Twierdzenie Leraya-Hirscha

W matematyce twierdzenie Leraya -Hirscha jest podstawowym wynikiem algebraicznej topologii wiązek włókien . Został nazwany na cześć Jeana Leraya i Guya Hirscha , którzy niezależnie udowodnili to pod koniec lat czterdziestych. Można to traktować jako łagodne uogólnienie wzoru Künnetha , który oblicza kohomologię przestrzeni iloczynu jako iloczyn tensorowy kohomologii czynników bezpośrednich. Jest to bardzo szczególny przypadek sekwencji widmowej Leraya .

Oświadczenie

Organizować coś

Niech ${\ displaystyle \ pi \ okrężnica E \ longrightarrow B}$ będzie wiązką włókien z włóknem fa $\ displaystyle F}$ . Załóżmy, że dla każdego $pojedyncza$ wymierna przestrzeń wektorowa kohomologii

${\ Displaystyle H ^ {p} (F) = H ^ {p} (F; \ mathbb {Q})}$

jest skończony wymiarowo i że inkluzja

${\ Displaystyle \ jota \ dwukropek F \ longrightarrow E}$

indukuje surjekcję w racjonalnej kohomologii

${\ Displaystyle \ jota ^ {*} \ dwukropek H ^ {*} (E) \ longrightarrow H ^ {*} (F)}$ .

Rozważ fragment tego suriekcji

${\ Displaystyle s \ dwukropek H ^ {*} (F) \ longrightarrow H ^ {*} (E)}$ ,

z definicji ta mapa spełnia wymagania

${\ Displaystyle \ jota ^ {*} \ circ s = \ operatorname {Id}}$ .

Izomorfizm Leraya-Hirscha

Twierdzenie Leraya-Hirscha stwierdza, że ​​mapa liniowa

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica}} H ^ {*} (F )\otimes H^{*}(B)&\longrightarrow &H^{*}(E)\\\alpha \otimes \beta &\longmapsto &s(\alpha )\smallsmile \pi ^{*}(\beta ) \end{tablica}}}$

jest izomorfizmem -modułów ${\ Displaystyle H ^ {*} (B)}$ .

Oświadczenie we współrzędnych

Innymi słowy, jeśli dla $każdego$ klasy

${\ Displaystyle c_ {1, p}, \ ldots, c_ {m_ {p}, p} \ w H ^ {p} (E) }$

które ograniczają, na każdym włóknie $do$ podstawy kohomologii w stopniu $H$ mapa podana poniżej jest zatem $(B)}$ ) ${*$ } moduły .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ccc} H ^ {*} (F) \ czasami H ^ {*} (B) i \ longrightarrow & H ^ {*} ( E)\\\suma _{i,j,k}a_{i,j,k}\iota ^{*}(c_{i,j})\czasami b_{k}&\longmapsto &\sum _{ i,j,k}a_{i,j,k}c_{i,j}\klin \pi ^{*}(b_{k})\end{tablica}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ {b_ {k} \}}$ jest podstawą dla ${\ Displaystyle H ^ {*} (B)}$ , a zatem indukuje podstawę ${\ Displaystyle \ {\ jota ^ {*} (c_ {i, j}) \ czasami b_ {k} \}}$ dla ${\ Displaystyle H ^ {*} (F) \ czasami H ^ {*} (B).}$