Twierdzenie optyczne

W fizyce twierdzenie optyczne jest ogólnym prawem teorii rozpraszania fal , które wiąże amplitudę rozpraszania do przodu z całkowitym przekrojem rozpraszacza. Zwykle jest zapisany w formie

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {tot}} = {\ Frac {4 \ pi} {k}} ~ \ operatorname {Im} \, f ( 0)}$

gdzie f (0) to amplituda rozpraszania pod kątem równym zero, czyli amplituda fali rozpraszanej do środka odległego ekranu, a k to wektor falowy w kierunku padania.

Ponieważ twierdzenie optyczne wywodzi się tylko z zasady zachowania energii lub w mechanice kwantowej z zasady zachowania prawdopodobieństwa , twierdzenie optyczne ma szerokie zastosowanie, aw mechanice kwantowej ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {tot}} }$ obejmuje zarówno rozpraszanie elastyczne , jak i nieelastyczne.

Uogólnione twierdzenie optyczne , wyprowadzone po raz pierwszy przez Wernera Heisenberga , dopuszcza dowolne kierunki wychodzące k' :

${\ Displaystyle \ int f (\ mathbf {\ kapelusz {k}} ', \ mathbf {\ kapelusz {k}} '') f (\ mathbf {\ kapelusz {k}} '', \ mathbf {\ kapelusz { k}} )~d\mathbf {\kapelusz {k}} ''={\frac {4\pi}}{k}}\mathrm {Im} ~f(\mathbf {\kapelusz {k}} ',\ mathbf {\ kapelusz {k}} ).}$

Oryginalne twierdzenie optyczne jest odzyskiwane, pozwalając ${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {k}} '= \ mathbf {\ kapelusz {k}}}$ .

Historia

Twierdzenie optyczne zostało pierwotnie opracowane niezależnie przez Wolfganga Sellmeiera i Lorda Rayleigha w 1871 roku. Lord Rayleigh rozpoznał amplitudę rozpraszania do przodu na podstawie współczynnika załamania światła jako

${\ Displaystyle n = 1 + 2 \ pi {\ Frac {Nf (0)} {k ^ {2}}}}$

(gdzie N to gęstość liczbowa rozpraszaczy), której użył w badaniu koloru i polaryzacji nieba.

Równanie zostało później rozszerzone na teorię rozpraszania kwantowego przez kilka osób i stało się znane jako relacja Bohra – Peierlsa – Placzka po artykule z 1939 roku. Po raz pierwszy został nazwany „twierdzeniem optycznym” w druku w 1955 roku przez Hansa Bethe i Frederica de Hoffmanna , po tym, jak przez pewien czas był znany jako „dobrze znane twierdzenie optyki”.

Pochodzenie

Twierdzenie to można wyprowadzić raczej bezpośrednio z traktowania fali skalarnej . Jeśli fala płaska pada na obiekt wzdłuż dodatniej osi z, wówczas amplituda rozpraszania fali w dużej odległości od rozpraszacza jest w przybliżeniu określona wzorem

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ około e ^ {ikz} + f (\ teta) {\ Frac {e ^ {ikr}} {r}}.}$

$. Dla$ znikają szybciej niż , a więc pomijalne z dużej $daje$ wartości i dla małych kątów nam rozwinięcie Taylora

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ około z + {\ Frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2z} }.}$

Chcielibyśmy teraz wykorzystać fakt, że $intensywność$ jest proporcjonalna do amplitudy . Przybliżając , mamy ${\ displaystyle 1/r}$ jak ${\ displaystyle 1/z}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | \ psi | ^ {2} & \ około \ lewo | e ^ {ikz} + {\ Frac {f (\ theta)}} {z}} e ^ {ikz} e ^ {ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik( x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2 })/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{wyrównane}}}$

Jeśli odrzucimy termin $} {c}}$ wykorzystamy fakt, że $Re$$c ^ {*} = 2 \ operatorname$ , mamy

${\ Displaystyle | \ psi | ^ {2} \ około 1 + 2 \ nazwa operatora {Re} {\ lewo [{\ Frac {f (\ theta)} {z}} e ^ {ik (x ^ {2} + y^{2})/2z}\prawo]}.}$

Załóżmy teraz, że całkujemy na ekranie daleko w płaszczyźnie xy , która jest wystarczająco mała, aby przybliżenia pod małymi kątami były odpowiednie, ale wystarczająco duża, abyśmy mogli scałkować intensywność po ${\ displaystyle - \ infty}$ do ${ \displaystyle \infty }$ w x i y z pomijalnym błędem. W optyce jest to równoważne zsumowaniu wielu prążków obrazu dyfrakcyjnego . Aby jeszcze bardziej uprościć sprawę, przybliżmy ${\ Displaystyle f (\ teta) = f (0)}$ . uzyskujemy

${\ Displaystyle \ int | \ psi | ^ {2} \, dx \, dy \ około A + 2 \ nazwa operatora {Re} \ lewo [{\ Frac {f (0)}} {z}} \ int _ {- \infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

gdzie A jest obszarem powierzchni scałkowanej. Chociaż są to całki niewłaściwe, poprzez odpowiednie podstawienia wykładnicze można przekształcić w zespolone gaussy i obliczyć całki oznaczone, w wyniku czego:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int | \ psi | ^ {2} \, da & = A + 2 \ nazwa operatora {Re} \ lewo [{\ Frac {f (0)}} {z}} \, { \frac {2\pi iz}{k}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{ wyrównany}}}$

Jest to prawdopodobieństwo dotarcia do ekranu, gdyby żaden nie został rozproszony, pomniejszone o pewną ilość ${\ Displaystyle (4 \ pi / k) \ nazwa operatora {Im} [f (0) ]}$ , który jest zatem efektywnym przekrojem poprzecznym rozpraszacza.

Zobacz też

• macierz S

• Rogera G. Newtona (1976). „Twierdzenie optyczne i nie tylko”. Jestem. J. Fiz . 44 (7): 639–642. Bibcode : 1976AmJPh..44..639N . doi : 10.1119/1.10324 .
•   Johna Davida Jacksona (1999). Elektrodynamika klasyczna . Firma Drukarnia Hamilton. ISBN 0-471-30932-X .