Twierdzenie Ribeta

Twierdzenie Ribeta (wcześniej nazywane hipotezą epsilon lub hipotezą ε ) jest częścią teorii liczb . Dotyczy właściwości reprezentacji Galois związanych z formami modułowymi . Został zaproponowany przez Jean-Pierre'a Serre'a i sprawdzony przez Kena Ribeta . Dowód był znaczącym krokiem w kierunku dowodu ostatniego twierdzenia Fermata (FLT). Jak wykazali Serre i Ribet, hipoteza Taniyamy – Shimury (którego status był wówczas nierozwiązany) i hipoteza epsilon razem sugerują, że FLT jest prawdziwy.

Z matematycznego punktu widzenia twierdzenie Ribeta pokazuje, że jeśli reprezentacja Galois związana z krzywą eliptyczną ma pewne właściwości, to krzywa ta nie może być modułowa (w tym sensie, że nie może istnieć forma modułowa, która daje początek tej samej reprezentacji).

Oświadczenie

Niech $f$ będzie wagą 2 newform na $0 Γ (qN)$ – tj. poziomu $qN$ , gdzie $q$ nie dzieli $N$ – z absolutnie nieredukowalną dwuwymiarową reprezentacją mod $p Galois$ $ρ f,p$ nierozgałęzioną w $q$ jeśli $q \neq p$ i skończoną płaską w $q = str$ . Wtedy istnieje waga 2 nowej postaci $g$ poziomu $N$ taka, że

{\ Displaystyle \ rho _ {f, p} \ simeq \ rho _ {g, p}.}

szczególności , jeśli $E$ jest krzywą eliptyczną na $przewodzie$ , to twierdzenie o modułowości gwarantuje, że istnieje waga 2 newform $f$ $poziomu$ qN $taka$ , że dwuwymiarowa mod $p$ reprezentacja Galois $ρ f, p$ od $f$ jest izomorficzne z dwuwymiarową reprezentacją mod $p Galois$ $ρ E, p$ od $E$ . Aby zastosować Twierdzenie Ribeta do $ρ E, p$ , wystarczy sprawdzić nieredukowalność i rozgałęzienie $ρ E , p$ . Korzystając z teorii krzywej Tate'a , można udowodnić, że $ρ E, p$ jest nierozgałęzione w $q \neq p$ i skończone płaskie w $q = p$ , jeśli $p$ dzieli potęgę, do której $q$ pojawia się w minimalnym wyróżniku $Δ E$ . Wtedy z twierdzenia Ribeta wynika, że istnieje waga 2 nowa postać $g$ poziomu $N$ taka, że $ρ g, p \approx ρ E, p$ .

Obniżenie poziomu

Twierdzenie Ribeta mówi, że rozpoczęcie od krzywej eliptycznej $E$ przewodnika $qN$ nie gwarantuje istnienia krzywej eliptycznej $E'$ poziomu $N$ takiej, że $ρ E, p \approx ρ E', p$ . Nowa forma $g$ poziomu $N$ może nie mieć wymiernych współczynników Fouriera , a zatem może być powiązana z wielowymiarową rozmaitością abelową , a nie krzywą eliptyczną. Na przykład krzywa eliptyczna 4171a1 w bazie danych Cremona określona równaniem

{\ Displaystyle E: y ^ {2} + xy + y = x ^ {3} -663204x + 206441595}

z przewodnikiem $43 \times 97$ i wyróżnikiem $437 \times 97 3$ nie obniża poziomu mod 7 do eliptycznej krzywej przewodnika 97. Reprezentacja mod $p$ Galois jest raczej izomorficzna z reprezentacją mod $p$ Galois irracjonalnej nowej formy $g$ poziomu 97 .

Jednak dla $p$ wystarczająco dużego w porównaniu z poziomem $N$ nowej formy o obniżonym poziomie, racjonalna nowa forma (np. krzywa eliptyczna) musi obniżyć poziom do innej racjonalnej nowej formy (np. krzywa eliptyczna). W szczególności dla $p ≫ N N 1+ ε reprezentacja$ mod $p$ Galois wymiernej nowej formy nie może być izomorficzna z irracjonalną nową formą poziomu $N$ .

