Wolno zmieniająca się funkcja

W analizie rzeczywistej , gałęzi matematyki , wolno zmieniająca się funkcja jest funkcją zmiennej rzeczywistej , której zachowanie w nieskończoności jest w pewnym sensie podobne do zachowania funkcji zbiegającej się w nieskończoności. Podobnie funkcja regularnie zmieniająca się jest funkcją zmiennej rzeczywistej, której zachowanie w nieskończoności jest podobne do zachowania funkcji potęgowej (jak wielomian ) w pobliżu nieskończoności. Te klasy funkcji zostały wprowadzone przez Jovana Karamatę i znalazły kilka ważnych zastosowań, na przykład w teorii prawdopodobieństwa .

Podstawowe definicje

. Mierzalną funkcję $L : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ nazywamy wolnozmienną (w nieskończoności), jeśli dla wszystkich $a > 0$ ,

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} {\ Frac {L (ax)} {L (x)}} = 1.}

. Niech $L : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ . Wtedy $L$ jest regularnie zmieniającą się funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ forall a> 0, g_ {L} (a)=\lim _{x\to \infty}{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}}$ . W szczególności granica musi być skończona.

Definicje te pochodzą od Jovana Karamaty .

Notatka. W regularnie zmieniającym się przypadku suma dwóch wolno zmieniających się funkcji jest ponownie wolno zmieniającą się funkcją.

Podstawowe właściwości

Regularnie zmieniające się funkcje mają pewne ważne właściwości: ich częściową listę przedstawiono poniżej. Szersze analizy właściwości charakteryzujących zmienność regularną przedstawiono w monografii Bingham, Goldie & Teugels (1987) .

Jednolitość zachowania ograniczającego

. Granica w definicjach 1 i 2 jest jednostajna , jeśli $a jest ograniczone do$ przedziału zwartego .

Twierdzenie o charakterystyce Karamaty

. Każda regularnie zmieniająca się funkcja $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ ma postać

{\ Displaystyle f (x) = x ^ {\ beta} L (x)}

Gdzie

$β$ jest liczbą rzeczywistą ,
$L$ jest wolnozmienną funkcją.

Uwaga . Oznacza to, że funkcja $g (a)$ w definicji 2 musi koniecznie mieć następującą postać

{\ Displaystyle g (a) = a ^ {\ rho}}

gdzie liczba rzeczywista $ρ$ nazywana jest wskaźnikiem regularnej zmienności .

Twierdzenie o reprezentacji Karamaty

. Funkcja $L$ zmienia się powoli wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $B > 0$ takie, że dla wszystkich $x \geq B$ funkcję można zapisać w postaci

{\ Displaystyle L (x) = \ exp \ lewo (\ eta (x) + \ int _ {B} ^ {x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}

Gdzie

$η (x)$ jest ograniczoną mierzalną funkcją zmiennej rzeczywistej zbiegającą się do liczby skończonej, gdy $x$ dąży do nieskończoności
$ε (x)$ jest ograniczoną mierzalną funkcją zmiennej rzeczywistej zbiegającą się do zera, gdy $x$ dąży do nieskończoności.

Przykłady

Jeśli $L$ jest mierzalną funkcją i ma granicę

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} L (x) = b \ in (0, \infty ),}

wtedy

L

jest wolnozmienną funkcją.

Dla dowolnego $β \in R$ , funkcja $L (x) = log β x$ powoli się zmienia.
Funkcja $L (x) = x$ nie zmienia się powoli, podobnie jak $L (x) = x β$ dla dowolnego rzeczywistego $β \neq 0$ . Jednak te funkcje regularnie się zmieniają.

Zobacz też

Analityczna teoria liczb
Twierdzenie tauberowskie Hardy'ego-Littlewooda i jego traktowanie przez Karamatę

Notatki

Bingham, NH (2001) [1994], "Teoria Karamata" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Bingham, NH; Goldie, CM; Teugels, JL (1987), Zmienność regularna , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 27, Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 0-521-30787-2 , MR 0898871 , Zbl 0617.26001
Galambos, J.; Seneta, E. (1973), „regularnie zmienne sekwencje”, Proceedings of the American Mathematical Society , 41 (1): 110–116, doi : 10.2307/2038824 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2038824 .