Twierdzenie Mortona

Twierdzenie Mortona to pokerowa zasada sformułowana przez Andy'ego Mortona na grupie dyskusyjnej poświęconej pokerowi w Usenecie . Stwierdza, że ​​w pulach wieloosobowych oczekiwania gracza mogą zostać zmaksymalizowane, jeśli przeciwnik podejmie właściwą decyzję.

Najczęstsze zastosowanie twierdzenia Mortona ma miejsce, gdy jeden gracz ma najlepszą rękę, ale dwóch lub więcej przeciwników ma remisy . W takim przypadku gracz z najlepszą ręką może na dłuższą metę zarobić więcej pieniędzy, gdy przeciwnik spasuje zakład, nawet jeśli ten przeciwnik spasuje poprawnie i popełniłby osobisty błąd, sprawdzając zakład. Ten rodzaj sytuacji jest czasami określany jako ukryta zmowa .

Twierdzenie Mortona kontrastuje z fundamentalnym twierdzeniem pokera , które mówi, że gracz chce, aby jego przeciwnicy podejmowali decyzje, które minimalizują jego własne oczekiwania. Te dwa twierdzenia różnią się w obecności więcej niż jednego przeciwnika: podczas gdy podstawowe twierdzenie zawsze odnosi się do heads-upa (jeden przeciwnik), nie zawsze ma zastosowanie w pulach wieloosobowych.

Zakres twierdzenia Mortona w sytuacjach wielokierunkowych jest przedmiotem kontrowersji. Morton wyraził przekonanie, że jego twierdzenie ma ogólne zastosowanie w pulach wieloosobowych, tak że podstawowe twierdzenie rzadko ma zastosowanie, z wyjątkiem sytuacji heads-up.

Przykład

Poniższy przykład przypisuje się Mortonowi, który jako pierwszy opublikował jego wersję na grupie dyskusyjnej Usenet rec.gambling.poker.

Załóżmy, że w Limit Hold'em gracz o imieniu Arnold ma A♦ K♣ , a flop to K♠ 9♥3♥ , co daje mu najwyższą parę z najlepszym kickerem . Kiedy licytacja na flopie jest zakończona, Arnoldowi pozostało dwóch przeciwników, Brenda i Charles. Arnold jest pewien, że Brenda ma drawa do koloru (na przykład A♥J♥ , co daje jej 9 outów ) i wierzy, że Charles ma drugą parę z losowym kickerem (na przykład Q♣9♣ , 4 outy — nie Q♥ ). Reszta talii oznacza zwycięstwo Arnolda. Karta na turnie to pozornie czysta karta (na przykład 6♦ ), a wielkość puli w tym momencie wynosi P , wyrażona w dużych zakładach.

Kiedy Arnold obstawia na turnie, Brenda, mając draw do koloru, na pewno sprawdzi i prawie na pewno uzyska odpowiednie pot oddsy , aby to zrobić. Kiedy Brenda sprawdza, Charles musi zdecydować, czy sprawdzić, czy spasować. Aby dowiedzieć się, jakie działanie powinien wybrać, obliczamy jego oczekiwania w każdym przypadku. Zależy to od liczby kart spośród pozostałych 42, które dadzą mu najlepszy układ, oraz aktualnej wielkości puli. (Tutaj, podobnie jak w argumentach z udziałem podstawowego twierdzenia, zakładamy, że każdy gracz ma pełne informacje o kartach swoich przeciwników.)

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Karol}} | {\ mbox {składanie}} \ prawej] = 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ lewo [{\ mbox {Charles}} | {\ mbox {dzwoniąc}} \ prawej] = {\ Frac { 4}{42}}\cdot (P+2)-{\frac {38}{42}}\cdot 1}$

Charles nic nie wygrywa ani nie traci przez spasowanie. Sprawdzając, wygrywa pulę w 4/42 przypadków i przegrywa jeden duży zakład w pozostałej części czasu. Zrównanie tych dwóch oczekiwań i rozwiązanie dla P pozwala nam określić wielkość puli, przy której jest on obojętny na sprawdzenie lub spasowanie:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Karol}} | {\ mbox {składanie}} \ prawej] = \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Karol}} | {\ mbox {wywołanie}} \ prawo]}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo P = 7,5 {\ mbox {duże zakłady}}}$

Kiedy pula jest większa niż ta, Charles powinien kontynuować; w przeciwnym razie spasowanie leży w jego najlepszym interesie.

