Twierdzenie Wolstenholme'a

W matematyce twierdzenie Wolstenholme'a stwierdza, że dla liczby pierwszej kongruencja ${\ Displaystyle p \ geq 5}$

{\ Displaystyle {2p-1 \ wybierz p-1} \ równoważnik 1 {\ pmod {p ^ {3}}}}

posiada, gdzie nawiasy oznaczają współczynnik dwumianowy . Na przykład przy p = 7 oznacza to, że 1716 to o jeden więcej niż wielokrotność 343. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez Josepha Wolstenholme'a w 1862 roku. W 1819 roku Charles Babbage wykazał tę samą kongruencję modulo p ² , która zachodzi dla ${\ displaystyle p \ geq 3}$ . Równoważnym sformułowaniem jest kongruencja

{\ Displaystyle {ap \ wybierz bp} \ równoważnik {a \ wybierz b} {\ pmod {p ^ {3}}}}

dla $geq 5}$ $JWL$ \ , co jest zasługą Wilhelma Ljunggrena szczególnym przypadku Glaisher ^{[ potrzebne źródło ]} ) i jest inspirowane przez Lucasa ' twierdzenie .

Żadne znane liczby złożone nie spełniają twierdzenia Wolstenholme'a i przypuszcza się, że ich nie ma (patrz poniżej). Liczba pierwsza, która spełnia modulo kongruencji p ⁴ , nazywana jest liczbą pierwszą Wolstenholme'a (patrz poniżej).

Jak ustalił sam Wolstenholme, jego twierdzenie można również wyrazić jako parę kongruencji dla (uogólnionych) liczb harmonicznych :

{\ Displaystyle 1 + {1 \ ponad 2} + {1 \ ponad 3} + \ kropki + {1 \ ponad p- 1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}{\mbox{i}}}

{\ Displaystyle 1 + {1 \ ponad 2 ^ {2}} + {1 \ ponad 3 ^ {2}} + \ kropki + {1 \ ponad (p-1) ^ {2}} \ równoważnik 0 {\ pmod {P}}.}

(Kongruencje z ułamkami mają sens, pod warunkiem, że mianowniki są względnie pierwsze w stosunku do modułu). Na przykład, przy p = 7, pierwsza z nich mówi, że licznik 49/20 jest wielokrotnością 49, a druga mówi, że licznik 5369/3600 jest wielokrotnością 7.

liczby pierwsze Wolstenholme'a

Liczbę pierwszą p nazywamy liczbą pierwszą Wolstenholme'a, jeśli spełniony jest następujący warunek:

{\ Displaystyle {{2p-1} \ wybierz {p-1}} \ równoważnik 1 {\ pmod {p ^ {4}}}.}

Jeśli p jest liczbą pierwszą Wolstenholme'a , to twierdzenie Glaishera zachodzi modulo p ⁴ . Jedynymi znanymi jak dotąd liczbami pierwszymi Wolstenholme'a są 16843 i 2124679 (sekwencja A088164 w OEIS ); każda inna liczba pierwsza Wolstenholme'a musi być większa niż 10 ⁹ . Wynik ten jest zgodny z heurystycznym argumentem , że reszta modulo p ⁴ jest pseudolosową wielokrotnością p ³ . Ta heurystyka przewiduje, że liczba liczb pierwszych Wolstenholme'a między K i N wynosi w przybliżeniu ln ln N - ln ln K . Warunek Wolstenholme'a został sprawdzony do 10 ⁹ , a heurystyka mówi, że między 10 ⁹ a 10 ^{24 powinna być mniej więcej jedna liczba pierwsza Wolstenholme'a} . Podobna heurystyka przewiduje, że nie ma liczb pierwszych „podwójnie Wolstenholme'a”, dla których kongruencja zachodziłaby modulo p ⁵ .

Dowód twierdzenia

Istnieje więcej niż jeden sposób udowodnienia twierdzenia Wolstenholme'a. Oto dowód, który bezpośrednio ustala wersję Glaishera, używając zarówno kombinatoryki, jak i algebry.

