Uniwersalna zmienna formuła

W mechanice orbitalnej formuła zmiennej uniwersalnej jest metodą stosowaną do rozwiązania problemu Keplera dwóch ciał . Jest to uogólniona postać Równania Keplera , rozszerzająca je tak, aby dotyczyło nie tylko orbit eliptycznych , ale także orbit parabolicznych i hiperbolicznych . Ma zatem zastosowanie w wielu sytuacjach w Układzie Słonecznym , gdzie występują orbity o bardzo różnych ekscentrycznościach .

Wstęp

₀ Powszechny problem w mechanice orbitalnej jest następujący: mając dane ciało na orbicie i czas t , znajdź położenie ciała w dowolnym innym zadanym czasie t . W przypadku orbit eliptycznych o stosunkowo małej ekscentryczności rozwiązanie równania Keplera metodami takimi jak metoda Newtona daje odpowiednie wyniki. Jednak w miarę jak orbita staje się coraz bardziej ekscentryczna, iteracja numeryczna może zacząć zbiegać się lub wcale. Ponadto nie można zastosować równania Keplera orbity paraboliczne i hiperboliczne , ponieważ jest specjalnie dostosowany do orbit eliptycznych.

Pochodzenie

Chociaż równania podobne do równania Keplera można wyprowadzić dla orbit parabolicznych i hiperbolicznych , wygodniej jest wprowadzić nową zmienną niezależną w miejsce anomalii mimośrodowej E i mieć jedno równanie, które można rozwiązać niezależnie od ekscentryczności orbity. orbita. Nowa zmienna s jest zdefiniowana przez następujące równanie różniczkowe :

$${\ Displaystyle {\ Frac {ds} {dt}} = {\ Frac {1} {r}}}$$

gdzie ${\ displaystyle r = r (t)}$ jest zależną od czasu odległością do centrum atrakcji. podstawowe równanie ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + \ mu {\ Frac {\ mathbf {r} }{r^{3}}}=\mathbf {0} }$ jest uregulowane przez zastosowanie tej zmiany zmiennych do uzyskania:

$${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {ds ^ {2}}} + \ alfa \ \ mathbf {r} = - \ matematyka {P} }$$

gdzie P jest wektorem stałym i jest zdefiniowany przez ${\ displaystyle \ alpha}$

$${\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {\ mu} {a}}}$$

Równanie jest takie samo, jak równanie oscylatora harmonicznego , dobrze znane równanie zarówno w fizyce , jak i matematyce . Biorąc ponownie pochodną, ​​otrzymujemy równanie różniczkowe trzeciego stopnia:

$${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {3} \ mathbf {r}} {ds ^ {3}}} + \ alfa {\ Frac {d \ mathbf { r} }{ds}}=\mathbf {0} }$$

Rodzina rozwiązań tego równania różniczkowego jest zapisana symbolicznie jako funkcje ${\ Displaystyle 1, \ s \ c_ {1} (\ alfa s ^ {2}), \ s ^ {2} \ c_ {2} (\ alfa s ^ {2}),}$ gdzie funkcje ${\ Displaystyle \ c_ {k} (x)}$ , zwane funkcjami Stumpffa , są uogólnieniami funkcji sinus i cosinus. Zastosowanie tego skutkuje:

$${\ Displaystyle t-t_ {0} = r_ {0}\ s\ c_{1}(\alpha s^{2})+r_{0}{\frac {dr_{0}}{dt}}\ s^{2}\ c_{2}(\ alfa s^{2})+\mu \ s^{3}\ c_{3}(\alfa s^{2})}$$

która jest uniwersalną zmienną sformułowaną w równaniu Keplera. To równanie można teraz rozwiązać numerycznie za pomocą $,$ znajdowania pierwiastków takiego jak $,$ Newtona lub metoda Laguerre'a dla danego czasu , aby uzyskać , który z kolei jest używany do obliczania fa i g Funkcje:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (s) & = 1- \ lewo ({\ Frac {\ mu} {r_ {0}}} \ prawej) s ^ {2} c_ {2} (\ alfa s ^{2}),\\[1.5ex]g(s)&=t-t_{0}-\mu s^{3}c_{3}(\alpha s^{2}),\\[1.5 ex] {\frac {df}{dt}}={\kropka {f}}(s)&=-\left({\frac {\mu }{rr_{0}}}\right)sc_{1} (\alpha s^{2}),\\[1.5ex]{\frac {dg}{dt}}={\kropka {g}}(s)&=1-\left({\frac {\mu }{r}}\right)s^{2}c_{2}(\alpha s^{2})\\[-1ex]\,\end{wyrównane}}}$$

Wartości funkcji f i g określają położenie ciała w czasie: ${\ displaystyle t}$ :

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} \ f (s) + \ mathbf {v} _ {0} \ g (s )}$$

Ponadto prędkość ciała w czasie $\$ znaleźć za pomocą $Displaystyle {\ kropka {f}} (s)}$ i ${\ Displaystyle {\ kropka {g}}(s)}$ w następujący sposób:

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {r} _ {0} \ {\ kropka {f}} (s) + \ mathbf {v} _{0}\ {\kropka {g}}(s)}$$

gdzie i są odpowiednio pozycją i prędkością w czasie $i$${r}}$$mathbf$ r $\ displaystyle \ mathbf {r} _ {$ and $\mathbf {v} _{0}$ are the position and velocity, respectively, at arbitrary initial time $t_{0}$.