Aby dowiedzieć się, jakie działanie ze strony Karola wolałby Arnold, obliczamy oczekiwanie Arnolda w ten sam sposób:

${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ lewo [{\ mbox {Arnold}} | {\ mbox {Charles fałdy}} \right]={\frac {42-9}{42}}\cdot (P+2)={\frac {33}{42}}\cdot (P+2)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Arnold}} | {\ mbox {Charles wzywa}} \ prawej] = { \frac {42-9-4}{42}}\cdot (P+3)={\frac {29}{42}}\cdot (P+3)}$

Oczekiwania Arnolda zależą w każdym przypadku od wielkości puli (innymi słowy, szanse na pulę, jakie otrzymuje Charles, rozważając jego sprawdzenie). Ustawienie tych dwóch równych pozwala nam obliczyć wielkość puli P , przy której Arnoldowi jest obojętne, czy Karol sprawdzi, czy spasuje:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Arnold}} | {\ mbox {Charles wzywa}} \ prawej] = \ nazwa operatora {E} \ lewo [{\ mbox {Arnold}} | {\ mbox {Charles pasuje}} \ prawo]}$

${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo P = 5,25 {\ mbox {duże zakłady}}}$

Kiedy pula jest mniejsza niż ta, Arnold zyskuje, gdy Charles goni, ale kiedy pula jest większa, oczekiwania Arnolda są wyższe, gdy Charles pasuje zamiast gonić.

W związku z tym istnieje szereg rozmiarów doniczek, w których oba:

(a) Charles może spasować, oraz (b) Arnold zarabia więcej pieniędzy, gdy Charles (poprawnie) pasuje, niż gdy (nieprawidłowo) goni.

Można to zobaczyć graficznie poniżej.

 | C POWINNO SKŁADAĆ |  C POWINIEN ZADZWONIĆ |  v |  CHCE C ZADZWONIĆ |  CHCE C spasować |  v +---+---+---+---+---+---+---+---+---> rozmiar puli   P  przy dużych zakładach 0 1 2 3 4 5 6 7 8 XXXXXXXXXX ^ „REGION PARADOKSYCZNY” 

Zakres rozmiarów puli oznaczony X to miejsce, w którym Arnold chce, aby Charles (C) poprawnie spasował, ponieważ traci oczekiwania, gdy Charles sprawdza nieprawidłowo.

Analiza

Zasadniczo, w powyższym przykładzie, kiedy Charles sprawdza w „regionie paradoksalnym”, płaci zbyt wysoką cenę za swój słaby ciąg, ale Arnold nie jest już jedynym dobroczyńcą tej wysokiej ceny — Brenda bierze teraz pieniądze Charlesa te czasy, kiedy Brenda dobiera do koloru. W porównaniu do sytuacji, w której Arnold gra jeden na jednego z Charlesem, Arnold nadal ryzykuje utratę całej puli, ale nie otrzymuje już 100% rekompensaty za luźne sprawdzenia Charlesa.

Istnienie tego środkowego obszaru rozmiarów puli, w którym gracz chce, aby przynajmniej część jego przeciwników poprawnie spasowała, wyjaśnia standardową strategię pokerową polegającą na przerzedzaniu pola tak bardzo, jak to możliwe, gdy gracz myśli, że ma najlepszą rękę. Nawet przeciwnicy z nieprawidłowymi drawami kosztują gracza pieniądze, gdy sprawdzają swoje zakłady, ponieważ część tych sprawdzań trafia do stosów innych przeciwników, którzy dobierają przeciwko nim.

Ponieważ Arnold traci oczekiwania po sprawdzeniu przez Charlesa, wynika z tego, że wszyscy pozostali przeciwnicy (tj. Brenda i Charles) muszą zyskać na sprawdzeniu przez Charlesa. Innymi słowy, gdyby Brenda i Charles spotkali się na parkingu po meczu i podzielili zyski, zmówiliby się przeciwko Arnoldowi. Jest to czasami określane jako ukryta zmowa . Powinno się to kontrastować z tym, co czasami nazywa się szkolnictwem . Szkolenia występuje, gdy wielu przeciwników poprawnie call przeciwko graczowi z najlepszą ręką, podczas gdy niejawna zmowa ma miejsce, gdy przeciwnik nieprawidłowo sprawdza przeciwko graczowi z najlepszą ręką.

Jednym z wniosków płynących z twierdzenia Mortona jest to, że w grze loose hold'em wartość rąk w kolorze rośnie, ponieważ są one dokładnie tym rodzajem rąk, które skorzystają na ukrytej zmowie.

Zobacz też

• Strategia pokera