Na razie niech p będzie dowolną liczbą pierwszą i niech aib będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Wtedy zbiór A z elementami ap można podzielić na pierścienie o długości p , które można obracać oddzielnie. Zatem a - krotna suma bezpośrednia grupy cyklicznej rzędu p działa na zbiór A , a co za tym idzie na zbiór podzbiorów o rozmiarze bp . Każda orbita tego działania grupowego ma p ^k elementów, gdzie k jest liczbą niekompletnych pierścieni, tj. jeśli istnieje k pierścieni, które tylko częściowo przecinają podzbiór B na orbicie. Istnieją $rozmiarze$ 1 i nie ma p . W ten sposób najpierw otrzymujemy twierdzenie Babbage'a

{\ Displaystyle {ap \ wybierz bp} \ równoważnik {a \ wybierz b} {\ pmod {p ^ {2}}}.}

Badając orbity o rozmiarze p ² , również otrzymujemy

{\ Displaystyle {ap \ wybierz bp} \ równoważnik {a \ wybierz b} + {a \ wybierz 2} \ lewo ({2p \ wybierz p} -2 \ prawej) {a-2 \ wybierz b-1} {\ pmod {p^{3}}}.}

Wśród innych konsekwencji równanie to mówi nam, że przypadek a=2 i b=1 implikuje ogólny przypadek drugiej postaci twierdzenia Wolstenholme'a.

Przechodząc od kombinatoryki do algebry, obie strony tej kongruencji są wielomianami w a dla każdej ustalonej wartości b . Kongruencja zachodzi zatem, gdy a jest dowolną liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną, pod warunkiem, że b jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą. W szczególności, jeśli a=-1 i b=1 , kongruencja staje się

{\ Displaystyle {- p \ wybierz p} \ równoważnik {-1 \ wybierz 1} + {-1 \ wybierz 2} \ lewo ({2 p \ wybierz p} -2 \ prawej) {\ pmod {p ^ {3} }}.}

Ta zgodność staje się równaniem dla ${\ Displaystyle \ textstyle {2 p \ wybierz p}}$ przy użyciu relacji

{\ Displaystyle {-p \ wybierz p} = {\ Frac {(-1) ^ {p}} {2}} {2p \ wybierz p}.}

Kiedy p jest nieparzyste, relacja jest

{\ Displaystyle 3 {2p \ wybierz p} \ równoważnik 6 {\ pmod {p ^ {3}}}.}

Kiedy p ≠3, możemy podzielić obie strony przez 3, aby zakończyć argument.

Ustala to podobne wyprowadzenie modulo p ⁴

{\ Displaystyle {ap \ wybierz bp} \ równoważnik {a \ wybierz b} {\ pmod {p ^ {4}}}}

dla wszystkich dodatnich a i b wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi, gdy a=2 i b=1 , tj. wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą Wolstenholme'a.

Odwrotność jako przypuszczenie

Przypuszcza się, że jeśli

{\ Displaystyle {2n-1 \ wybierz n-1} \ równoważnik 1 {\ pmod {n ^ {k}}}}

()

gdy k=3 , to n jest liczbą pierwszą. Hipotezę można zrozumieć, biorąc pod uwagę k = 1 i 2, a także 3. Gdy k = 1, twierdzenie Babbage'a implikuje, że zachodzi dla n = p ² dla p nieparzystej liczby pierwszej, podczas gdy twierdzenie Wolstenholme'a implikuje, że zachodzi dla n = p ³ dla p > 3 i zachodzi dla n = p ^{4 ,} jeśli p jest liczbą pierwszą Wolstenholme'a. Gdy k = 2, zachodzi dla n = p ² , jeśli p jest liczbą pierwszą Wolstenholme'a. Te trzy liczby, 4 = 2 ² , 8 = 2 ³ i 27 = 3 ³ nie są utrzymywane dla ( 1 ) przy k = 1, ale wszystkie inne liczby pierwsze kwadratowe i sześcienne są utrzymywane przez ( 1 ) przy k = 1. Wiadomo, że tylko 5 innych wartości złożonych (ani kwadratu pierwszego, ani sześcianu) n zachodzi dla ( 1 ) przy k = 1, nazywa się je Są to liczby pseudopierwsze Wolstenholme'a

