Twierdzenie Helly'ego-Braya

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Helly'ego -Braya wiąże słabą zbieżność skumulowanych funkcji dystrybucji ze zbieżnością oczekiwań pewnych mierzalnych funkcji . Jej nazwa pochodzi od Eduarda Helly'ego i Huberta Evelyn Bray.

Niech F i F ₁ , F ₂ , ... będą skumulowanymi dystrybuantami na prostej rzeczywistej . Twierdzenie Helly'ego-Braya stwierdza, że ​​jeśli F _n zbiega się słabo do F , to

$\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) \ dF_ {n} (x)\quad {\xrightarrow[{n\to \infty}]{}}\quad \int _{\mathbb {R}}g(x)\,dF(x)}$

dla każdej ograniczonej , ciągłej funkcji g : R → R , gdzie całki są całkami Riemanna – Stieltjesa .

Zauważmy, że jeśli X i X ₁ , X ₂ , ... są zmiennymi losowymi odpowiadającymi tym dystrybuantom, to z twierdzenia Helly’ego-Braya nie wynika, że ​​E( X _n ) → E( X ), ponieważ g ( x ) = x nie jest funkcją ograniczoną.

W rzeczywistości obowiązuje silniejsze i bardziej ogólne twierdzenie. Niech P i P ₁ , P ₂ , ... będą miarami prawdopodobieństwa na pewnym zbiorze S . Wtedy P _n jest słabo zbieżne do P wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ int _ {S} g \, dP_ {n} \ quad {\ xrightarrow [{n \ do \ infty}] {}} \ quad \int _{S}g\,dP,}$

dla wszystkich ograniczonych, ciągłych i rzeczywistych funkcji na S . (Całki w tej wersji twierdzenia to całki Lebesgue'a – Stieltjesa ).

Bardziej ogólne twierdzenie powyżej jest czasami traktowane jako definiujące słabą zbieżność miar (zob. Billingsley, 1999, s. 3).

1.   Patricka Billingsleya (1999). Zbieżność miar prawdopodobieństwa, wyd. 2 . John Wiley & Sons, Nowy Jork. ISBN 0-471-19745-9 .

Ten artykuł zawiera materiał z twierdzenia Helly-Bray na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .