Uogólniona metoda siecznych Sidiego

Uogólniona metoda siecznych Sidiego to algorytm znajdowania pierwiastków , to znaczy numeryczna metoda rozwiązywania równań postaci ${\ displaystyle f (x) = 0}$ . Metoda została opublikowana przez Avram Sidi.

Metoda jest uogólnieniem metody siecznej . $iteracji$$,$ , jest to metoda iteracyjna która wymaga jednej oceny w każdej i żadnych pochodnych . Metoda może jednak zbiegać się znacznie szybciej, z rzędem zbliżającym się do 2, pod warunkiem, że $spełnia$ regularności opisane poniżej.

Algorytm

Nazywamy ${ \$ z , to znaczy $Displaystyle$$f (\ alpha) = 0$ } Metoda Sidiego jest metodą iteracyjną, która generuje sekwencję $}$ α $alpha$ displaystyle Zaczynając od k + 1 wstępne przybliżenia ${\ Displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {k + 1}}$$w$ pierwszej iteracji, przybliżenie ${\ displaystyle x_ {k + 3}}$ jest obliczany w drugiej iteracji itd. Każda iteracja przyjmuje jako dane wejściowe ostatnie $.$ k + 1 i wartość przy tych przybliżeniach Stąd n- iteracja przyjmuje jako dane wejściowe przybliżenia ${\ Displaystyle x_ {n}, \ kropki, x_ {n + k}}$ i wartości ${\ Displaystyle f (x_ { n}),\kropki ,f(x_{n+k})}$ .

Liczba k musi być równa 1 lub większa: k = 1, 2, 3, .... Pozostaje stała podczas wykonywania algorytmu. W celu uzyskania początkowych $by$ iteracji k

Przybliżenie $tej$ w n- iteracji Wielomian interpolacji $x$ k dopasowany k punktów ( ) ${\ Displaystyle (x_ {n}, f (x_ {n}}), \ kropki (x_ {n + k}, f (x_ {n + k})) }$ . $Displaystyle$ przypadku tego wielomianu następne przybliżenie jest obliczane jako x $x_ {n + k + 1}}$

${\ Displaystyle x_ {n + k + 1} = x_ {n + k} - { \frac {f(x_{n+k})}{p_{n,k}'(x_{n+k})}}}$

 

 

 

 

()

z ${\ Displaystyle p_ {n, k} '(x_ {n + k})}$ pochodna ${\ Displaystyle p_ {n, k}}$ w ${\ displaystyle x_ {n + k}}$ . Po obliczeniu oblicza się ${\ Displaystyle x_ {$${\ Displaystyle f (x_ {n + k + 1})}$ i algorytm może kontynuować ( n + 1) -tą iterację. Oczywiście ta metoda wymaga $aby$ funkcja była oceniana tylko raz na iterację; nie wymaga żadnych pochodnych ${\ displaystyle f}$ .

Cykl iteracyjny jest zatrzymywany, jeśli spełnione jest odpowiednie kryterium stopu. $pierwiastkowi$ kryterium jest to, że ostatnie obliczone przybliżenie jest wystarczająco bliskie poszukiwanemu .

$,$ metoda Sidi oblicza w Newtona

Konwergencja

Sidi wykazał, że jeśli funkcja jest ( $różniczkowalna$ + 1) - razy w sposób ciągły w $f$ otwartym zawierającym (to znaczy $) fa {\ displaystyle$${\ Displaystyle f \ w C ^ {k + 1} (ja)}$ , ${\ displaystyle \ alpha}$ jest prostym pierwiastkiem z (to znaczy $}$${\ Displaystyle f' (\ alfa) \ neq 0}$ ) i początkowe przybliżenia ${\ Displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {k + 1}}$ są wybierane wystarczająco blisko , to sekwencja zbiega się do $,$ ​​obowiązuje następująca granica $}$${\$${\ Displaystyle \ lim \ ograniczenia _ {n \ do \ infty} x_ {n} = \ alfa}$ .

