Unitarna sztuczka

W matematyce trik unitarny jest narzędziem w teorii reprezentacji grup Liego , wprowadzonym przez Adolfa Hurwitza ( 1897 ) dla specjalnej grupy liniowej i przez Hermanna Weyla dla ogólnych grup półprostych. Stosuje się to do wykazania, że teoria reprezentacji pewnej grupy G jest jakościowo kontrolowana przez teorię innej zwartej grupy K . Ważnym przykładem jest to, w którym G jest złożoną ogólną grupą liniową , a K grupa unitarna działająca na wektorach tego samego rozmiaru. Z faktu, że reprezentacje K są całkowicie redukowalne , to samo wnioskuje się dla reprezentacji G , przynajmniej w skończonych wymiarach.

Związek między G i K , który napędza to połączenie, jest tradycyjnie wyrażany w kategoriach, że algebra Liego K jest rzeczywistą formą algebry G. W teorii grup algebraicznych można również przyjąć zależność, że K jest gęstym podzbiorem G dla topologii Zańskiego .

Sztuczka działa w przypadku redukcyjnych grup Liego , których ważnym przypadkiem są półproste grupy Liego .

Twierdzenie Weyla

Całkowita redukowalność skończenie wymiarowych reprezentacji liniowych grup zwartych lub połączonych półprostych grup Liego i złożonych półprostych algebr Liego nosi czasem nazwę twierdzenia Weyla . Powiązany wynik, że uniwersalne pokrycie zwartej półprostej grupy Liego jest również zwarte, również nosi tę samą nazwę.

Historia

Adolf Hurwitz pokazał, jak całkowanie po zwartej grupie Liego można wykorzystać do konstruowania niezmienników w przypadku grup unitarnych i zwartych grup ortogonalnych . Issai Schur w 1924 roku wykazał, że tę technikę można zastosować do pokazania całkowitej redukowalności reprezentacji dla takich grup poprzez konstrukcję niezmiennego iloczynu wewnętrznego. Weyl rozszerzył metodę Schura na złożone półproste algebry Liego, pokazując, że mają one zwartą postać rzeczywistą .

Notatki

VS Varadarajan, Wprowadzenie do analizy harmonicznej na półprostych grupach Liego (1999), s. 49.
Wulf Rossmann, Grupy Liego: wprowadzenie przez grupy liniowe (2006), s. 225.
Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symetria, reprezentacje i niezmienniki (2009), s. 171.
Hurwitz, A. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Getynga : 71–90