ {\ rho}, \ quad {\ rm {{as \} t \ do \ infty.} }}$

Tutaj Γ oznacza funkcję Gamma . Twierdzenie o szeregu otrzymuje się jako przypadek szczególny, przyjmując ρ = 1 i F ( t ) za stałą odcinkowo funkcję o wartości ${\ Displaystyle \ textstyle {\ suma _ {k = 0} ^ { n}a_{k}}}$ między t = n i t = n + 1.

Możliwa jest niewielka poprawa. Zgodnie z definicją wolnozmiennej funkcji , L ( x ) jest wolnozmienną w nieskończoności iff

{\ Displaystyle {\ Frac {L (tx)} {L (x)}} \ do 1, \ quad x \ do \ infty}

dla każdego dodatniego t . Niech L będzie funkcją powoli zmieniającą się w nieskończoności, a ρ nieujemną liczbą rzeczywistą. Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne

${\ Displaystyle \ omega (s) \ sim s ^ {- \ rho} L (s ^ {- 1}), \ quad {\ rm {{as\ }s\do 0}}}$
${\ Displaystyle F (t) \ sim {\ Frac {1} {\ Gamma (\ rho + 1)}} t ^ {\ rho} L (t), \ quad {\ rm {{as \} t \ do \infty .}}}$

Dowód Karamaty

Karamata (1930) znalazł krótki dowód twierdzenia, rozważając funkcje g takie, że

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 1} (1-x) \ suma a_ {n }x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt}

Proste obliczenie pokazuje, że wszystkie jednomiany g ( x ) = x ^k mają tę właściwość, a zatem wszystkie wielomiany g . Można to rozszerzyć do funkcji g z prostymi (skokowymi) nieciągłościami , aproksymując ją wielomianami z góry i z dołu (przy użyciu twierdzenia o aproksymacji Weierstrassa i trochę dodatkowego fałszowania) i wykorzystując fakt, że współczynniki a _n są dodatnie. W szczególności funkcja dana przez g ( t ₀ ) = 1/ t jeśli 1/ e < t < 1 i 0 w przeciwnym razie ma tę właściwość. Ale wtedy dla x = e ^{−1/ N} suma Σ a _n x ⁿ g ( x ⁿ ) wynosi a + ... + a _N , a całka g wynosi 1, z czego natychmiast wynika twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda.

Przykłady

Współczynniki niedodatnie

Twierdzenie może zawieść bez warunku, że współczynniki są nieujemne. Na przykład funkcja

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(1 + x) ^ {2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\ckropki }

jest asymptotyczna do 1/4(1– x ), ponieważ x dąży do 1, ale częściowe sumy jej współczynników wynoszą 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... i nie są asymptotyczne dla żadnej funkcji liniowej .

Rozszerzenie twierdzenia Taubera przez Littlewooda

W 1911 roku Littlewood udowodnił rozszerzenie odwrotności twierdzenia Abla Taubera . Littlewood wykazał, co następuje: Jeżeli a _n = O(1/ n ), a jako x ↑ 1 mamy