Sidi ponadto to pokazał

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {x_ {n + 1} - \ alfa} {\ prod _ {i = 0} ^ {k} (x_ {ni} - \ alfa)} }=L={\frac {(-1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac {f^{(k+1)}(\alfa)}{f'( \alfa )}},}$

i że sekwencja zbiega się do rzędu ${ \ Displaystyle \ psi _$$k}}$ , tj.

${\ Displaystyle \ lim \ ograniczenia _ {n \ do \ infty} {\ Frac {| x_ {n + 1} - \ alfa |} {| x_ {n} - \ alfa | ^ {\psi _{k}}}}=|L|^{(\psi _{k}-1)/k}}$

Rząd zbieżności jest jedynym dodatnim pierwiastkiem wielomianu ${\ displaystyle \ psi _ {k}}$

${\ Displaystyle s ^ {k + 1} -s ^ {k} -s ^ {k-1} - \ kropki -s-1}$

Mamy np. ${\ Displaystyle \ psi _ {1} = (1 + {\ sqrt {5}})/2}$ ≈ 1,6180, ${\ Displaystyle \ psi _ {2} }}$ ≈ 1,8393 i ${\ Displaystyle \ psi _ {3}}$ ≈ 1,9276. Kolejność zbliża się do 2 od dołu, jeśli k staje się duże: ${\ Displaystyle \ lim \ ograniczenia _ {k \ do \ infty} \ psi _ {k} = 2}$

Powiązane algorytmy

Metoda Sidiego sprowadza się do metody siecznych, jeśli przyjmiemy k = 1. W tym $}$ wielomian jest liniowym przybliżeniem ${\ Displaystyle p_ {n, 1} (x)$ wokół $.$ który jest używany w n- tej iteracji metody siecznych

Możemy się spodziewać, że im większy wybierzemy k , tym lepiej ${\ Displaystyle p_ {n, k} (x)}$ jest przybliżeniem wokół ${\ Displaystyle x = \ alfa}$${\ Displaystyle f (x)}$ . Również lepsze jest przybliżeniem ${\ Displaystyle p_ {n, k} '(x)}$${\ Displaystyle f' (x)}$ wokół ${\ Displaystyle x = \ alfa}$ . Jeśli zastąpimy ${\ displaystyle p_ {n, k}'}$ przez ${\ displaystyle f'}$ w ( 1 ) otrzymamy, że następne przybliżenie w każdej iteracji jest obliczane jako

${\ Displaystyle x_ {n + k + 1} = x_ {n + k} - {\ Frac { f(x_{n+k})}{f'(x_{n+k})}}}$

 

 

 

 

()

Jest to metoda Newtona-Raphsona . Zaczyna się od pojedynczego przybliżenia, $możemy$ k = 0 w ( 2 ). Nie wymaga wielomianu interpolującego, ale zamiast $w$ należy obliczyć pochodną każdej iteracji W zależności od natury $możliwe$ lub praktyczne.

Po obliczeniu interpolującego wielomianu $} 1}}$ również obliczyć następne przybliżenie. $p_ {n, k} ($ jako rozwiązanie ${\ Displaystyle p_ {n, k} (x) = 0}$ zamiast używania ( 1 ). Dla k = 1 te dwie metody są identyczne: jest to metoda siecznych. Dla k = 2 ta metoda jest znana jako metoda Mullera . Dla k = 3 to podejście polega na znalezieniu pierwiastków funkcji sześciennej , co jest nieatrakcyjnie skomplikowane. Problem ten staje się jeszcze gorszy dla jeszcze większych wartości k . Dodatkową komplikacją jest to, że równanie $będzie$ miało rozwiązań i rozwiązań jest następne przybliżenie ${\ displaystyle x_ {n + k + 1}}$ . Muller robi to dla przypadku k = 2, ale wydaje się, że nie ma takich zaleceń dla k > 2.