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (sekwencja A082180 w OEIS )

Pierwsze trzy nie są potęgami pierwszymi (sekwencja A228562 w OEIS ), dwie ostatnie to 16843 ⁴ i 2124679 ⁴ , 16843 i 2124679 to liczby pierwsze Wolstenholme'a (sekwencja A088164 w OEIS ). Poza tym, z wyjątkiem 16843 ² i 2124679 ² , żadne kompozyty nie są znane z utrzymywania ( 1 ) przy k = 2, a tym bardziej k = 3. Tak więc hipoteza jest uważana za prawdopodobną, ponieważ kongruencja Wolstenholme'a wydaje się nadmiernie ograniczona i sztuczna dla liczb złożonych. Co więcej, jeśli kongruencja zachodzi dla jakiegokolwiek szczególnego n innego niż liczba pierwsza lub potęga pierwsza i dla dowolnego konkretnego k , nie oznacza to, że

{\ Displaystyle {an \ wybierz bn} \ równoważnik {a \ wybierz b} {\ pmod {n ^ {k}}}.}

Liczba liczb pseudopierwszych Wolstenholme'a do wynosi $O$ ( $Displaystyle O (x ^ {1/2} \ log (\ log (x$ , więc suma odwrotności tych liczb jest zbieżna. Stała wynika z istnienia tylko trzech liczb pseudopierwszych Wolstenholme'a do $10$ $^ {12}}$ . Liczba liczb pseudopierwszych Wolstenholme'a do $najwyżej$ co najmniej 7, jeśli suma jej odwrotności była rozbieżna, a ponieważ nie jest to spełnione, funkcja zliczania tych liczb pseudopierwszych wynosi co ${\ Displaystyle O (x ^ {1/2} \ log (\ log (x)) ^ {C})}$ dla jakiejś wydajnie obliczalnej stałej ${\ Displaystyle C}$ ; możemy wziąć ${\ Displaystyle C}$ jako 499712.

Uogólnienia

Leudesdorf udowodnił, że dla dodatniej liczby całkowitej n względnie pierwszej równej 6 zachodzi następująca kongruencja:

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1 \ na szczycie (i, n) = 1} ^ {n-1} {\ Frac {1} {i}} \ równoważnik 0 {\ pmod {n ^ {2}}} .}

Zobacz też

Notatki

Babbage, C. (1819), „Wykazanie twierdzenia dotyczącego liczb pierwszych” , The Edinburgh Philosophical Journal , 1 : 46–49 .
Glaisher, JWL (1900), „Kongruencje odnoszące się do sum iloczynów pierwszych n liczb i innych sum iloczynów” , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 1–35 .
Glaisher, JWL (1900), „Reszty współczynników twierdzeń dwumianowych w odniesieniu do p ³ ”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 110–124 .
Glaisher, JWL (1900), „O resztach sum iloczynów pierwszych liczb p-1 i ich potęgach do modułu p ² lub p ³ ”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 321– 353 .
Granville, Andrew (1997), „Współczynniki dwumianowe modulo moce pierwsze” (PDF) , Canadian Mathematical Society Conference Proceedings , 20 : 253–275, MR 1483922 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2017-02-02 .
McIntosh, RJ (1995), „Na odwrotności twierdzenia Wolstenholme'a” (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (4): 381–389, doi : 10,4064 / aa-71-4-381-389 .
R. Mestrovic, Twierdzenie Wolstenholme'a: jego uogólnienia i rozszerzenia w ciągu ostatnich stu pięćdziesięciu lat (1862—2012) .
Wolstenholme, Joseph (1862), „O pewnych właściwościach liczb pierwszych” , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 5 : 35–39 .

Linki zewnętrzne