Podobnie hipoteza Freya- Mazura przewiduje, że dla odpowiednio dużego $p$ (niezależnego od przewodnika $N$ ), krzywe eliptyczne z reprezentacjami izomorficznym mod $p Galois są w rzeczywistości$ izogeniczne , a zatem mają ten sam przewodnik. Dlatego nie przewiduje się wystąpienia nietrywialnego obniżenia poziomu między racjonalnymi nowymi formami dla dużych $p (p > 17)$ .

Historia

W swojej pracy Yves Hellegouarch [ fr ] zapoczątkował pomysł powiązania rozwiązań ( a , b , c ) równania Fermata z innym obiektem matematycznym: krzywą eliptyczną. Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, a a , b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że

{\ Displaystyle a ^ {p} + b ^ {p} = c ^ {p},}

wówczas odpowiadająca jej krzywa Freya jest krzywą algebraiczną określoną przez równanie

{\ Displaystyle y ^ {2} = x (xa ^ {p}) (x + b ^ {p}).}

Jest to nieosobliwa krzywa algebraiczna rodzaju jeden zdefiniowana na $.$ $jej$ rzutowe zakończenie jest krzywą eliptyczną na

W 1982 roku Gerhard Frey zwrócił uwagę na niezwykłe właściwości tej samej krzywej, zwanej obecnie krzywą Freya . Zapewniło to pomost między Fermatem i Taniyamą , pokazując, że kontrprzykład dla FLT stworzyłby krzywą, która nie byłaby modułowa. Przypuszczenie wzbudziło duże zainteresowanie, gdy Frey zasugerował, że hipoteza Taniyamy – Shimury – Weila implikuje FLT. Jednak jego argumentacja nie była kompletna. W 1985 roku Jean-Pierre Serre zaproponował, że krzywa Freya nie może być modułowa i dostarczył częściowego dowodu. To pokazało, że dowód na półstabilny przypadek hipotezy Taniyamy-Shimury implikowałby FLT. Serre nie dostarczył pełnego dowodu, a brakujący fragment stał się znany jako hipoteza epsilon lub hipoteza ε. Latem 1986 roku Kenneth Alan Ribet udowodnił hipotezę epsilon, udowadniając w ten sposób, że hipoteza Taniyamy – Shimury – Weila implikuje FLT.

Implikacje

Załóżmy, że równanie Fermata z wykładnikiem $p \geq 5$ ma rozwiązanie w niezerowych liczbach całkowitych $a, b, c$ . Odpowiednia krzywa Freya $E a p, b p, c p$ jest krzywą eliptyczną, której minimalny wyróżnik $Δ$ $jest$ równy $2 -8 (abc) 2 p$ i której przewodnikiem $N$ jest rodnik abc , czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych dzielących $abc$ . Elementarne rozważenie równania $a p + b p = c p$ , wyjaśnia , że jedno z $a, b, c$ jest parzyste, a zatem N . Zgodnie z hipotezą Taniyamy – Shimury, $E$ jest modułową krzywą eliptyczną. Ponieważ wszystkie nieparzyste liczby pierwsze dzielące $a, b, c$ w $N pojawiają$ $p się$ jako moc w minimalnym wyróżniku $Δ$ , zgodnie z twierdzeniem Ribeta, powtarzalne zejście poziomu modulo $p$ usuwa wszystkie nieparzyste liczby pierwsze z przewodnika. Jednak żadne nowe formy poziomu 2 nie pozostają, ponieważ rodzaj krzywej modularnej $0 X (2)$ wynosi zero (a nowe formy poziomu N są różniczkami na $0 X (N))$ .

