Problem z robakiem Mosera

Nierozwiązany problem z matematyki :

Jaka jest minimalna powierzchnia kształtu, który może pokryć każdą krzywą o długości jednostkowej?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Problem robaka Mosera (znany również jako problem robaka macierzystego ) jest nierozwiązanym problemem geometrii sformułowanym przez austriacko-kanadyjskiego matematyka Leo Mosera w 1966 r. Problem dotyczy obszaru o najmniejszym obszarze , który może pomieścić każdą płaską krzywą o długości 1. Tutaj „dostosuj” oznacza, że ​​krzywą można obracać i przesuwać , aby dopasować ją do obszaru. W niektórych odmianach problemu region jest ograniczony do wypukłego .

Przykłady

Na przykład okrągły dysk o promieniu 1/2 może pomieścić dowolną płaską krzywą o długości 1, umieszczając punkt środkowy krzywej na środku dysku. Inne możliwe rozwiązanie ma kształt rombu o kątach wierzchołkowych 60 i 120 stopni ( π /3 i ​​2 π /3 radianów ) i długiej przekątnej o jednostkowej długości. Nie są to jednak rozwiązania optymalne; znane są inne kształty, które rozwiązują problem z mniejszymi obszarami.

Właściwości rozwiązania

To, że istnieje rozwiązanie, nie jest całkowicie trywialne - alternatywną możliwością byłoby istnienie pewnego minimalnego obszaru, do którego można się zbliżyć, ale którego faktycznie nie można osiągnąć. Jednak w przypadku wypukłym istnienie rozwiązania wynika z twierdzenia o wyborze Blaschkego .

Nie jest też trywialne ustalenie, czy dany kształt stanowi rozwiązanie. Gerriets i Poole (1974) przypuszczali, że kształt mieści każdą krzywą o jednostkowej długości wtedy i tylko wtedy, gdy mieści każdy wielokątny łańcuch o jednostkowej długości z trzema segmentami, co jest łatwiejszym do sprawdzenia warunkiem, ale Panraksa, Wetzel i Wichiramala (2007) wykazali, że nie skończone ograniczenie liczby segmentów w poliłańcuchu wystarczyłoby do tego testu.

Znane granice

Problem pozostaje otwarty, ale w serii artykułów badacze zmniejszyli lukę między znanymi dolnymi i górnymi granicami. W szczególności Norwood i Poole (2003) skonstruowali (niewypukłą) uniwersalną osłonę i wykazali, że minimalny kształt ma powierzchnię co najwyżej 0,260437; Gerriets i Poole (1974) oraz Norwood, Poole i Laidacker (1992) podali słabsze górne granice. W przypadku wypukłym Wang (2006) poprawił górną granicę do 0,270911861. Khandhawit, Pagonakis i Sriswasdi (2013) zastosował strategię min-max dla obszaru zbioru wypukłego zawierającego odcinek, trójkąt i prostokąt, aby pokazać dolną granicę 0,232239 dla wypukłej osłony.

W latach siedemdziesiątych John Wetzel przypuszczał, że okrągły wycinek o promieniu jednostkowym o kącie 30 stopni jest pokryciem o powierzchni ${\ Displaystyle \ pi / 12 \ około 0,2618}$ . Movshovich i Wetzel (2017) oraz Panraksa i Wichiramala (2021) niezależnie potwierdzili dwa dowody hipotezy . Jeśli zostanie to potwierdzone, zmniejszy to górną granicę wypukłej osłony o około 3%.

Zobacz też

• Problem z ruchomą sofą , problem ze znalezieniem kształtu o maksymalnej powierzchni, który można obrócić i przesunąć przez korytarz w kształcie litery L
• Zestaw Kakeya , zestaw o minimalnej powierzchni, który może pomieścić każdy segment linii o długości jednostkowej (z dozwolonymi translacjami, ale bez rotacji)
• Problem uniwersalnego pokrycia Lebesgue'a , znajdź najmniejszy wypukły obszar, który może pokryć dowolny płaski zestaw o jednostkowej średnicy
• Bellman zgubił się w lesie , znajdź najkrótszą drogę ucieczki z lasu o znanej wielkości i kształcie.

Notatki

•    Gerriets, John; Poole, George (1974), „Regiony wypukłe, które obejmują łuki o stałej długości”, The American Mathematical Monthly , 81 (1): 36–41, doi : 10,2307/2318909 , JSTOR 2318909 , MR 0333991 .
•    Khandhawit, Tirasan; Pagonakis, Dimitrios; Sriswasdi, Sira (2013), „Dolna granica wypukłego obszaru kadłuba i problemów uniwersalnego pokrycia”, International Journal of Computational Geometry & Applications , 23 (3): 197–212, arXiv : 1101,5638 , doi : 10,1142/S0218195913500076 , MR 3158583 , S2CID 207132316 .
•   Norwood, Rick; Poole, George (2003), „Ulepszona górna granica problemu robaka Leo Mosera”, Discrete and Computational Geometry , 29 (3): 409–417, doi : 10.1007 / s00454-002-0774-3 , MR 1961007 .
•   Norwood, Rick; Poole, George; Laidacker, Michael (1992), „Problem robaka Leo Mosera”, Discrete and Computational Geometry , 7 (2): 153–162, doi : 10.1007 / BF02187832 , MR 1139077 .
•   Panraksa, Chatchawan; Wetzel, John E.; Wichiramala, Wacharin (2007), „Pokrycie n -segmentowych nie jest wystarczające”, Discrete and Computational Geometry , 37 (2): 297–299, doi : 10.1007 / s00454-006-1258-7 , MR 2295060 .
•   Wang, Wei (2006), „Ulepszona górna granica problemu robaków”, Acta Mathematica Sinica , 49 (4): 835–846, MR 2264090 .
•   Panraksa, Chatchawan; Wichiramala, Wacharin (2021), „Wetzel's Sector Covers Covers Arcs” , okresowa matematyka hungarica , 82 (2): 213–222, arxiv : 1907.07351 , doi : 10.1007/s10998-020-00354-x , S2CID 225397486 .
•   Mowszowicz, Jewgienij; Wetzel, John (2017), „Drapeable unit arcs mieszczą się w sektorze jednostki 30 °” , Advances in Geometry , 17 (4): 497–506, doi : 10.1515/advgeom-2017-0011 , S2CID 125746596 .