Uniwersalny problem pokrycia Lebesgue'a

Trójkąt równoboczny o średnicy 1 nie mieści się w okręgu o średnicy 1

Uniwersalny problem pokrycia Lebesgue'a jest nierozwiązanym problemem w geometrii , który wymaga wypukłego kształtu najmniejszego obszaru, który może pokryć każdy płaski zestaw o średnicy jeden. Średnica zbioru z definicji jest najmniejszą górną granicą odległości między wszystkimi parami punktów w zbiorze . Kształt obejmuje zbiór, jeśli zawiera przystający podzbiór. Innymi słowy, zestaw można obracać, przesuwać lub odbijać, aby dopasować go do kształtu.

Nierozwiązany problem z matematyki :

Jakie jest minimalne pole wypukłego kształtu, które może pokryć każdy płaski zestaw o średnicy jeden?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Formuła i wczesne badania

Problem postawił Henri Lebesgue w liście do Gyuli Pála w 1914 r. Został on opublikowany w artykule Pála w 1920 r. Wraz z analizą Pála. Pokazał, że pokrycie dla wszystkich krzywych o stałej szerokości jeden jest również pokryciem dla wszystkich zestawów o średnicy jeden i że pokrycie można zbudować, biorąc sześciokąt foremny z wpisanym okręgiem o średnicy jeden i usuwając dwa rogi z sześciokąta, aby uzyskać pokrycie obszaru

{\ Displaystyle 2- {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}} \ około 0,84529946.}

Kształt zarysowany na czarno jest rozwiązaniem Pála uniwersalnego problemu pokrycia Lebesgue'a. Uwzględniono w nim płaskie kształty o średnicy jedynki: koło (na niebiesko), trójkąt Reuleaux (na czerwono) i kwadrat (na zielono).

W 1936 roku Roland Sprague wykazał, że część okładki Pála można usunąć w pobliżu jednego z pozostałych rogów, zachowując jednocześnie swoją własność jako okładki. Zmniejszyło $.$ obszaru

Obecne granice

Po sekwencji ulepszeń rozwiązania Sprague'a, z których każde usuwało małe rogi z rozwiązania, przeddruk Philipa Gibbsa z 2018 r. Uzyskał najlepszą znaną górną granicę, dalszą redukcję do obszaru 0,8440935944.

Najbardziej znaną dolną granicę obszaru podali Peter Brass i Mehrbod Sharifi, używając kombinacji trzech kształtów w optymalnym ustawieniu, co dowodzi, że powierzchnia optymalnego pokrycia wynosi co najmniej 0,832.

Zobacz też

Problem robaka Mosera , jaka jest minimalna powierzchnia kształtu, który może pokryć każdą krzywą o jednostkowej długości?
Problem z ruchomą sofą , problem ze znalezieniem kształtu o maksymalnej powierzchni, który można obrócić i przesunąć przez korytarz w kształcie litery L
Zestaw Kakeya , zestaw o minimalnej powierzchni, który może pomieścić każdy segment linii o długości jednostkowej (z dozwolonymi translacjami, ale bez rotacji)
Twierdzenie Blaschkego o wyborze , którego można użyć do udowodnienia, że uniwersalny problem pokrycia Lebesgue'a ma rozwiązanie.