Zobacz też

Notatki

^ „Dowód ostatniego twierdzenia Fermata” . 2008-12-10. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2008-12-10.
Bibliografia _ Wójt, Isabel (2015). „Uprawnienia w sekwencjach Lucasa za pośrednictwem reprezentacji Galois”. Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 143 (3): 1027–1041. ar Xiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . MR 3293720 . S2CID 16892383 .
^ Hellegouarch, Yves (1972). „Równanie eliptyczne Courbesa i równanie Fermata”. Rozprawa doktorska . BNF 359121326 .
^ Frey, Gerhard (1982), „Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven” [Racjonalne punkty na krzywych Fermata i skręconych krzywych modułowych], J. Reine Angew. Matematyka (w języku niemieckim), 1982 (331): 185–191, doi : 10.1515/crll.1982.331.185 , MR 0647382 , S2CID 118263144
^ Frey, Gerhard (1986), „Powiązania między stabilnymi krzywymi eliptycznymi a niektórymi równaniami diofantycznymi”, Annales Universitatis Saraviensis. Seria Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387
Bibliografia _ (1987), „Lettre à J.-F. Mestre [List do J.-F. Mestre]”, Aktualne trendy w arytmetycznej geometrii algebraicznej (Arcata, Kalifornia, 1985) , Współczesna matematyka (po francusku), tom. 67, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 263–268, doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN 9780821850749 , MR 0902597
Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 05413-5 , ISSN 0012-7094 , MR 0885783
^ ^a ^b Ribet, Ken (1990). „O modułowych reprezentacjach Gal ( Q / Q ) wynikających z form modułowych” (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007/BF01231195 . MR 1047143 . S2CID 120614740 .

Kenneth Ribet, Od hipotezy Taniyamy-Shimury do ostatniego twierdzenia Fermata . Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 5, 11 nie. 1 (1990), s. 116–139.
Andrew Wiles (maj 1995). „Modułowe krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata” (PDF) . Roczniki matematyki . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559 .
Richard Taylor i Andrew Wiles (maj 1995). „Właściwości teorii pierścieni niektórych algebr Heckego” (PDF) . Roczniki matematyki . 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307/2118560 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118560 . OCLC 37032255 . Zbl 0823.11030 .
Krzywa Freya i twierdzenie Ribeta

Linki zewnętrzne

Ken Ribet i ostatnie twierdzenie Fermata, Kevin Buzzard , 28 czerwca 2008 r

[1] „Dowód ostatniego twierdzenia Fermata” . 2008-12-10. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2008-12-10.

[2] Bibliografia _ Wójt, Isabel (2015). „Uprawnienia w sekwencjach Lucasa za pośrednictwem reprezentacji Galois”. Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 143 (3): 1027–1041. ar Xiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . MR 3293720 . S2CID 16892383 .

[3] Hellegouarch, Yves (1972). „Równanie eliptyczne Courbesa i równanie Fermata”. Rozprawa doktorska . BNF 359121326 .

[4] Frey, Gerhard (1982), „Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven” [Racjonalne punkty na krzywych Fermata i skręconych krzywych modułowych], J. Reine Angew. Matematyka (w języku niemieckim), 1982 (331): 185–191, doi : 10.1515/crll.1982.331.185 , MR 0647382 , S2CID 118263144

[5] Frey, Gerhard (1986), „Powiązania między stabilnymi krzywymi eliptycznymi a niektórymi równaniami diofantycznymi”, Annales Universitatis Saraviensis. Seria Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387

[6] Bibliografia _ (1987), „Lettre à J.-F. Mestre [List do J.-F. Mestre]”, Aktualne trendy w arytmetycznej geometrii algebraicznej (Arcata, Kalifornia, 1985) , Współczesna matematyka (po francusku), tom. 67, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 263–268, doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN 9780821850749 , MR 0902597

[7] Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 05413-5 , ISSN 0012-7094 , MR 0885783

[ribet-8] Ribet, Ken (1990). „O modułowych reprezentacjach Gal ( Q / Q ) wynikających z form modułowych” (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007/BF01231195 . MR 1047143 . S2CID 120614740 .