Twierdzenie Schreiera o udoskonaleniu

W matematyce twierdzenie Schreiera o udoskonaleniu teorii grup stwierdza, że ​​​​dowolne dwa podnormalne szeregi podgrup danej grupy mają równoważne udoskonalenia, przy czym dwa szeregi są równoważne, jeśli istnieje bijekcja między ich grupami czynników , która wysyła każdą grupę czynników do grupy izomorficznej .

Twierdzenie nosi imię austriackiego matematyka Otto Schreiera , który udowodnił je w 1928 roku. Zapewnia elegancki dowód twierdzenia Jordana-Höldera . Często dowodzi się tego za pomocą lematu Zassenhausa . Baumslag (2006) podaje krótki dowód, przecinając wyrazy z jednej serii podnormalnej z wyrazami z drugiej serii.

Przykład

Z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ razy S_ {3}}$$symetryczną$ grupą stopnia 3 . Grupa naprzemienna jest normalną podgrupą , więc mamy dwie serie podnormalne $\$$A_ {3}}$

${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy \ {(1) \} \; \ lewy trójkąt \; \ mathbb { Z} _{2}\razy \{(1)\}\;\trójkąt w lewo \;\mathbb {Z} _{2}\razy S_{3},}$

${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy \ {(1) \} \; \ lewy trójkąt \; \ {0 \} \ razy A_ {3} \; \ lewy trójkąt \; \ mathbb {Z} _ { 2}\razy S_{3},}$

z odpowiednimi grupami czynników ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {2}, S_ {3})}$ i ${\ Displaystyle (A_ {3} ,\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$ . Dwie serie podnormalne nie są równoważne, ale mają równoważne uściślenia:

${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy \ {(1) \} \; \ trójkąt w lewo \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\trigangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\trigangleleft \;\mathbb { Z} _{2}\razy S_{3}}$

z grupami czynników izomorficznymi do ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {2}, A_ {3} \ mathbb {Z} _ {2})}$

${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy \ {(1) \} \; \ lewy trójkąt \; \ {0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

z grupami czynników izomorficznymi do ${\ Displaystyle (A_ {3}, \ mathbb {Z} _ {2}, \ mathbb {Z} _ {2})}$ .

•   Baumslag, Benjamin (2006), „Prosty sposób udowodnienia twierdzenia Jordana-Höldera-Schreiera”, American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092 , JSTOR 27642092